Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 3

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Lineare Konstruktionen von Vektorbündeln

Für Vektorräume gibt es eine Vielzahl von Konstruktionen wie die direkte Summe, das Tensorprodukt, den Dualraum. Wir wollen für Vektorbündel entsprechende Konstruktionen einführen, die faserweise mit den Konstruktionen aus der linearen Algebra übereinstimmen, aber auch die Abhängigkeit der Fasern von der Basis mitberücksichtigen. Wir werden dabei mit Verklebungsdaten für Vektorbündel arbeiten und die Tatsache heranziehen, dass es zu zwei Vektorbündeln auf einem topologischen Raum stets eine (hinreichende feine) offene Überdeckung von gibt, bezüglich der beide Bündel Trivialisierungen besitzen. Insbesondere kann man sich auf den Fall zurückziehen, wo beide Bündel durch Matrixbeschreibungen gegeben sind. Die Konstruktionen spielen sich dann auf der Ebene von Matrixmanipulationen ab.


Definition  

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

die direkte Summe der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.

Wenn durch die Matrixbeschreibung

und durch die Matrixbeschreibung

so erhält man die Matrixbeschriebung von , indem man die beiden Matrizen diagonal zu einer -Matrix zusammensetzt und mit Nullen auffüllt.


Definition  

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.

Bei gegebenen Matrixbeschreibungen erhält man die Matrixbeschreibung des Tensorproduktes durch das sogenannte Kroneckerprodukt. Dabei wird jeder Eintrag der einen Matrix mit jedem Eintrag der anderen Matrix multipliziert.


Definition  

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

(dabei wird für jeden Basispunkt das -te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das -te äußere Produkt des Vektorbündels . Es wird mit bezeichnet.

Bei einer gegebenen Matrixbeschreibung von erhält man die Matrixbeschreibung des -ten äußeren Produktes, indem man sämtliche Determinanten der -Untermatrizen zu einer Matrix zusammenfasst.


Definition  

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum nennt man das -te äußere Produkt das Determinantenbündel von . Es wird mit bezeichnet.

Das Determinantenbündel ist ein Geradenbündel. Die Matrixbeschreibung ist durch die Determinante gegeben.


Definition  

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

die Homomorphismenbündel der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.


Definition  

Zu einem reellen Vektorbündel auf einem topologischen Raum nennt man das Homomorphismenbündel das duale Bündel von . Es wird mit bezeichnet.

Auf einer Mannigfaltigkeit ist das duale Bündel zum Tangentialbündel das sogenannte Kotangentialbündel.



Prägarben

Definition  

Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe auf versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge eine Menge und zu je zwei offenen Mengen eine Abbildung

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

  1. Zu ist
  2. Zu offenen Mengen

    ist stets

Die Abbildungen heißen dabei Restriktionsabbildungen. Die Mengen nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge .

Grundbeispiele für Prägarben (und Garben) sind die folgenden Konstruktionen.


Beispiel  

Es seien und topologische Räume. Jeder offenen Teilmenge kann man die Menge der auf definierten stetigen Abbildungen nach zuordnen, also

Da man eine stetige Abbildung auf jede offene Teilmenge einschränken kann und da man zu die Einschränkung von auf in einem Schritt oder in zwei Schritten machen kann, erhält man eine Prägarbe.


Ein Spezialfall hiervon wird im folgenden Beispiel formuliert, in dem eine zusätzliche Struktur, nämlich ein beringter Raum vorliegt.


Beispiel  

Es sei ein topologischer Raum. Jeder offenen Teilmenge kann man die Menge der auf definierten reellwertigen stetigen Funktionen zuordnen, also

Da man eine stetige Funktion auf jede offene Teilmenge einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.



Beispiel  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Jeder offenen Teilmenge kann man die Menge der auf definierten reellwertigen differenzierbaren Funktionen zuordnen, also

Da man eine differenzierbare Funktion auf jede offene Teilmenge einschränken kann, erhält man eine Prägarbe.



Beispiel  

Auf einem topologischen Raum und zu einer fixierten Menge ist die Zuordung, die jeder offenen Menge die Menge und jeder Inklusion die Identität auf zuordnet, eine Prägarbe, die die konstante Prägarbe heißt.


Im folgenden Beispiel denke man an ein Vektorbündel über der Basis .


Beispiel  

Es seien und topologische Räume und es sei

eine fixierte stetige Abbildung. Diese Situation induziert für jede offene Teilmenge eine stetige Abbildung

Somit kann man zu die Menge der auf definierten stetigen Schnitte zu zuordnen, also

Da man einen stetigen Schnitt auf jede offene Teilmenge einschränken kann, wobei der Bildbereich entsprechend auf eingeschränkt wird, erhält man eine Prägarbe.


Aufgrund dieses wichtigen Beispiels nennt man ein Element auch einen Schnitt der Prägarbe über . Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine kleinere offene Menge schreibt man auch suggestiver


Definition  

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt eine Prägarbe eine Unterprägarbe von , wenn für jede offene Teilmenge ist.

Da differenzierbare Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit insbesondere stetig sind, bildet die Prägarbe der differenzierbaren Funktionen eine Untergarbe der Prägarbe der stetigen reellwertigen Funktionen.



Prägarben mit Strukturen

Definition  

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge eine Gruppe und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Definition  

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung

ein Ringhomomorphismus ist.

Bemerkung  

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum kann man als einen kontravarianten Funktor

auffassen, wobei im Sinne von Beispiel Anhang 1.11 als Kategorie aufgefasst wird. Eine Prägarbe von kommutativen Gruppen ist entsprechend ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Gruppen, eine Prägarbe von kommutativen Ringen ist ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Ringe, u.s.w.


Definition  

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe , die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

und die Inversenbildung

stetige Abbildungen sind.

Topologische Gruppen sind , , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. . Man kann jede Gruppe mit der diskreten Topologie zu einer topologischen Gruppe machen.

Zu einem topologischen Raum ist die Mengen der stetigen Abbildungen von in eine topologische Gruppe mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von ist dabei ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist die Zuordnung

eine Prägarbe von Gruppen auf .



Halme von Prägarben

Eine grundliegende Idee von Vektorbündeln und Prägarben ist, lokale und globale Eigenschaften von geometrischen Objekten sinnvoll zu trennen und ihr Wechselspiel zu verstehen. Eine lokale Eigenschaft ist beispielsweise eine, die auf „kleinen“ offenen Mengen gilt. Oft möchte man aber kleine offene Mengen durch noch kleinere offene Mengen ersetzen, insbesondere, um das Verhalten in einer beliebig kleinen Umgebung eines Punktes verstehen zu können. Dafür führen wir die folgenden Konzepte ein.


Definition  

Sei ein topologischer Raum. Ein System aus offenen Teilmengen von heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ( seien offen).

  1. .
  2. Mit und ist auch .
  3. Mit und ist auch .

Die wichtigsten Filter sind für und die Umgebungsfilter zu einer Punkt, der aus allen offenen Mengen eines fixierten Punktes besteht.


Definition  

Eine geordnete Menge heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem ein gibt mit .

Wir fassen einen topologischen Filter als eine durch die Inklusion geordnete Menge auf. Aus der Durchschnittseigenschaft eines Filters ergibt sich, dass eine gerichtete Menge vorliegt (Es ist dabei „“).


Definition  

Sei eine geordnete Indexmenge. Eine Familie

von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Zu gibt es eine Abbildung .
  2. Zu und ist .

Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.

Wenn die beteiligten Mengen allesamt Gruppen (Ringe) sind und alle Abbildungen zwischen ihnen Gruppenhomorphismen (Ringhomomorphismen), so spricht man von einem geordneten bzw. gerichteten System von Gruppen (Ringen).


Definition  

Es sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man

den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente und als äquivalent erklärt werden, wenn es ein mit und mit

gibt.

Bei dieser Definition ist insbesondere ein Element äquivalent zu seinem Bild für alle . Wenn ein gerichtetes System von Gruppen (Ringen) vorliegt, so kann man auf dem soeben eingeführten Kolimes der Mengen auch eine Gruppenstruktur (Ringstruktur) definieren. Dies beruht darauf, dass zwei Elemente in diesem Kolimes, die durch und repräsentiert seien, mit ihren Bildern in () identifiziert werden können. Dann kann man dort die Gruppenverknüpfung erklären, siehe Aufgabe 3.12. Unser Hauptbeispiel für ein gerichtetes System ist das durch einen topologischen Filter gerichtete System zu einer Prägarbe auf , also das System


Definition  

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem Punkt nennt man

den Halm der Prägarbe im Punkt .

Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt und jedem Punkt ein eindeutig definiertes Element , das der Keim von im Punkt heißt. Die Abbildung

heißt Restriktionsabbildung und wird mit bezeichnet. Zu kommutiert das Diagramm


Etwas allgemeiner ist die folgende Definition.


Definition  

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem topologischen Filter nennt man

den Halm der Prägarbe im Filter .



Homomorphismen von Prägarben

Definition  

Es seien und Prägarben auf einem topologischen Raum . Ein Homomorphismus von Prägarben

ist eine Familie von Abbildungen

für jede offene Menge derart, dass zu jeder offenen Inklusion das Diagramm

kommutiert.


Definition  

Ein Homomorphismus von Prägarben auf heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge eine Bijektion vorliegt



Lemma

Es sei ein topologischer Raum und seien Prägarben auf .

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Identität

    ist ein Homomorphismus von Prägarben.

  2. Wenn und Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ein Homomorphismus von Prägarben.
  3. Zu einer Unterprägarbe ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.

Beweis

Siehe Aufgabe 3.16.




Lemma  

Ein Morphismus von Prägarben

auf einem topologischen Raum

definiert für jeden Punkt eine Abbildung

zwischen den Halmen, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Das heißt, dass zu die Diagramme

kommutativ sind.

Beweis  

Sei . Das bedeutet, dass es eine offene Umgebung , , und ein mit gibt. Wir setzen

an und müssen zeigen, dass dies wohldefiniert, also unabhängig vom gewählten Repräsentanten (und ) ist. Sei ein weiterer Repräsentant. Wegen gibt es eine offene Umgebung

mit . Somit ist

und somit ist erst recht


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