Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Textabschnitt

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Zu einem Morphismus beringter Räume und einem -Modul ist die zurückgezogene Garbe im Allgemeinen kein -Modul.


Definition  

Zu einem Morphismus beringter Räume und einem -Modul ist die zurückgezogene Modulgarbe als Vergarbung der Prägarbe

definiert.



Lemma

Es sei ein Morphismus beringter Räume und ein -Modul auf . Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Der zurückgezogene Modul ist ein -Modul.
  2. Es ist
  3. Zu einer lokal freien Garbe auf vom Rang ist eine lokale freie Garbe auf vom Rang .
  4. Zu einer offenen Teilmenge ist
  5. Für einen Morphismus

    in einen weiteren beringten Raum und einen -Modul ist .

  6. Zu einer offenen Teilmenge ist

Beweis

Siehe Aufgabe.




Lemma  

Es sei ein Morphismus beringter Räume. Es sei ein -Modul auf und ein -Modul auf .

Dann gibt es einen natürlichen Gruppenisomorphismus

Beweis  

Dies folgt im Wesentlichen aus Aufgabe.




Lemma  

Es seien und lokal beringte Räume und ein Morphismus lokal beringter Räume. Es sei eine invertierbare Garbe auf und ein Schnitt. Es sei der zurückgezogene Schnitt in der zurückgezogenen Garbe .

Dann gilt für die Invertierbarkeitsorte die Beziehung

Beweis  

Dies folgt aus Fakt.



Lemma

Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und der zugehörige Schemamorphismus. Es sei ein -Modul.

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe.




Lemma  

Es sei ein Schemamorphismus.

Zu einem quasikohärenten -Modul ist eine quasikohärenter -Modul.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.




Lemma  

Es sei ein standard-graduierter Ring und ein Restklassenring zu einem homogenen Ideal . Es sei

die zugehörige abgeschlossene Einbettung.

Dann gilt für die getwisteten Strukturgarben die Beziehung

Beweis  

Wir können direkt annehmen, dass

der standard-graduierte Polynomring über einem kommutativen Ring ist. Der homogene Restklassenhomomorphismus definiert einen -Modulhomomorphismus

Durch Adjunktion im Sinne von Fakt entspricht diesem ein -Modulhomomorphismus

Dieser ist ein Isomorphismus.


Eine direktere Beweismöglichkeit ergibt sich mit Aufgabe.