Reelle Funktionen/Differenzierbarkeit/Rechenregeln/Textabschnitt

Eine Veranschaulichung der Produktregel: Der Zuwachs eines Flächeninhalts entspricht der Summe der beiden Produkte aus Seitenlänge und Seitenlängezuwachs. Für den infinitesimalen Zuwachs ist das Produkt der beiden Seitenlängenzuwächse irrelevant.

Lemma

Es sei  ${}D\subseteq \mathbb {R}$  eine Teilmenge,  ${}a\in D$  ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.

1. Die Summe ${}f+g$ ist differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)\,.$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ ist differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

3. Für  ${}c\in \mathbb {R}$  ist auch ${}cf$ in ${}a$ differenzierbar mit

   ${}(cf)'(a)=cf'(a)\,.$

4. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}a$ besitzt, so ist ${}1/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}{\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)={\frac {-g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

5. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}a$ besitzt, so ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

Beweis

(1). Wir schreiben ${}f$ bzw. ${}g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$

und

${}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,.$

Summieren ergibt

${}f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a)\,.$

Dabei ist die Summe ${}r+{\tilde {r}}$ wieder stetig in ${}a$ mit dem Wert ${}0$.
(2). Wir gehen wieder von

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$

und

${}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$

aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

${}{\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$

Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert ${}0$ für  ${}x=a$. 
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung ${}0$ ist.
(4). Es ist

${}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$

Da ${}g$ nach Fakt stetig in ${}a$ ist, konvergiert für ${}x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen ${}-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von ${}g$ in ${}a$ konvergiert der rechte Faktor gegen ${}g'(a)$.
(5) folgt aus (2) und (4).

$\Box$

Diese Rechenregeln heißen Summenregel, Produktregel, Quotientenregel. Die folgende Aussage heißt Kettenregel.

Satz

Es seien  ${}D,E\subseteq \mathbb {R}$  Teilmengen und seien

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen mit  ${}f(D)\subseteq E$.  Es sei ${}f$ in ${}a$ differenzierbar und ${}g$ sei in  ${}b:=f(a)$  differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

in ${}a$ differenzierbar mit der Ableitung

${}(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$

Beweis

Aufgrund von Fakt kann man

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(y)=g(f(a))+g'(f(a))(y-f(a))+s(y)(y-f(a))$

schreiben. Daher ergibt sich

(wenn man ${}y$ durch ${}f(x)$ ersetzt)

${}{\begin{aligned}g(f(x))&=g(f(a))+g'(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\&=g(f(a))+g'(f(a)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}+s(f(x)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}\\&=g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+{\left(g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\right)}(x-a).\end{aligned}}$

Die hier ablesbare Restfunktion

${}t(x):=g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\,$

ist stetig in ${}a$ mit dem Wert ${}0$.

$\Box$

Eine Veranschaulichung für die Ableitung der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion besitzt den an der Hauptdiagonalen gespiegelten Graphen und die Tangente wird mitgespiegelt.

Satz

Es seien  ${}D,E\subseteq \mathbb {R}$  Intervalle und sei

$f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$

eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$

Es sei ${}f$ in  ${}a\in D$  differenzierbar mit  ${}f'(a)\neq 0$. 

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in  ${}b:=f(a)$  differenzierbar mit

${}(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Beweis

Wir betrachten den Differenzenquotienten

${}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$

und müssen zeigen, dass der Limes für ${}y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}E\setminus \{b\}$, die gegen ${}b$ konvergiert. Nach Fakt ist ${}f^{-1}$ stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern  ${}x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$  gegen ${}a$. Wegen der Bijektivität ist  ${}x_{n}\neq a$  für alle ${}n$. Damit ist

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Fakt  (5) beruht.

$\Box$

Beispiel

Die Funktion

$f^{-1}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion ${}f$ mit  ${}f(x)=x^{2}$  (eingeschränkt auf ${}\mathbb {R} _{+}$). Deren Ableitung in einem Punkt ${}a$ ist  ${}f'(a)=2a$.  Nach Fakt gilt daher für  ${}b\in \mathbb {R} _{+}$  die Beziehung

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{2{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{2}}b^{-{\frac {1}{2}}}\,.$

Im Nullpunkt ist ${}f^{-1}$ nicht differenzierbar.

Beispiel

Die Funktion

$f^{-1}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{\frac {1}{3}},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion ${}f$ mit  ${}f(x)=x^{3}$.  Deren Ableitung in ${}a$ ist  ${}f'(a)=3a^{2}$,  dies ist für  ${}a\neq 0$  von ${}0$ verschieden. Nach Fakt ist für  ${}b\neq 0$  somit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{3{\left(b^{\frac {1}{3}}\right)}^{2}}}={\frac {1}{3}}b^{-{\frac {2}{3}}}\,.$

Im Nullpunkt ist ${}f^{-1}$ nicht differenzierbar.