Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Volumenform/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension . Zu sei diejenige alternierende Form auf (bzw. das entsprechende Element aus ), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert zuordnet. Dann heißt die -Differentialform

die kanonische Volumenform auf .

Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf . Wir bezeichnen es mit . Demnach ist das Gesamtmaß (der Flächeninhalt, das Volumen) von .



Lemma  

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und die kanonische Volumenform. Es sei

eine orientierte Karte mit

offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und .

Dann ist

Für eine messbare Teilmenge ist

Beweis  

Gemäß der Definition müssen wir die Differentialform für jeden Punkt berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt und ist durch ihren Wert auf festgelegt. Es ist

Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist

Nach Fakt ist



Satz  

Es sei offen und sei eine -dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform versehen sei. Es sei offen und es sei

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge .[1]

Dann ist eine Karte von , und auf gilt

Beweis  

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem . Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für

da ja der Tangentialraum das induzierte Skalarprodukt des trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Fakt.



Beispiel  

Es sei ein offenes Intervall und

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall . Ferner sei angenommen, dass injektiv und dass das Bild von eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form von (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

Somit gilt bei für das Maß (also die Länge) von die Formel

Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.


  1. Man sagt auch, dass eine (diffeomorphe) Parametrisierung von ist.