Messbare numerische Funktion/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Dann nennt man eine numerische Funktion

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

messbar, wenn sie ${}{\mathcal {A}}-{\overline {\mathcal {B}}}$-messbar ist.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine numerische Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist messbar.
2. Für alle ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}{\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$ messbar.
3. Für alle ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}{\left\{x\in M\mid f(x)>a\right\}}$ messbar.
4. Für alle ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}{\left\{x\in M\mid f(x)\leq a\right\}}$ messbar.
5. Für alle ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}{\left\{x\in M\mid f(x)<a\right\}}$ messbar.

Beweis

Die Bedingungen (2), (3), (4), (5) sind jeweils notwendig, da halbseitig unbeschränkte Intervalle Borel-Mengen von ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ sind.
Ist umgekehrt eine der Bedingungen (2), (3), (4) oder (5) erfüllt, so betrachtet man für ${}a<b$ die Menge ${}{[a,b[}=[a,\infty ]\setminus [b,\infty ]$ (unter Bedingung (2) bzw. entsprechende Mengen unter den anderen Bedingungen). Nach Voraussetzung sind dann auch die Urbilder von diesen halboffenen Intervallen messbare Teilmengen in ${}M$. Da die halboffenen Intervalle nach Fakt ein Erzeugendensystem der Borel-Mengen von ${}\mathbb {R}$ bilden, folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und seien

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

messbare Funktionen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Funktion ${}-f$ ist ebenfalls messbar.
2. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in M$. Dann ist auch die Funktion ${}1/g$ messbar.
3. Die Funktionen ${}f+g$ und ${}f-g$ sind messbar.
4. Die Funktion ${}f\cdot g$ ist messbar. Wenn ${}g$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch ${}f/g$ messbar.

Beweis

Die Rechenoperationen ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}t\longmapsto -t$, ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}t\longmapsto t^{-1}$, ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(s,t)\longmapsto s+t$, und ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(s,t)\longmapsto s\cdot t$, sind nach Fakt und Fakt stetig und daher nach Fakt messbar. Ferner ist eine Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar, und mit ${}f$ und ${}g$ ist nach Fakt auch die Abbildung

$M\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$

messbar. Daher ergeben sich die Behauptungen durch Betrachten der Hintereinanderschaltungen

$M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} {\stackrel {-}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,\,M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \setminus \{0\}{\stackrel {^{-1}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \setminus \{0\}\,\,{\text{ und }}\,\,M{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {+,\cdot }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,$

$\Box$

Die vorstehende Aussage könnte man auch für ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ formulieren, wobei man dann allerdings noch einige Rechenregeln festlegen müsste.

Mit den zusätzlichen Symbolen ${}+\infty$ und ${}-\infty$ lassen sich insbesondere Grenzfunktionen von Funktionenfolgen einfach erfassen. Das Supremum einer Funktionenfamilie ist punktweise durch

${}({\operatorname {sup} \,(f_{i},i\in I)})(x):={\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\,$

definiert. Es kann den Wert ${}\infty$ annehmen, und zwar auch dann, wenn alle ${}f_{i}$ reellwertig sind.

Lemma

Es sei ${}I$ eine abzählbare Indexmenge und ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Es sei

$f_{i}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

($i\in I$) eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen ${}{\operatorname {sup} \,(f_{i},i\in I)}$ und ${}\inf {\left(f_{i},\,i\in I\right)}$ messbar.

Beweis

Für jedes ${}a\in \mathbb {R}$ ist

${\left\{x\in M\mid {\operatorname {sup} \,(f_{i},i\in I)}(x)\geq a\right\}}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left\{x\in M\mid f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}\right\}}\right)}\,.$

Zum Beweis dieser Gleichung sei ${}x$ links enthalten und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ vorgegeben. Wegen ${}{\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a$ kann nicht

${}f_{i}(x)<a-{\frac {1}{k}}\,$

für alle ${}i$ gelten, da sonst das Supremum echt kleiner als ${}a$ wäre. Es gibt also ein ${}i\in I$ mit ${}f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}$, und ${}x$ gehört auch rechts dazu. Wenn umgekehrt ${}x$ zur rechten Menge dazugehört, so gibt es für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}i\in I$ mit ${}f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}$. Daher ist ${}{\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a-{\frac {1}{k}}$ für alle ${}k$ und somit ${}{\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a$.

Die Menge rechts ist als abzählbarer Durchschnitt von abzählbaren Vereinigungen von nach Voraussetzung messbaren Mengen wieder messbar. Nach Fakt folgt daraus die Messbarkeit der Supremumsabbildung. Die Messbarkeit der Infimumsabbildung beweist man ähnlich oder führt sie durch Betrachten der negativen Funktionen auf die Messbarkeit der Supremumsabbildung zurück.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die konstante Funktionenfolge ${}f_{n}:=-{\frac {1}{n}}$ (${}n\in \mathbb {N} _{+}$) auf einer beliebigen Menge ${}M$. Deren Supremum ist die ${}0$-Funktion. Dabei ist

${}{\left\{x\in M\mid {\operatorname {sup} \,(f_{n},n\in \mathbb {N} _{+})}(x)\geq 0\right\}}=M\,,$

aber

${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left\{x\in M\mid f_{n}(x)\geq 0\right\}}=\emptyset \,,$

d.h. ohne den Durchschnitt über ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit dem Abweichungsterm ${}-{\frac {1}{k}}$ ist die Gleichung im Beweis zu Fakt nicht richtig.

Korollar

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion.

Dann ist auch die Betragsfunktion ${}\vert {f}\vert$ messbar.

Beweis

Dies folgt wegen ${}\vert {f}\vert ={\operatorname {sup} \,(f,-f)}$ aus Fakt  (1) und aus Fakt.

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Definition

Zu einer Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

nennt man ${}f_{+}={\operatorname {sup} \,(f,0)}$ den positiven Teil und ${}f_{-}=-\inf {\left(f,\,0\right)}={\operatorname {sup} \,(-f,0)}$ den negativen Teil von ${}f$.

Dieses Konzept ist hilfreich, um Aussagen für beliebige Funktionen auf nichtnegative Funktionen zurückführen zu können. Man beachte, dass beide Teile nichtnegativ sind. Nach Fakt ist der positive als auch der negative Teil einer messbaren Funktionen wieder messbar. Es ist ${}f=f_{+}-f_{-}$.

Korollar

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine Folge von messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion ${}f$ konvergiere.

Dann ist auch ${}f$ messbar.

Beweis

Wir zeigen, dass die Urbilder von Mengen der Form ${}]a,\infty ]$ unter der Grenzfunktion ${}f$ messbare Mengen sind. Daraus folgt nach Fakt die Messbarkeit von ${}f$. Für jedes ${}a\in \mathbb {R}$ gilt die Gleichheit

${\left\{x\in M\mid f(x)>a\right\}}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\left(\bigcup _{n_{0}\in \mathbb {N} }{\left(\bigcap _{n\geq n_{0}}{\left\{x\in M\mid f_{n}(x)>a+{\frac {1}{k}}\right\}}\right)}\right)}\,.$

Zum Beweis dieser Gleichheit sei zuerst ${}f(x)>a$. Dann gilt auch ${}f(x)>a+{\frac {1}{k}}$ für ein hinreichend großes ${}k$. D.h. dass ${}]a+{\frac {1}{k}},\infty ]$ eine offene Umgebung von ${}f(x)$ ist. Dann gehört ${}x$ auch zur inneren Vereinigung der rechten Seite, da diese die mengentheoretische Formulierung für den Sachverhalt ist, dass es ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Folgenglieder ${}f_{n}(x)$ ebenfalls zu ${}]a+{\frac {1}{k}},\infty ]$ gehören. Wenn hingegen ${}x$ zur rechten Seite gehört, so bedeutet dies, dass es ${}k,n_{0}\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung ${}f_{n}(x)>a+{\frac {1}{k}}$ besteht. Dann gilt für den Limes ${}f(x)\geq a+{\frac {1}{k}}$ und damit ${}f(x)>a$.
Die rechte Seite der Gleichung zeigt, dass es sich um eine messbare Menge handelt, da abzählbare Durchschnitte und abzählbare Vereinigungen von messbaren Mengen wieder messbar sind.

$\Box$