Messbare numerische Funktion/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein Messraum. Dann nennt man eine numerische Funktion

messbar, wenn sie -messbar ist.



Lemma  

Sei ein Messraum und sei

eine numerische Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist messbar.
  2. Für alle ist messbar.
  3. Für alle ist messbar.
  4. Für alle ist messbar.
  5. Für alle ist messbar.

Beweis  

Die Bedingungen (2), (3), (4), (5) sind jeweils notwendig, da halbseitig unbeschränkte Intervalle Borel-Mengen von sind.
Ist umgekehrt eine der Bedingungen (2), (3), (4) oder (5) erfüllt, so betrachtet man für die Menge (unter Bedingung (2) bzw. entsprechende Mengen unter den anderen Bedingungen). Nach Voraussetzung sind dann auch die Urbilder von diesen halboffenen Intervallen messbare Teilmengen in . Da die halboffenen Intervalle nach Fakt ein Erzeugendensystem der Borel-Mengen von bilden, folgt die Aussage aus Fakt.




Lemma  

Es sei ein Messraum und seien

messbare Funktionen. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Funktion ist ebenfalls messbar.
  2. Sei für alle . Dann ist auch die Funktion messbar.
  3. Die Funktionen und sind messbar.
  4. Die Funktion ist messbar. Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist auch messbar.

Beweis  

Die Rechenoperationen , , , , , , und , , sind nach Fakt und Fakt stetig und daher nach Fakt messbar. Ferner ist eine Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar, und mit und ist nach Fakt auch die Abbildung

messbar. Daher ergeben sich die Behauptungen durch Betrachten der Hintereinanderschaltungen


Die vorstehende Aussage könnte man auch für formulieren, wobei man dann allerdings noch einige Rechenregeln festlegen müsste.

Mit den zusätzlichen Symbolen und lassen sich insbesondere Grenzfunktionen von Funktionenfolgen einfach erfassen. Das Supremum einer Funktionenfamilie ist punktweise durch

definiert. Es kann den Wert annehmen, und zwar auch dann, wenn alle reellwertig sind.



Lemma  

Es sei eine abzählbare Indexmenge und ein Messraum. Es sei

() eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen und messbar.

Beweis  

Für jedes ist

Zum Beweis dieser Gleichung sei links enthalten und vorgegeben. Wegen kann nicht

für alle gelten, da sonst das Supremum echt kleiner als wäre. Es gibt also ein mit , und gehört auch rechts dazu. Wenn umgekehrt zur rechten Menge dazugehört, so gibt es für jedes ein mit . Daher ist für alle und somit .

Die Menge rechts ist als abzählbarer Durchschnitt von abzählbaren Vereinigungen von nach Voraussetzung messbaren Mengen wieder messbar. Nach Fakt folgt daraus die Messbarkeit der Supremumsabbildung. Die Messbarkeit der Infimumsabbildung beweist man ähnlich oder führt sie durch Betrachten der negativen Funktionen auf die Messbarkeit der Supremumsabbildung zurück.



Beispiel  

Wir betrachten die konstante Funktionenfolge () auf einer beliebigen Menge . Deren Supremum ist die -Funktion. Dabei ist

aber

d.h. ohne den Durchschnitt über mit dem Abweichungsterm ist die Gleichung im Beweis zu Fakt nicht richtig.




Korollar  

Es sei ein Messraum und sei

eine messbare numerische Funktion.

Dann ist auch die Betragsfunktion messbar.

Beweis  

Dies folgt wegen aus Fakt  (1) und aus Fakt.



Definition  

Zu einer Funktion

nennt man den positiven Teil und den negativen Teil von .

Dieses Konzept ist hilfreich, um Aussagen für beliebige Funktionen auf nichtnegative Funktionen zurückführen zu können. Man beachte, dass beide Teile nichtnegativ sind. Nach Fakt ist der positive als auch der negative Teil einer messbaren Funktionen wieder messbar. Es ist .



Korollar  

Es sei ein Messraum und sei

eine Folge von messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiere.

Dann ist auch messbar.

Beweis  

Wir zeigen, dass die Urbilder von Mengen der Form unter der Grenzfunktion messbare Mengen sind. Daraus folgt nach Fakt die Messbarkeit von . Für jedes gilt die Gleichheit

Zum Beweis dieser Gleichheit sei zuerst . Dann gilt auch für ein hinreichend großes . D.h. dass eine offene Umgebung von ist. Dann gehört auch zur inneren Vereinigung der rechten Seite, da diese die mengentheoretische Formulierung für den Sachverhalt ist, dass es ein derart gibt, dass für alle die Folgenglieder ebenfalls zu gehören. Wenn hingegen zur rechten Seite gehört, so bedeutet dies, dass es derart gibt, dass für alle die Beziehung besteht. Dann gilt für den Limes und damit .
Die rechte Seite der Gleichung zeigt, dass es sich um eine messbare Menge handelt, da abzählbare Durchschnitte und abzählbare Vereinigungen von messbaren Mengen wieder messbar sind.