Es sei
M
{\displaystyle {}M}
eine
riemannsche Mannigfaltigkeit
und das
Tangentialbündel
T
M
{\displaystyle {}TM}
sei mit dem
Levi-Civita-Zusammenhang
versehen. Wir wollen den
Krümmungsoperator
R
{\displaystyle {}R}
in dieser Situation genauer verstehen. Er ist bei gegebenen Vektorfeldern
V
,
W
{\displaystyle {}V,W}
eine Abbildung
R
(
V
,
W
)
:
C
2
(
M
,
T
M
)
⟶
C
0
(
M
,
T
M
)
,
{\displaystyle R(V,W)\colon C^{2}(M,TM)\longrightarrow C^{0}(M,TM),}
d.h. er ergibt angewendet auf ein
(zweifach differenzierbares)
Vektorfeld
Z
{\displaystyle {}Z}
das Vektorfeld
R
(
V
,
W
)
(
Z
)
=
∇
V
∇
W
Z
.
{\displaystyle {}R(V,W)(Z)=\nabla _{V}\nabla _{W}Z\,.}
So gesehen handelt es sich insgesamt bei einer unendlich oft differenzierbaren Mannigfaltigkeit um eine Abbildung
C
∞
(
T
M
)
×
C
∞
(
T
M
)
×
C
∞
(
T
M
)
⟶
C
∞
(
T
M
)
,
{\displaystyle C^{\infty }(TM)\times C^{\infty }(TM)\times C^{\infty }(TM)\longrightarrow C^{\infty }(TM),}
wobei aber die Argumente nicht gleichberechtigt sind.
Es sei
U
⊆
R
n
{\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
offen
versehen mit einer
riemannschen Metrik
g
i
j
{\displaystyle {}g_{ij}}
. Es sei
∇
{\displaystyle {}\nabla }
der
Levi-Civita-Zusammenhang
auf dem
Tangentialbündel
E
=
U
×
R
n
{\displaystyle {}E=U\times \mathbb {R} ^{n}}
.
Dann gilt für den
Krümmungsoperator
R
(
∂
i
,
∂
j
)
(
∂
k
)
=
∑
ℓ
=
1
n
R
i
j
k
ℓ
∂
ℓ
{\displaystyle {}R(\partial _{i},\partial _{j})(\partial _{k})=\sum _{\ell =1}^{n}R_{ijk}^{\ell }\partial _{\ell }\,}
mit
R
i
j
k
ℓ
=
∂
i
Γ
j
k
ℓ
−
∂
j
Γ
i
k
ℓ
+
∑
a
=
1
n
Γ
j
k
a
Γ
i
a
ℓ
−
∑
a
=
1
n
Γ
i
k
a
Γ
j
a
ℓ
,
{\displaystyle {}R_{ijk}^{\ell }={\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }+\sum _{a=1}^{n}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{n}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\,,}
wobei die
Γ
i
j
ℓ
=
1
2
∑
μ
=
1
n
g
ℓ
μ
(
∂
i
g
j
μ
+
∂
j
g
i
μ
−
∂
μ
g
i
j
)
{\displaystyle {}\Gamma _{ij}^{\ell }={\frac {1}{2}}\sum _{\mu =1}^{n}g^{\ell \mu }(\partial _{i}g_{j\mu }+\partial _{j}g_{i\mu }-\partial _{\mu }g_{ij})\,}
die
Christoffelsymbole
des Zusammenhangs bezeichnen.
Dies ist ein Spezialfall von
Fakt .
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
M
{\displaystyle {}M}
eine
riemannsche Mannigfaltigkeit
und das
Tangentialbündel
sei mit dem
Levi-Civita-Zusammenhang
versehen. Dann besitzt der
Krümmungsoperator
folgende Eigenschaften.
Es ist
R
(
V
,
W
)
Z
{\displaystyle {}R(V,W)Z}
linear in allen drei Komponenten.
Für
P
∈
M
{\displaystyle {}P\in M}
hängt
(
R
(
V
,
W
)
Z
)
(
P
)
{\displaystyle {}(R(V,W)Z)(P)}
nur von
V
(
P
)
,
W
(
P
)
,
Z
(
P
)
{\displaystyle {}V(P),W(P),Z(P)}
ab.
Es ist
R
(
V
,
W
)
=
−
R
(
W
,
V
)
{\displaystyle {}R(V,W)=-R(W,V)\,}
Es ist
R
(
V
,
W
)
Z
+
R
(
W
,
Z
)
V
+
R
(
Z
,
V
)
W
=
0
.
{\displaystyle {}R(V,W)Z+R(W,Z)V+R(Z,V)W=0\,.}
Es ist
⟨
R
(
V
,
W
)
T
,
Z
⟩
=
−
⟨
R
(
V
,
W
)
Z
,
T
⟩
.
{\displaystyle {}\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle =-\left\langle R(V,W)Z,T\right\rangle \,.}
Es ist
⟨
R
(
V
,
W
)
T
,
Z
⟩
=
⟨
R
(
T
,
Z
)
V
,
W
⟩
.
{\displaystyle {}\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle =\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle \,.}
Die Linearität in
Z
{\displaystyle {}Z}
beruht darauf, dass der Zusammenhang linear ist. Die Linearität in
V
{\displaystyle {}V}
und in
W
{\displaystyle {}W}
beruht auf
Fakt
und auf
Fakt .
Für die Abhängigkeit in
V
{\displaystyle {}V}
und
W
{\displaystyle {}W}
folgt die Aussage aus
Fakt .
Um zu zeigen, dass auch die Abhängigkeit in
Z
{\displaystyle {}Z}
nur von
Z
(
P
)
{\displaystyle {}Z(P)}
abhängt, können wir von der lokalen Situation auf
U
⊆
R
n
{\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
ausgehen und
V
=
∂
i
{\displaystyle {}V=\partial _{i}}
,
W
=
∂
j
{\displaystyle {}W=\partial _{j}}
und
Z
=
h
∂
k
{\displaystyle {}Z=h\partial _{k}}
mit einer zweifach stetig differnezierbaren Funktion
h
:
U
→
R
{\displaystyle {}h\colon U\rightarrow \mathbb {R} }
ansetzen. Es ist dann nach
Fakt ,
Fakt
und
dem Satz von Schwarz
R
(
∂
i
,
∂
j
)
(
h
∂
k
)
=
∇
∂
i
(
∇
∂
j
(
h
∂
k
)
)
−
∇
∂
j
(
∇
∂
i
(
h
∂
k
)
)
=
∇
∂
i
(
h
∇
∂
j
∂
k
+
(
∂
j
h
)
∂
k
)
−
∇
∂
j
(
h
∇
∂
i
∂
k
+
(
∂
i
h
)
∂
k
)
=
h
∇
∂
i
(
∇
∂
j
∂
k
)
+
(
∂
i
h
)
∇
∂
j
∂
k
+
(
∂
j
h
)
∇
∂
i
∂
k
+
(
∂
i
∂
j
h
)
∂
k
−
h
∇
∂
j
(
∇
∂
i
∂
k
)
−
(
∂
j
h
)
∇
∂
i
∂
k
−
(
∂
i
h
)
∇
∂
j
∂
k
−
(
∂
j
∂
i
h
)
∂
k
=
h
∇
∂
i
(
∇
∂
j
∂
k
)
−
h
∇
∂
j
(
∇
∂
i
∂
k
)
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,R{\left(\partial _{i},\partial _{j}\right)}{\left(h\partial _{k}\right)}\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}{\left(h\partial _{k}\right)}\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}{\left(h\partial _{k}\right)}\right)}\\&=\nabla _{\partial _{i}}{\left(h\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}+{\left(\partial _{j}h\right)}\partial _{k}\right)}-\nabla _{\partial _{j}}{\left(h\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}+{\left(\partial _{i}h\right)}\partial _{k}\right)}\\&=h\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}\right)}+{\left(\partial _{i}h\right)}\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}+{\left(\partial _{j}h\right)}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}+{\left(\partial _{i}\partial _{j}h\right)}\partial _{k}-h\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right)}-{\left(\partial _{j}h\right)}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}-{\left(\partial _{i}h\right)}\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}-{\left(\partial _{j}\partial _{i}h\right)}\partial _{k}\\&=h\nabla _{\partial _{i}}{\left(\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}\right)}-h\nabla _{\partial _{j}}{\left(\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right)},\,\end{aligned}}}
woraus hervorgeht, dass dies nur von
h
(
P
)
{\displaystyle {}h(P)}
abhängt.
Ist klar aufgrund der Definition und wegen
Fakt .
Aufgrund der
Torsionsfreiheit
(siehe
Fakt )
und
der Jacobi-Identität
ist
R
(
V
,
W
)
Z
+
R
(
W
,
Z
)
V
+
R
(
Z
,
V
)
W
=
∇
V
(
∇
W
Z
)
−
∇
W
(
∇
V
Z
)
−
∇
[
V
,
W
]
Z
+
∇
W
(
∇
Z
V
)
−
∇
Z
(
∇
W
V
)
−
∇
[
W
,
Z
]
V
+
∇
Z
(
∇
V
W
)
−
∇
V
(
∇
Z
W
)
−
∇
[
Z
,
V
]
W
=
∇
V
(
[
W
,
Z
]
)
+
∇
W
(
[
Z
,
V
]
)
+
∇
Z
(
[
V
,
W
]
)
−
∇
[
V
,
W
]
Z
−
∇
[
W
,
Z
]
V
−
∇
[
Z
,
V
]
W
=
∇
V
(
[
W
,
Z
]
)
−
∇
[
W
,
Z
]
V
+
∇
W
(
[
Z
,
V
]
)
−
∇
[
Z
,
V
]
W
+
∇
Z
(
[
V
,
W
]
)
−
∇
[
V
,
W
]
Z
=
[
V
,
[
W
,
Z
]
]
+
[
W
,
[
Z
,
V
]
]
+
[
Z
,
[
V
,
W
]
]
=
0.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,R(V,W)Z+R(W,Z)V+R(Z,V)W\\&=\nabla _{V}{\left(\nabla _{W}Z\right)}-\nabla _{W}{\left(\nabla _{V}Z\right)}-\nabla _{[V,W]}Z+\nabla _{W}{\left(\nabla _{Z}V\right)}-\nabla _{Z}{\left(\nabla _{W}V\right)}-\nabla _{[W,Z]}V+\nabla _{Z}{\left(\nabla _{V}W\right)}-\nabla _{V}{\left(\nabla _{Z}W\right)}-\nabla _{[Z,V]}W\\&=\nabla _{V}{\left([W,Z]\right)}+\nabla _{W}{\left([Z,V]\right)}+\nabla _{Z}{\left([V,W]\right)}-\nabla _{[V,W]}Z-\nabla _{[W,Z]}V-\nabla _{[Z,V]}W\\&=\nabla _{V}{\left([W,Z]\right)}-\nabla _{[W,Z]}V+\nabla _{W}{\left([Z,V]\right)}-\nabla _{[Z,V]}W+\nabla _{Z}{\left([V,W]\right)}-\nabla _{[V,W]}Z\\&=[V,[W,Z]]+[W,[Z,V]]+[Z,[V,W]]\\&=0.\,\end{aligned}}}
Wir können und aus Vektorfelder
V
,
W
{\displaystyle {}V,W}
mit
[
V
,
W
]
=
0
{\displaystyle {}[V,W]=0}
beschränken. Es ist dann nach
Fakt (2)
und
dem Satz von Schwarz
⟨
R
(
V
,
W
)
T
,
Z
⟩
=
⟨
∇
V
∇
W
T
−
∇
W
∇
V
T
,
Z
⟩
=
⟨
∇
V
∇
W
T
,
Z
⟩
−
⟨
∇
W
∇
V
T
,
Z
⟩
=
−
⟨
∇
W
T
,
∇
V
Z
⟩
+
D
V
⟨
∇
W
T
,
Z
⟩
+
⟨
∇
V
T
,
∇
W
Z
⟩
−
D
W
⟨
∇
V
T
,
Z
⟩
=
⟨
T
,
∇
W
∇
V
Z
⟩
−
D
W
⟨
T
,
∇
V
Z
⟩
+
D
V
(
−
⟨
T
,
∇
W
Z
⟩
+
D
W
⟨
T
,
Z
⟩
)
−
⟨
T
,
∇
V
∇
W
Z
⟩
+
D
V
⟨
T
,
∇
W
Z
⟩
−
D
W
(
−
⟨
T
,
∇
V
Z
⟩
+
D
V
⟨
T
,
Z
⟩
)
=
⟨
T
,
∇
W
∇
V
Z
⟩
−
⟨
T
,
∇
V
∇
W
Z
⟩
=
−
⟨
R
(
V
,
W
)
Z
,
T
⟩
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle \\&=\left\langle \nabla _{V}\nabla _{W}T-\nabla _{W}\nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=\left\langle \nabla _{V}\nabla _{W}T,Z\right\rangle -\left\langle \nabla _{W}\nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=-\left\langle \nabla _{W}T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle \nabla _{W}T,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}T,\nabla _{W}Z\right\rangle -D_{W}\left\langle \nabla _{V}T,Z\right\rangle \\&=\left\langle T,\nabla _{W}\nabla _{V}Z\right\rangle -D_{W}\left\langle T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}{\left(-\left\langle T,\nabla _{W}Z\right\rangle +D_{W}\left\langle T,Z\right\rangle \right)}-\left\langle T,\nabla _{V}\nabla _{W}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle T,\nabla _{W}Z\right\rangle -D_{W}{\left(-\left\langle T,\nabla _{V}Z\right\rangle +D_{V}\left\langle T,Z\right\rangle \right)}\\&=\left\langle T,\nabla _{W}\nabla _{V}Z\right\rangle -\left\langle T,\nabla _{V}\nabla _{W}Z\right\rangle \\&=-\left\langle R(V,W)Z,T\right\rangle .\,\end{aligned}}}
Unter Verwendung von (3), (4) und (5) ist
⟨
R
(
V
,
W
)
T
,
Z
⟩
=
−
⟨
R
(
T
,
V
)
W
,
Z
⟩
−
⟨
R
(
W
,
T
)
V
,
Z
⟩
=
⟨
R
(
T
,
V
)
Z
,
W
⟩
+
⟨
R
(
W
,
T
)
Z
,
V
⟩
=
−
⟨
R
(
V
,
Z
)
T
,
W
⟩
−
⟨
R
(
Z
,
T
)
V
,
W
⟩
−
⟨
R
(
T
,
Z
)
W
,
V
⟩
−
⟨
R
(
Z
,
W
)
T
,
V
⟩
=
2
⟨
R
(
T
,
Z
)
V
,
W
⟩
−
⟨
R
(
V
,
Z
)
T
,
W
⟩
−
⟨
R
(
Z
,
W
)
T
,
V
⟩
=
2
⟨
R
(
T
,
Z
)
V
,
W
⟩
+
⟨
R
(
V
,
Z
)
W
,
T
⟩
+
⟨
R
(
Z
,
W
)
V
,
T
⟩
=
2
⟨
R
(
T
,
Z
)
V
,
W
⟩
−
⟨
R
(
W
,
V
)
Z
,
T
⟩
=
2
⟨
R
(
T
,
Z
)
V
,
W
⟩
−
⟨
R
(
V
,
W
)
T
,
Z
⟩
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle \\&=-\left\langle R(T,V)W,Z\right\rangle -\left\langle R(W,T)V,Z\right\rangle \\&=\left\langle R(T,V)Z,W\right\rangle +\left\langle R(W,T)Z,V\right\rangle \\&=-\left\langle R(V,Z)T,W\right\rangle -\left\langle R(Z,T)V,W\right\rangle -\left\langle R(T,Z)W,V\right\rangle -\left\langle R(Z,W)T,V\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(V,Z)T,W\right\rangle -\left\langle R(Z,W)T,V\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle +\left\langle R(V,Z)W,T\right\rangle +\left\langle R(Z,W)V,T\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(W,V)Z,T\right\rangle \\&=2\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle -\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle .\,\end{aligned}}}
Dies ergibt die Behauptung.
◻
{\displaystyle \Box }
Aufgrund von
Fakt (2)
ist für Vektoren
v
,
w
,
z
∈
T
P
M
{\displaystyle {}v,w,z\in T_{P}M}
in einem Punkt
P
∈
M
{\displaystyle {}P\in M}
ein Vektor
R
(
v
,
w
)
(
z
)
∈
T
P
M
{\displaystyle {}R(v,w)(z)\in T_{P}M}
wohldefiniert, da man ja die Vektoren durch differenzierbare Vektorfelder
V
,
W
,
Z
{\displaystyle {}V,W,Z}
mit
V
(
P
)
=
v
{\displaystyle {}V(P)=v}
etc.
(lokal)
realisieren kann und dann
R
(
V
,
W
)
(
Z
)
{\displaystyle {}R(V,W)(Z)}
im Punkt auswerten kann.