Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt

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Lemma

Es sei eine kommutative - Algebra und ein Ideal mit Restklassenring

Dann induziert ein Differentialoperator der Ordnung einen Differentialoperator auf der Ordnung , wenn

ist.



Der Modul der Hauptteile



Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra.

Dann wird der Kern der Multiplikation

als - Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in ) von den Ausdrücken erzeugt.

Beweis  

Es sei , also in . Dann ist



Definition  

Es sei eine kommutative - Algebra und . Es sei der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den - Modul

versehen mit der -Multiplikation in der ersten Komponente, den -ten Modul der Hauptteile.


Definition  

Es sei eine kommutative - Algebra und . Dann nennt man die - lineare Abbildung

den universellen Differentialoperator der Ordnung .

Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar .



Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra und .

Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung die Produktformel

für .

Beweis  

Es ist

und dieses Element gehört zu , ist also gleich im Hauptteilmodul. Somit ist



Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra und .

Dann ist der Hauptteilmodul kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen , , erzeugten -Modul, der den Identifizierungen

  1. für und ,

  2. für ,

genügt.

Beweis  

Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als , wobei die kanonische Abbildung

bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen - Modulhomomorphismus

Die Abbildung

ist - bilinear und induziert damit einen -Modulhomomorphismus

Wegen der Produkteigenschaft von geht dabei auf (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen -Modulhomomorphismus

Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.

Wir bezeichnen zu einem Monom mit

diesen Differentialoperator auf dem Polynomring . Der Ausdruck

ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form , wobei eine Komponente von negativ ist, ist als zu interpretieren.



Lemma  

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann ist

mit

und

Beweis  

Wir arbeiten mit der Beschreibung

wobei aus entsteht, indem man durch ersetzt. Wir setzen

an und schreiben den Ring als

wobei

ist. Betrachte ein Monom aus einem . In die Gleichung geht dies in der Form

ein. Ausmultiplizieren ergibt

Auf das Monom in bezieht sich also der Term

Dies stimmt mit

überein.



Definition  

Es seien Polynome. Zu sei und . Dann nennt man die - Matrix mit Einträgen

die -te Jacobi-Taylor-Matrix.

Diese Matrizen bezeichnen wir mit . Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.

In drei Variablen und einer Gleichung sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus (über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch ).



Korollar  

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung (eine exakte Sequenz von -Moduln)

wobei die transponierte -te Jacobi-Taylor-Matrix ist.

Beweis  

Aufgrund von Fakt ist

Insbesondere bilden die Monome , , ein -Modul-Erzeugendensystem von und es gibt eine surjektive Abbildung

Derjenige Teil des von den erzeugten Ideals, das einen Grad besitzt, wird als -Modul von allen

erzeugt. Somit wird der Kern der Abbildung durch alle -Tupel

erzeugt, wobei als zu interpretieren is, falls eine Komponente negativ wird. Der Kern ist also das Bild der Abbildung

Der Eintrag der beschreibenden Matrix zum Zeilenindex und zum Spaltenindex ist

nach Fakt. Dies ist die transponierte Matrix zur Jacobi-Taylor-Matrix.



Korollar  

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann entsprechen die Differentialoperator der Ordnung auf den Elementen des Kernes der -ten Jacobi-Taylor-Matrix.

Beweis  

Wir arbeiten mit der exakten Sequenz

aus Fakt, wobei die -te Jacobi-Taylor-Matrix bezeichnet. Ein Differentialoperator auf ist das gleiche wie eine -Linearform auf . Dies wiederum ist das gleiche wie eine -Linearform auf (also einfach ein -Tupel ), die die Eigenschaft erfüllt. Dies ist äquivalent zu .



Korollar  

Es seien Polynome mit dem Restklassenring

Dann wird ein durch ein -Tupel im Sinne von Fakt gegebener Differentialoperator auf auf dem Polynomring durch

repräsentiert.

Beweis  

Der universelle Operator sendet ein Monom auf

Die Verknüpfung mit der durch gegebenen Linearform auf ergibt somit

Dies stimmt mit

überein.


Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form