Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Textabschnitt

Zu einem Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ und einem ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul ist die zurückgezogene Garbe ${}\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}$ im Allgemeinen kein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul.

Definition

Zu einem Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ und einem ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul ${}{\mathcal {G}}$ ist die zurückgezogene Modulgarbe ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ als Vergarbung der Prägarbe

$U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\otimes _{\Gamma {\left(U,\varphi ^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}\right)}}\Gamma {\left(U,\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}\right)}$

definiert.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ein Morphismus beringter Räume und ${}{\mathcal {G}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf ${}Y$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Der zurückgezogene Modul ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ ist ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul.
2. Es ist

   ${}\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}\,.$

3. Zu einer lokal freien Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ vom Rang ${}r$ ist ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ eine lokale freie Garbe auf ${}X$ vom Rang ${}r$.
4. Zu einer offenen Teilmenge ${}V\subseteq Y$ ist

   ${}i_{V}^{*}({\mathcal {G}})=i_{V}^{-1}({\mathcal {G}})={\mathcal {G}}{|}V\,.$

5. Für einen Morphismus

   $\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow (Z,{\mathcal {O}}_{Z})$

   in einen weiteren beringten Raum und einen ${}{\mathcal {O}}_{Z}$-Modul ${}{\mathcal {H}}$ ist ${}\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}{\mathcal {H}}\right)}={\left(\psi \circ \varphi \right)}^{*}{\mathcal {H}}$.

6. Zu einer offenen Teilmenge ${}V\subseteq Y$ ist

   ${}{\left(\varphi ^{*}{\mathcal {G}}\right)}{|}_{\varphi ^{-1}(V)}={\left(\varphi ^{*}{\mathcal {G}}\right)}{|}_{V}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ ein Morphismus beringter Räume. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf ${}X$ und ${}{\mathcal {G}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf ${}Y$.

Dann gibt es einen natürlichen Gruppenisomorphismus

$\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}{\left(\varphi ^{*}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\left({\mathcal {G}},\varphi _{*}{\mathcal {F}}\right)}.$

Beweis

Dies folgt im Wesentlichen aus Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}X$ und ${}Y$ lokal beringte Räume und ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Morphismus lokal beringter Räume. Es sei ${}{\mathcal {M}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}Y$ und ${}s\in \Gamma {\left(Y,{\mathcal {M}}\right)}$ ein Schnitt. Es sei ${}\varphi ^{*}(s)$ der zurückgezogene Schnitt in der zurückgezogenen Garbe ${}\varphi ^{*}{\mathcal {M}}$.

Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte die Beziehung

${}\varphi ^{-1}(Y_{s})=X_{\varphi ^{*}(s)}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\theta \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ${}\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ der zugehörige Schemamorphismus. Es sei ${}M$ ein ${}R$-Modul.

Dann ist

${}\varphi ^{*}{\widetilde {M}}={\widetilde {M\otimes _{R}S}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus.

Zu einem quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modul ${}{\mathcal {G}}$ ist ${}\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ eine quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring und ${}S=R/{\mathfrak {a}}$ ein Restklassenring zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$. Es sei

${}Z=\operatorname {Proj} {\left(S\right)}=V+({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Proj} {\left(R\right)}=Y\,$

die zugehörige abgeschlossene Einbettung.

Dann gilt für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung

${}{\mathcal {O}}_{Z}(n)=j_{Z}^{*}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\,.$

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass

${}R=K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]\,$

der standard-graduierte Polynomring über einem kommutativen Ring ${}K$ ist. Der homogene Restklassenhomomorphismus ${}R_{n}\rightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{n}$ definiert einen ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}$-Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)\longrightarrow j_{Z*}{\mathcal {O}}_{Z}(n).$

Durch Adjunktion im Sinne von Fakt entspricht diesem ein ${}{\mathcal {O}}_{Z}$-Modulhomomorphismus

$j_{Z}^{*}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(n)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Z}(n).$

Dieser ist ein Isomorphismus.

$\Box$

Eine direktere Beweismöglichkeit ergibt sich mit Aufgabe.