Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 6/kontrolle

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Der Charakterisierungssatz für zyklische Einheitengruppen

Wir beenden zunächst unsere Überlegungen, wann die Einheitengruppe eines Restklassenringes von zyklisch ist.



Lemma  Lemma 6.1 ändern

Die Einheitengruppe von ist nicht zyklisch für .

Beweis  

Bei ist dies eine direkte Berechnung. Generell ist für die Abbildung

surjektiv (da genau die ungeraden Elemente die Einheiten sind). Da eine Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist, folgt, dass nicht zyklisch sein kann.


Unser abschließendes Resultat ist nun der folgende Satz.



Satz  Referenznummer erstellen

Die Einheitengruppe ist genau dann zyklisch, wenn

ist, wobei eine ungerade Primzahl und ist.

Beweis  

In den beschriebenen Fällen ist die Einheitengruppe zyklisch aufgrund von Satz 5.11, Bemerkung 5.12 und der Isomorphie

Sei also umgekehrt mit der Eigenschaft gegeben, dass zyklisch sei. Es sei die kanonische Primfaktorzerlegung mit ungeraden Primzahlen und , die nach dem Chinesischen Restsatz zur Isomorphie

führt. Da Restklassengruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind, folgt nach Lemma 6.1, dass oder ist. Ein Produkt von zyklischen Gruppen ist nur dann zyklisch, wenn die beteiligten Ordnungen paarweise teilerfremd sind. Die Ordnungen von sind aber gerade für ungerade und , und die Ordnung von ist gerade für . Also ist . Bei ist nicht möglich. Bei verbleiben die angeführten Fälle .




Quadratische Reste

Wir wollen nun wissen, welche Zahlen modulo einer fixierten Zahl (häufig einer Primzahl) ein Quadrat sind, also eine Quadratwurzel besitzen. Man spricht von quadratischen Resten und nichtquadratischen Resten (häufig wird auch von quadratischen Nichtresten gesprochen).


Definition  Referenznummer erstellen

Eine ganze Zahl heißt quadratischer Rest modulo , wenn es eine Zahl mit

gibt. Im anderen Fall heißt ein nichtquadratischer Rest modulo .

Eine Quadratzahl ist natürlich auch ein quadratischer Rest modulo jeder Zahl . Umgekehrt ist eine Zahl, die selbst keine Quadratzahl ist, modulo gewisser Zahlen ein quadratischer Rest und modulo gewisser Zahlen ein nichtquadratischer Rest. Grundsätzlich kann man zu gegebenen und naiv testen, ob ein quadratischer Rest ist oder nicht, indem man alle Reste quadriert und schaut, ob der durch definierte Rest dabei ist. Die Frage nach den Quadratresten weist aber eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten auf, die wir im folgenden kennenlernen werden und mit deren Hilfe man effektiver entscheiden kann, ob ein Quadratrest vorliegt oder nicht.


Beispiel  Beispiel 6.4 ändern

In sind die Zahlen Quadratreste, die Zahlen sind nichtquadratische Reste.




Satz  Referenznummer erstellen

Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung (die seien also verschieden). Dann ist genau dann Quadratrest modulo , wenn Quadratrest modulo ist für alle .

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 4.13.




Satz  Satz 6.6 ändern

Sei eine ungerade Primzahl und sei .

  1. Ist teilerfremd zu (also kein Vielfaches von ), dann ist genau dann ein Quadratrest modulo , wenn ein Quadratrest modulo ist.
  2. Ist mit teilerfremd zu und , so ist genau dann ein Quadratrest modulo , wenn gerade und wenn ein Quadratrest modulo ist.

Beweis  

Die natürliche Abbildung

liefert sofort, dass ein Quadratrest modulo auch ein Quadratrest modulo ist. Wir zeigen zunächst die Umkehrung für Einheiten. Nach Lemma 5.9 ist die Abbildung

surjektiv und nach Satz 5.11 sind die beteiligten Gruppen zyklisch. D.h. ein Erzeuger wird auf einen Erzeuger abgebildet. Insbesondere kann man diese Gruppen so mit additiven zyklischen Gruppen identifizieren, dass der Homomorphismus die den additiven Erzeuger auf die schickt. Dies erreicht man, indem man im folgenden kommutativen Diagramm die Identifikation links mit einem primitiven Element und rechts ebenfalls mit (jetzt aufgefasst in ) stiftet.

Wir schreiben die untere horizontale Abbildung, unter Verwendung des Chinesischen Restsatzes, als

Da überdies und teilerfremd sind, liegt hier insgesamt einfach die Projektion vor.

Die Voraussetzung, dass modulo ein Quadratrest ist, übersetzt sich dahingehend, dass das entsprechende Element (sagen wir ) in ein Vielfaches von ist. D.h. die zweite Komponente, also , ist ein Vielfaches der . Da modulo der ungeraden Zahl jede Zahl ein Vielfaches von ist (da eine Einheit in ist), ist auch die erste Komponente, also , ein Vielfaches von und so muss insgesamt ein Vielfaches der sein.

Sei nun , , und zunächst angenommen, dass ein Quadrat ist. D.h wir können als mit , schreiben, wobei eine Einheit sei. Es ist also in und es ist (sonst steht hier ). Durch Betrachten modulo und modulo sieht man, dass sein muss. Insbesondere ist gerade. Es gilt also und somit können wir schreiben. Kürzen in ergibt , also . Also ist ein quadratischer Rest modulo und nach dem ersten Teil auch modulo .

Die Umkehrung von (2) ist nach der unter (1) bewiesenen Aussage klar.




Satz  Referenznummer erstellen

Sei und sei .

  1. Für ist genau dann quadratischer Rest, wenn ist.
  2. Für und ungerade ist genau dann quadratischer Rest modulo , wenn ist.

Beweis  

(1) ist trivial.

(2). In ist von den ungeraden Zahlen lediglich die ein Quadrat, so dass der Ringhomomorphismus

für zeigt, dass die numerische Bedingung notwendig ist. Sei diese umgekehrt nun erfüllt, also mit . Dann kann man nach Bemerkung 5.12

schreiben. Dies gilt aber auch modulo , woraus sofort folgt, dass gerade und dass das Vorzeichen positiv ist. Dann ist eine Quadratwurzel von in .


Wir werden uns im folgenden weitgehend darauf beschränken, welche Zahlen modulo einer Primzahl Quadratreste sind. Da allerdings die Primfaktorzerlegung einer größeren Zahl nicht völlig unproblematisch ist, müssen wir später auch Techniken entwickeln, die ohne Kenntnis der Primfaktorzerlegung auskommen. Direkt beantworten lässt sich die Frage, wann ein Quadratrest modulo einer Primzahl ist.



Satz  Satz 6.8 ändern

Sei eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.

Für ist ein Quadrat in .

Für ist ein Quadrat in .

Für ist kein Quadrat in .

Beweis  

Die erste Aussage ist klar, sei also ungerade. Nach Satz 5.3 ist die Einheitengruppe zyklisch der geraden Ordnung . Identifiziert man mit , so entspricht dem Element , und besitzt genau dann eine Quadratwurzel, wenn in ein Vielfaches von ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn selbst gerade ist, was zu äquivalent ist.



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