Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien

Es sei die Vereinigung der offenen Mengen .

Dann ist durch

ein Morphismus gegeben.

Beweis  

Wir betrachten zunächst die Situation auf . Es ist

ein Isomorphismus von -Moduln. Dabei entsprechen die den Funktionen

Dabei gilt

und dieser Quotient ist wohldefiniert. Diese Funktionen definieren wiederum nach Fakt einen Morphismus

Diese Morphismen verkleben zu einem Morphismus auf der Vereinigung der .



Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien globale Schnitte auf . Dann nennt man den nach Fakt auf definierten Morphismus

den durch die Schnitte gegebenen oder den durch das lineare System gegebenen Morphismus. Er wird mit oder mit bezeichnet.







Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring und es sei eine invertierbare Garbe auf . Man nennt einen -Untermodul ein lineares System auf .


Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring und es sei eine invertierbare Garbe auf . Ein lineares System heißt basispunktfrei, wenn es zu jedem Punkt ein mit gibt.

Dies wird hauptsächlich für Schemata über einem Körper verwendet. Man sagt dann auch, dass die Schnitte basispunktfrei sind, wenn das von ihnen erzeugte lineare System basispunktfrei ist.



Satz  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring .

Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.

  1. Eine invertierbare Garbe auf zusammen mit basispunktfreien Schnitten
  2. Ein Morphismus

    über .

Dabei wird den Schnitten der zugehörige Morphismus und dem Morphismus die invertierbare Garbe zusammen mit den Schnitten zugeordnet.

Beweis