Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}P$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq P$ ein Ideal mit Restklassenring ${}R=P/{\mathfrak {a}}$

Dann induziert ein Differentialoperator ${}D\colon P\rightarrow P$ der Ordnung ${}\leq n$ einen Differentialoperator auf ${}R$ der Ordnung ${}\leq n$, wenn

${}D({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {a}}\,$

ist.

Der Modul der Hauptteile

Lemma

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra.

Dann wird der Kern ${}\Delta$ der Multiplikation

$R\otimes _{K}R\longrightarrow R,\,f\otimes g\longmapsto fg,$

als ${}R$-Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in $R\otimes _{K}R$) von den Ausdrücken ${}g\otimes 1-1\otimes g$ erzeugt.

Beweis

Es sei ${}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}\in \Delta$, also ${}\sum _{i}f_{i}g_{i}=0$ in ${}R$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-{\left(\sum _{i}f_{i}g_{i}\right)}\otimes 1\\&=\sum _{i}f_{i}\otimes g_{i}-\sum _{i}f_{i}g_{i}\otimes 1\\&=\sum _{i}{\left(f_{i}\otimes g_{i}-f_{i}g_{i}\otimes 1\right)}\\&=\sum _{i}f_{i}{\left(1\otimes g_{i}-g_{i}\otimes 1\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}\Delta \subseteq R\otimes _{K}R$ der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den ${}R$-Modul

${}P_{R{|}K}^{n}:=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\,,$

versehen mit der ${}R$-Multiplikation in der ersten Komponente, den ${}n$-ten Modul der Hauptteile.

Definition

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann nennt man die ${}K$-lineare Abbildung

$d^{n}\colon R\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1},\,f\longmapsto 1\otimes f,$

den universellen Differentialoperator der Ordnung ${}n$.

Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar ${}(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$.

Lemma

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung ${}n$ die Produktformel

$d^{n}(f_{0}\cdots f_{n})=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d^{n}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\,$

für ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(1\otimes f_{0}-f_{0}\otimes 1\right)}\cdot {\left(1\otimes f_{1}-f_{1}\otimes 1\right)}\cdots {\left(1\otimes f_{n}-f_{n}\otimes 1\right)}&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}+\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\end{aligned}}$

und dieses Element gehört zu ${}\Delta ^{n+1}$, ist also gleich ${}0$ im Hauptteilmodul. Somit ist

${}{\begin{aligned}d^{n}(f_{0}\cdots f_{n})&=1\otimes f_{0}\cdots f_{n}\\&=-\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{\#\left(I\right)}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\otimes \prod _{i\notin I}f_{i}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d^{n}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}n\in \mathbb {N}$.

Dann ist der Hauptteilmodul ${}(P_{R{|}K}^{n},d^{n})$ kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen ${}df$, ${}f\in R$, erzeugten ${}R$-Modul, der den Identifizierungen

1. ${}d(af+bg)=adf+bdg\,$

   für ${}f,g\in R$ und ${}a,b\in K$,

2. $d(f_{0}\cdots f_{n})=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot d{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\,$

   für ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$,

genügt.

Beweis

Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als ${}(U_{n},d)$, wobei ${}d$ die kanonische Abbildung

$R\longrightarrow U_{n},\,f\longmapsto [df],$

bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen ${}R$-Modulhomomorphismus

$U_{n}\longrightarrow P_{R{|}K}^{n},\,[df]\longmapsto 1\otimes f.$

Die Abbildung

$R\times R\longrightarrow U_{n},\,(r,f)\longmapsto r[df],$

ist ${}K$-bilinear und induziert damit einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$R\otimes _{K}R\longrightarrow U_{n}.$

Wegen der Produkteigenschaft von ${}U_{n}$ geht dabei ${}\Delta ^{n+1}$ auf ${}0$ (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}=P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow U_{n}.$

Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.

$\Box$

Wir bezeichnen zu einem Monom ${}\lambda \in \mathbb {N} ^{k}$ mit

${}D^{\lambda }={\left(\partial _{X_{1}}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{X_{k}}\right)}^{\lambda _{k}}\,$

diesen Differentialoperator auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$. Der Ausdruck

${}{\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }={\frac {1}{\lambda !}}{\left(\partial _{X_{1}}\right)}^{\lambda _{1}}\circ \cdots \circ {\left(\partial _{X_{k}}\right)}^{\lambda _{k}}\,$

ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom ${}X^{\nu }$ direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in ${}\mathbb {Z}$ behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form ${}D^{\lambda }$, wobei eine Komponente von ${}\lambda$ negativ ist, ist als ${}0$ zu interpretieren.

Lemma

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$

Dann ist

${}R\otimes _{K}R\cong R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}\,$

mit

${}G_{i}=\sum _{\lambda }G_{i,\lambda }A^{\lambda }\,$

und

${}G_{i,\lambda }={\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}{\left(F_{i}\right)}\,.$

Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung

${}{\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m},{\tilde {F}}_{1},\ldots ,{\tilde {F}}_{m}\right)},\end{aligned}}$

wobei ${}{\tilde {F_{i}}}$ aus ${}F_{i}$ entsteht, indem man ${}X_{j}$ durch ${}{\tilde {X}}_{j}$ ersetzt. Wir setzen

${}A_{j}={\tilde {X_{j}}}-X_{j}\,$

an und schreiben den Ring als

${}K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m},G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}=R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m}\right)}\,,$

wobei

${}G_{i}={\tilde {F_{i}}}=F_{i}{\left({\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}\right)}=F_{i}{\left(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k}\right)}\,$

ist. Betrachte ein Monom ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus einem ${}F$. In die Gleichung ${}G$ geht dies in der Form

$(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}$

ein. Ausmultiplizieren ergibt

$\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}=\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots A_{k}^{\lambda _{k}}\,.$

Auf das Monom ${}A^{\lambda }$ in ${}G$ bezieht sich also der Term

${\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.$

Dies stimmt mit

${\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}{\left(X^{\nu }\right)}$

überein.

$\Box$

Definition

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}I={\left\{(\mu ,i)\mid \mu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m\right\}}$ und ${}J={\left\{\nu \mid \nu \in \mathbb {N} ^{k}{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(\nu )\leq n\right\}}$. Dann nennt man die ${}I\times J$-Matrix mit Einträgen

${}a_{(\mu ,i;\nu )}={\frac {\partial ^{\nu -\mu }}{(\nu -\mu )!}}{\left(F_{i}\right)}\,$

die ${}n$-te Jacobi-Taylor-Matrix.

Diese Matrizen bezeichnen wir mit ${}J_{n}$. Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.

In drei Variablen und einer Gleichung ${}F$ sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus (über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch ${}F$).

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&\partial _{X}(F)&0&0&0\\B&\partial _{Y}(F)&0&0&0\\C&\partial _{Z}(F)&0&0&0\\A^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{X}\partial _{X}(F)&\partial _{X}(F)&0&0\\AB&\partial _{X}\partial _{Y}(F)&\partial _{Y}(F)&\partial _{X}(F)&0\\AC&\partial _{X}\partial _{Z}(F)&\partial _{Z}(F)&0&\partial _{X}(F)\\B^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{Y}\partial _{Y}(F)&0&\partial _{Y}(F)&0\\BC&\partial _{Y}\partial _{Z}(F)&0&\partial _{Z}(F)&\partial _{Y}(F)\\C^{2}&{\frac {1}{2}}\partial _{Z}\partial _{Z}(F)&0&0&\partial _{Z}(F)\end{pmatrix}}$

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$

Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung (eine exakte Sequenz von ${}R$-Moduln)

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow 0,$

wobei ${}M$ die transponierte ${}n$-te Jacobi-Taylor-Matrix ist.

Beweis

Aufgrund von Fakt ist

${}P_{R{|}K}^{n}=R\otimes _{K}R/\Delta ^{n+1}\cong R[A_{1},\ldots ,A_{k}]/{\left(G_{1},\ldots ,G_{m},A^{\lambda },\operatorname {grad} \,(\lambda )\geq n+1\right)}\,.$

Insbesondere bilden die Monome ${}A^{\lambda }$, ${}\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n$, ein ${}R$-Modul-Erzeugendensystem von ${}P_{R{|}K}^{n}$ und es gibt eine surjektive Abbildung

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n},\,e_{\lambda }\longmapsto A^{\lambda }.$

Derjenige Teil des von den ${}G_{i}$ erzeugten Ideals, das einen Grad ${}\leq n$ besitzt, wird als ${}R$-Modul von allen

$A^{\mu }G_{i}=A^{\mu }{\left(\sum _{\lambda }G_{i,\lambda }A^{\lambda }\right)},\,\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m,$

erzeugt. Somit wird der Kern der Abbildung durch alle ${}\lambda$-Tupel

$C_{\mu ,i}={\left(C_{\nu ;\mu ,i}\right)}{\text{ mit }}C_{\nu ;\mu ,i}=G_{i,\nu -\mu },\,\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m,$

erzeugt, wobei ${}G_{i,\nu -\mu }$ als ${}0$ zu interpretieren is, falls eine Komponente negativ wird. Der Kern ist also das Bild der Abbildung

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}\longrightarrow \bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda },\,e_{\mu ,i}\longmapsto C_{\mu ,i}.$

Der Eintrag der beschreibenden Matrix zum Zeilenindex ${}\nu$ und zum Spaltenindex ${}(\mu ,i)$ ist

$G_{i,\nu -\mu }={\frac {1}{(\nu -\mu )!}}D^{\nu -\mu }(F_{i})$

nach Fakt. Dies ist die transponierte Matrix zur Jacobi-Taylor-Matrix.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$

Dann entsprechen die Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$ auf ${}R$ den Elementen des Kernes der ${}n$-ten Jacobi-Taylor-Matrix.

Beweis

Wir arbeiten mit der exakten Sequenz

$\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\mu )\leq n-1,\,1\leq i\leq m}Re_{\mu ,i}{\stackrel {J_{n}^{\text{tr}}}{\longrightarrow }}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}\longrightarrow 0$

aus Fakt, wobei ${}J_{n}$ die ${}n$-te Jacobi-Taylor-Matrix bezeichnet. Ein Differentialoperator auf ${}R$ ist das gleiche wie eine ${}R$-Linearform auf ${}P_{R{|}K}^{n}$. Dies wiederum ist das gleiche wie eine ${}R$-Linearform ${}\varphi$ auf ${}\bigoplus _{\operatorname {grad} \,(\lambda )\leq n}Re_{\lambda }$ (also einfach ein ${}R$-Tupel ${}a_{\lambda }$), die die Eigenschaft ${}\varphi \circ {J_{n}^{\text{tr}}}=0$ erfüllt. Dies ist äquivalent zu ${}J_{n}\circ {\varphi ^{\text{tr}}}=0$.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ Polynome mit dem Restklassenring

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/{\left(F_{1},\ldots ,F_{m}\right)}\,.$

Dann wird ein durch ein ${}\lambda$-Tupel ${}{\left(a_{\lambda }\right)}$ im Sinne von Fakt gegebener Differentialoperator auf ${}R$ auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]$ durch

$\sum _{\lambda }a_{\lambda }{\frac {\partial ^{\lambda }}{\lambda !}}$

repräsentiert.

Beweis

Der universelle Operator ${}d^{n}\colon R\rightarrow P_{R{|}K}^{n}$ sendet ein Monom ${}X^{\nu }$ auf

${}{\begin{aligned}1\otimes X^{\nu }&=1\otimes X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}\\&={\tilde {X}}_{1}^{\nu _{1}}\cdots {\tilde {X}}_{k}^{\nu _{k}}\\&=(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}\\&=\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots A_{k}^{\lambda _{k}}.\end{aligned}}$

Die Verknüpfung mit der durch ${}{\left(a_{\lambda }\right)}$ gegebenen Linearform auf ${}P_{R{|}K}^{n}$ ergibt somit

$\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}a_{\lambda }.$

Dies stimmt mit

$\sum _{\lambda }a_{\lambda }{\frac {1}{\lambda !}}{\left({\frac {\partial }{\partial X}}\right)}^{\lambda }{\left(X^{\nu }\right)}$

überein.

$\Box$

Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form

${}Z_{\nu }={\left({\frac {1}{(\nu -\mu )!}}D^{\nu -\mu }(F_{i})\,,(\mu ,i)\right)}\,.$