Algebra/Körper/Endlicher Typ/Dimensionseigenschaften/Textabschnitt

Satz

Der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$

besitzt die Krulldimension ${}n$.

Jedes maximale Ideal des Polynomringes besitzt die Höhe ${}n$.

Beweis

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}$. Dann zeigt einerseits die Primidealkette

${}0\subset {\left(X_{1}\right)}\subset {\left(X_{1},X_{2}\right)}\subset \ldots \subset {\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}\,,$

dass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ zumindest ${}n$ ist. Da das Ideal ${}n$ Erzeuger besitzt, folgt andererseits aus Fakt, dass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ höchstens gleich ${}n$ ist. Die Höhe ist also genau ${}n$.

Wenn ein maximales Ideal der Form

${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\,$

(also ein Punktideal) mit ${}a_{i}\in K$ vorliegt, so zeigt die gleiche Argumentation, dass seine Höhe gleich ${}n$ ist (oder man arbeitet mit einem ${}K$-Algebraautomorphismus von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, der ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ überführt.). Wenn ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so sind wir nach Fakt fertig.

Wenn ${}K$ ein beliebiger Körper ist, so gibt es eine ganze Körpererweiterung ${}K\subseteq {\overline {K}}$ mit ${}{\overline {K}}$ algebraisch abgeschlossen. Die Erweiterung

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

ist ebenfalls ganz. Sei ${}{\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein maximales Ideal. Dazu gibt es nach Fakt und Fakt ein maximales Punktideal

${}{\mathfrak {n}}\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,,$

das auf ${}{\mathfrak {m}}$ runterschneidet. Eine Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {n}}$ der Länge ${}n$ schneidet auf eine Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {m}}$ runter, so dass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ zumindest ${}n$ ist. Umgekehrt gibt es zu einer Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {m}}$ nach Fakt eine darüberliegende Primidealkette in ${}{\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Da eine solche maximal die Länge ${}n$ besitzt, ist die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ gleich ${}n$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$ über einem Körper ${}K$.

Dann besitzt der Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$ die Dimension ${}n-1$.

Beweis

Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung

${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{n-1}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,.$

Nach Fakt stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Also hat der Hyperflächenring die gleiche Dimension wie der Polynomring in ${}n-1$ Variablen, die nach Fakt gleich ${}n-1$ ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$-Algebra vom endlichen Typ über einem Körper ${}K$.

Dann besitzt jede maximale Primidealkette in ${}R$ die gleiche Länge.

Beweis

Es sei ${}d$ die Dimension von ${}R$, wir führen Induktion über ${}d$. Bei ${}d=0$ ist die Aussage klar. Zum Induktionsschluss sei

${}0\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

eine maximale Primidealkette in ${}R$. Nach Fakt gibt es eine endliche Erweiterung

${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\subseteq R\,.$

Wir betrachten

${}{\mathfrak {q}}_{1}:={\mathfrak {p}}_{1}\cap K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\,.$

Nach Aufgabe ist ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ nicht das Nullideal. Würde es ein Primideal

${}0\subset {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\,$

geben, so würde es dazu nach Fakt eine Primidealkette

${}0\subset {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\,$

geben, die darüber liegt, und dann wäre die Kette nicht maximal. Das bedeutet, dass ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ die Höhe ${}1$ besitzt. Da der Polynomring faktoriell ist, ist

${}{\mathfrak {q}}_{1}=(F)\,$

ein Primhauptideal und somit ist nach Fakt die Dimension von ${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]/(F)$ gleich ${}d-1$. Da die induzierte Abbildung

$K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]/(F)\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}_{1}$

ebenfalls endlich und injektiv ist, folgt nach Fakt, dass die Dimension von ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$ gleich ${}d-1$ ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt jede maximale Primidealkette in ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$ die Länge ${}d-1$. Unsere Primidealkette induziert (startend mit ${}{\mathfrak {p}}_{1}$) eine maximale Primidealkette in ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$, also ist

${}n-1=d-1\,$

und daher ${}n=d$.

$\Box$

In der vorstehenden Aussage ist die Voraussetzung der Integrität notwendig, wie jedes Beispiel zeigt, in dem die maximalen Komponenten nicht die gleiche Dimension haben. Aber auch die Voraussetzung, dass die Algebra vom endlichen Typ ist, ist entscheidend.

Beispiel

Wir betrachten den Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$ und dem Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(X-1)$, das nicht in ${}{\mathfrak {m}}$ liegt. Wir betrachten das multiplikative System

${}S={\left\{f\in K[X,Y]\mid f\notin {\mathfrak {m}}{\text{ und }}f\notin {\mathfrak {p}}\right\}}=K[X,Y]\setminus {\mathfrak {m}}\cap K[X,Y]\setminus {\mathfrak {p}}\,.$

In der Nenneraufnahme ${}R=K[X,Y]_{S}$ sind die Primideale ${}{\mathfrak {m}}R$ und ${}{\mathfrak {p}}R$ die einzigen maximalen Ideale, das eine hat die Höhe ${}2$ und das andere die Höhe ${}1$. Die Aussage Fakt gilt also nicht für integre Algebren, die im Wesentlichen vom endlichen Typ sind.

Korollar

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$-Algebra vom endlichen Typ über einem Körper ${}K$ und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal.

Dann ist

${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}=\operatorname {dim} {\left({\mathfrak {p}}\right)}+\operatorname {ht} {\left({\mathfrak {p}}\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$