Riemannsche Mannigfaltigkeit/Offene Menge/Levi-Civita-Zusammenhang/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}g_{ij}$ gegeben. Wir haben die Koordinatenfunktionen ${}x_{i}$ und die zugehörigen konstanten Vektorfelder ${}\partial _{i}$. Ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentalbündel ${}U\times \mathbb {R} ^{n}$ wird durch Ableitungen

${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$

beschrieben. Es wird sich herausstellen, dass man durch die folgende Wahl einen Zusammenhang erhält, der eng mit der riemannschen Struktur verbunden ist.

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Man nennt die auf ${}U$ definierten reellwertigen Funktionen

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang.

Definition

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Man nennt den auf ${}U$ durch die Christoffelsymbole

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

festgelegten linearen Zusammenhang auf ${}TU=U\times \mathbb {R} ^{n}$ den Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, die mit der induzierten riemannschen Struktur des ${}\mathbb {R} ^{n}$ versehen sei.

Dann ist der Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$ trivial. Insbesondere gelten die folgenden Aussagen.

1. Die Christoffelsymbole sind

   ${}\Gamma _{ij}^{k}=0\,$

   für alle ${}i,j,k$.

2. Es ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=0\,$

   für die Standardvektorfelder ${}\partial _{i}$.

3. Es ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}(f_{j})\partial _{j}\,$

   für differenzierbare Funktionen ${}f_{j}$.

4. Zu einem Vektorfeld ${}V$ und einem differenzierbaren Vektorfeld ${}W$ auf ${}U$ ist

   ${}(\nabla _{V}W)(P)={\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}\,.$

Beweis

Die riemannschen Fundamentalfunktionen ${}g_{ij}$ sind jedenfalls konstant und daher verschwinden ihre partiellen Ableitungen, die in die Definition der Christoffelsymbole eingehen. Nach Bemerkung liegt daher der triviale Zusammenhang vor. Die anderen Eigenschaften ergeben sich aus Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ interpretieren, siehe Beispiel. Das einzige Christoffelsymbol für den Levi-Civita-Zusammenhang ist

${}\Gamma ={\frac {1}{2}}g^{-1}g'\,,$

das ist bis auf den Vorfaktor die logarithmische Ableitung von ${}g$. Die vertikale Ableitung ist

${}\nabla _{\partial }\partial ={\frac {g'}{2g}}\partial \,,$

wobei ${}\partial$ die Ableitung auf ${}I$ bezeichnet. Angewendet auf eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ (bzw. das Richtungsfeld ${}f\partial$) ist

${}\nabla _{\partial }(f)=\partial f+f{\frac {g'}{2g}}=f'+f{\frac {g'}{2g}}\,$

nach Fakt.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen versehen mit einer durch differenzierbare Funktionen

$g_{11},g_{12},g_{22}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

gegebenen riemannschen Struktur mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$.

Dann sind die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$ gleich

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}{\left(g^{k1}(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{i1}-\partial _{1}g_{ij})+g^{k2}(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{i2}-\partial _{2}g_{ij})\right)}\,.$

Wenn ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte zweifach stetig differenzierbare Fläche ist und mit der durch den umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Struktur versehen wird, und

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, eine lokale zweifach differenzierbare Parametrisierung von ${}Y$ ist, so stimmen diese Christoffelsymbole mit den mit Hilfe des umgebenden Raumes definierten Christoffelsymbolen überein.

Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Definition. Die zweite Aussage folgt daraus und aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben. Dann erfüllen die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$ die Bedingung

${}\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition und der Symmetrie von ${}{\left(g_{ij}\right)}$.

$\Box$

Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir betrachten die Halbebene von Poincaré ${}\mathbb {H}$ mit den riemannschen Fundamentalfunktionen ${}g_{11}=g_{22}={\frac {1}{y^{2}}}$ und ${}g_{12}=0$. Nach Fakt ist

${\frac {1}{2}}{\left(g^{k1}(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{i1}-\partial _{1}g_{ij})+g^{k2}(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{i2}-\partial _{2}g_{ij})\right)}$

${}\Gamma _{11}^{1}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}\partial _{1}\left({\frac {1}{y^{2}}}\right)\right)}=0\,,$

${}\Gamma _{11}^{2}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}{\left(-\partial _{2}\left({\frac {1}{y^{2}}}\right)\right)}\right)}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}{\left(-\left({\frac {-2}{y^{3}}}\right)\right)}\right)}={\frac {1}{y}}\,$

und ähnlich ${}\Gamma _{12}^{1}=-{\frac {1}{y}}$, ${}\Gamma _{12}^{2}=0$, ${}\Gamma _{22}^{1}=0$, ${}\Gamma _{22}^{2}=-{\frac {1}{y}}$.