Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien

Es sei die Vereinigung der offenen Mengen .

Dann ist durch

ein Morphismus gegeben.

Beweis  

Wir betrachten zunächst die Situation auf . Es ist

nach Fakt ein Isomorphismus von -Moduln. Dabei entsprechen unter diesem Isomorphismus die den Funktionen

Dabei gilt

und dieser Quotient ist wohldefiniert. Diese Funktionen , , definieren wiederum nach Fakt einen Morphismus

Insgesamt liegt das kommutative Diagramm

vor, da links so verklebt wird wie im projektiven Raum rechts. Somit setzen sich diese Morphismen zu einem Morphismus auf der Vereinigung der zusammen.



Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien globale Schnitte auf . Dann nennt man den nach Fakt auf definierten Morphismus

den durch die Schnitte gegebenen oder den durch das lineare System gegebenen Morphismus. Er wird mit oder mit bezeichnet.


Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring und es sei eine invertierbare Garbe auf . Man nennt einen -Untermodul ein lineares System auf .

Wegen Aufgabe hängt der durch eine Familie von Schnitten gegebene Morphismus in erster Linie von dem davon erzeugten Untermodul ab (insbesondere, wenn die Schnitte linear unabhängig sind, was man oft ohnehin fordert). Bei spricht man von einem vollen linearen System. Ein lineares System hat eine geometrische Bedeutung. Jeder Schnitt definiert den Invertierbarkeitsort und das Nullstellengebilde . Bei ist eine abgeschlossene Teilmenge von der Kodimension , eine Hyperfläche von (man denke an integres ). Die Familie , , , ist somit eine Familie von Hyperflächen, die dem linearen System zugeordnet ist (oft nennt man dieses System das lineare System). Wenn normal ist, so kann man die als eine Familie von zueinander linear äquialenten Divisoren auffassen.


Beispiel  

Auf der projektiven Geraden über einem kommutativen Ring und das (volle) lineare System ist der zugehörige Morphismus die Identität.



Beispiel  

Auf der projektiven Geraden über einem kommutativen Ring und das (volle) lineare System ist der zugehörige Morphismus ausgeschrieben gleich

Dem Punkt auf der projektiven Geraden mit den homogenen Koordinaten wird also der Punkt in der projektiven Ebene mit den homogenen Koordinaten zugeordnet. Das Bild erfüllt die Gleichung , d.h. das Bild liegt in der ebenen Kurve

In der Tat liegt eine Isomorphie vor.



Definition  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring und es sei eine invertierbare Garbe auf . Ein lineares System heißt basispunktfrei, wenn es zu jedem Punkt ein mit gibt.

Dies wird hauptsächlich für Schemata über einem Körper verwendet. Man sagt dann auch, dass die Schnitte basispunktfrei sind, wenn das von ihnen erzeugte lineare System basispunktfrei ist.



Lemma

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien globale Schnitte auf . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Es ist .
  2. Der durch das lineare System definierte Morphismus nach ist auf ganz definiert.
  3. Das lineare System ist basispunktfrei.

Beweis

Siehe Aufgabe.




Satz  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring .

Dann entsprechen sich die folgenden Konzepte.

  1. Eine invertierbare Garbe auf zusammen mit basispunktfreien Schnitten
  2. Ein Morphismus

    über .

Dabei wird den Schnitten der zugehörige Morphismus und dem Morphismus die invertierbare Garbe zusammen mit den Schnitten , , zugeordnet.

Beweis  

Es sei zuerst die invertierbare Garbe mit den Schnitten gegeben. Es ist zu zeigen, dass

ist. Auf dem projektiven Raum gibt es -Modulhomomorphismen

die eingeschränkt auf Isomorphismen sind. Dies induziert -Modulhomomorphismen

und Isomorphismen

die in Verbindung mit den -Isomorphismen

zu -Isomorphismen

führen, bei denen sich und entsprechen. Die Einschränkungen dieser Isomorphismen auf stimmen überein, daher gibt es nach Fakt einen globalen Isomorphismus

Wenn umgekehrt ein Morphismus gegeben ist, so definiert dies Schnitte , , und dies wiederum den dadurch festgelegten Morphismus . Es ist zu zeigen, dass diese beiden Morphismen übereinstimmen. Ein Morphismus ist lokal festgelegt. Unter der Einschränkung

werden aber die zugehörigen Variablen auf zurückgezogen, und mit diesen Brüchen wird definiert.




Lemma  

Es sei ein Schema über einem kommutativen Ring , es sei eine invertierbare Garbe auf und es seien globale Schnitte auf und der zugehörige Morphismus.

Dann ist das Urbild der Hyperebene

(mit , nicht alle gleich ) unter gleich der Nullstellenmenge

des zurückgezogenen Schnittes .

Beweis  

Dies folgt aus Fakt.


Zur getwisteten Strukturgarbe gehört über die Familie aller globalen Schnitte die Familie aller Hyperebenen im projektiven Raum. Ebenso gehört zu einer invertierbaren Garbe auf einem Schema über die Familie ihrer globalen Schnite die Familie ihrer Nullstellengebilde. Unter der in Fakt beschriebenen Korrespondenz sind die Urbilder der Hyperebenen gleich den Nullstellengebilden. Wenn durch eine abgeschlossene Untervarietät faktorisiert, also vorliegt, so sind auch die Nullstellengebilde Urbilder von Durchschnitten mit einer Hyperebene . In Beispiel etwa stimmt die Familie der Nullstellengebilde zum vollen linearen System aus mit der Familie der Durchschnitte , , überein.