Modultheorie/Assoziierte Primideale/Einführung/Textabschnitt

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Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zu einen jeden Element betrachtet man den zugehörigen Annullator, also

Dies ist ein Ideal in . Mit dieser Konstruktion können häufig Moduleigenschaften auf Ring- bzw. Idealeigenschaften zurückgeführt werden. Beispielsweise gilt genau dann, wenn das Einheitsideal ist. Der von einem Element erzeugte Untermodul ist isomorph zu . Eine besonders wichtige Rolle spielen die Primideale, die als Annullatoren eines Elementes auftreten.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Ein Primideal heißt assoziiertes Primideal zu , wenn es ein mit

gibt.

Die Menge der assoziierten Primideale zu dem gegebenen Modul wird mit bezeichnet. Zum Nullmodul gibt es keine assoziierten Primideale. Erstaunlicher ist, dass es ansonsten stets assoziierte Primideale gibt.



Lemma  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann ist die Menge nicht leer.

Beweis  

Wir betrachten die Menge aller Annullatoren

Nach Voraussetzung ist diese Menge nicht leer und besteht aus Idealen, die alle vom Einheitsideal verschieden sind. Diese Menge ist induktiv geordnet, da jede aufsteigende Kette darin wegen noethersch stationär wird. Nach dem Lemma von Zorn besitzt die Menge somit maximale Elemente. Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Sei also

maximal und sei , also

Es sei , also , und somit ist zu zeigen. Es ist

und gehört zu unserer Menge. Wegen der Maximalität von muss also hier Gleichheit vorliegen. Wegen ist damit auch .



Beispiel  

Wir betrachten den Restklassenring . Dies ist ein eindimensionaler nichtreduzierter Ring mit den einzigen Primidealen und . Beide Primideale sind assoziierte Primideale des Ringes, und zwar ist und .




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein Primideal.

Dann ist

Dies gilt auch für jeden von verschiedenen Untermodul von .

Beweis  

Es ist

deshalb ist ein assoziiertes Primideal. Für ein beliebiges von verschiedenes Element ist . Dann ist ebenfalls

da die Inklusion trivial ist und da

in bedeutet, dass ist, woraus wegen der Primeigenschaft folgt. Somit gilt die Eigenschaft auch für jeden Untermodul.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln.

Dann ist

Beweis  

Die erste Inklusion ist klar. Sei und . Es sei

. Wir betrachten die Modulkette

Wäre nicht , so wäre nach Fakt das Primideal doch ein assoziiertes Primideal von im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist

und somit erhalten wir eine injektive Abbildung

die zeigt, dass ein assoziiertes Primideal von ist.




Lemma  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann gibt es ein Folge von Untermoduln

mit

für gewisse Primideale .

Beweis  

Bei ist nichts zu zeigen, sei also . Dann gibt es nach Fakt ein derart, dass

ein Primideal ist. Somit liegt ein Untermodul

vor, den wir mit bezeichnen. Bei sind wir fertig. Andernfalls finden wir im Restklassenmodul wieder ein von verschiedenes Element , dessen Annullator ein Primideal ist. Wir setzen als das Urbild von unter der Projektion

an und fahren in dieser Weise fort. So entsteht eine aufsteigende Folge von Untermoduln von mit der besagten Eigenschaft. Diese muss nach Fakt nach endlich vielen Schritten abbrechen.




Satz  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann ist die Menge nicht leer und endlich.

Beweis  

Die Existenz folgt aus Fakt. Die Endlichkeit folgt aus Fakt, Fakt und Fakt.




Lemma  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann gilt für die Menge der Nullteiler von die Beziehung

Beweis  

Für jedes assoziierte Primideal gibt es ein , , mit

Somit besteht aus Nullteilern von . Sei umgekehrt ein Nullteiler von . Das bedeutet, dass es ein , , mit gibt. Insbesondere ist

Wenn man das Argument im Beweis zu Fakt auf die Annullationsideale ober halb von durchführt, so erhält man darin auch ein assoziiertes Primideal, das und damit enthält.




Korollar  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Es sei ein Ideal, das ausschließlich aus Nullteilern von besteht.

Dann gibt es ein , , mit

Beweis  

Nach Fakt ist

wobei nach Fakt die Vereinigung rechts endlich ist. Somit gibt es nach Fakt ein assoziiertes Primideal mit



Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Ein assoziiertes Primideal zu , das nicht minimal unter des assoziierten Primidealen ist, heißt eingebettetes Primideal von .

In Beispiel ist das maximale Ideal ein eingebettetes Primideal.