Diffeomorphismen/Lokale Umkehrbarkeit/Regularität/Standardkoordinaten/Textabschnitt

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume und ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ offene Teilmengen. Eine Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

heißt ${}C^{k}$-Diffeomorphismus, wenn ${}\varphi$ bijektiv und ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist.

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit besagt also, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit invertierbarem totalen Differential lokal (!) ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus ist (es gibt auch ${}C^{k}$-Versionen von diesem Satz). Zwei offene Mengen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ heißen ${}C^{k}$-diffeomorph, wenn es einen ${}C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt. In dieser Vorlesung werden wir uns auf ${}C^{1}$-Diffeomorphismen beschränken.

Der Rang einer linearen Abbildung

$L\colon V\longrightarrow W$

ist definiert als die Dimension des Bildraumes ${}L(V)$. Mit diesem Begriff können wir die Regularität einer Abbildung in einem Punkt allgemein definieren.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, sei ${}P\in G$ und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine in ${}P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt ${}P$ ein regulärer Punkt von ${}\varphi$, wenn

${}\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{}{\left(V\right)},\dim _{}{\left(W\right)}\right)}}\,$

ist. Andernfalls heißt ${}P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.

Bemerkung  

Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ ist genau dann regulär in einem Punkt ${}P\in G$, wenn das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Fakt und nach Fakt gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.

Bei ${}\dim _{}{\left(W\right)}=1$ ist ${}P$ ein regulärer Punkt genau dann, wenn ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition überein. Bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}=1$ bedeutet die Regularität wiederum, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}\neq 0$ ist. Generell bedeutet bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}\leq \dim _{}{\left(W\right)}$ die Regularität, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv ist, und bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}\geq \dim _{}{\left(W\right)}$ bedeutet die Regularität, dass ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei ${}\dim _{}{\left(V\right)}=\dim _{}{\left(W\right)}$ die Regularität in ${}P$, dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y,x+xy).$

Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt ${}P=(x,y)$ ist

${\begin{pmatrix}2x&-1\\1+y&x\end{pmatrix}}.$

Die Determinante davon ist

$2x^{2}+1+y,$

sodass die Bedingung

${}y\neq -2x^{2}-1\,$

die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt ${}(0,0)$ liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, sodass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ von ${}(0,0)$ derart, dass die eingeschränkte Abbildung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).

Wie groß kann dabei ${}U_{1}$ gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen ${}U{\left((0,0),r\right)}$. Bei ${}r>1$ enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form

$(\pm x,-1).$

Diese werden unter ${}\varphi$ auf

${}\varphi (\pm x,-1)=\left(x^{2}-(-1),\,x+x(-1)\right)=\left(x^{2}+1,\,0\right)\,$

abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.

Betrachten wir hingegen

${}U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}\,$

und

${}U_{2}:=\varphi (U_{1})\,$

Da ${}U_{1}$ keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe das Bild ${}U_{2}$ offen. Die eingeschränkte Abbildung ${}\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ ist nach Definition von ${}U_{2}$ surjektiv, sodass nur die Injektivität zu untersuchen ist.

Das Gleichungssystem

$x^{2}-y=u\,\,{\text{ und }}\,\,x+xy=v$

führt auf

${}y=x^{2}-u\,$

und auf

${}x(1+x^{2}-u)=x^{3}+(1-u)x=v\,.$

Seien ${}(x,y)$ und ${}({\tilde {x}},{\tilde {y}})$ aus ${}U{\left((0,0),1\right)}$ mit

${}\varphi (x,y)=\varphi ({\tilde {x}},{\tilde {y}})\,$

gegeben. Dann ist

${}x^{3}+(1-u)x=v={\tilde {x}}^{3}+(1-u){\tilde {x}}\,$

und somit

${}0=x^{3}-{\tilde {x}}^{3}+(1-u)(x-{\tilde {x}})=(x-{\tilde {x}}){\left(x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u\right)}\,.$

Bei ${}x={\tilde {x}}$ folgt direkt ${}y={\tilde {y}}$. Bei ${}x\neq {\tilde {x}}$ muss

${}x^{2}+x{\tilde {x}}+{\tilde {x}}^{2}+1-u=0\,$

sein. Dies bedeutet ${}y=x^{2}-u=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1$ und ebenso ${}{\tilde {y}}=-x{\tilde {x}}-x^{2}-1$. Wegen

${}x(y+1)=v\,$

und ${}y+1>0$ müssen ${}x$ und ${}v$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch ${}x$ und ${}{\tilde {x}}$ das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber

${}y=-x{\tilde {x}}-{\tilde {x}}^{2}-1\leq -1\,,$

sodass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius ${}1$ keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann. Mit ${}U_{1}=U{\left((0,0),1\right)}$ liegt also eine Bijektion ${}U_{1}\rightarrow U_{2}$ vor.

Wir haben schon für die komplexen Zahlen Polarkoordinaten verwendet, siehe Fakt. Hier besprechen wir Polarkoordinaten in Hinblick auf lokale Umkehrbarkeit.

Beispiel

Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\alpha )\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ),$

heißt Polarkoordinatenauswertung. Sie ordnet einem Radius ${}r$ und einem Winkel ${}\alpha$ (wegen diesen Bedeutungen schränkt man den Definitionsbereich häufig ein) denjenigen Punkt der Ebene (in kartesischen Koordinaten) zu, zu dem man gelangt, wenn man in Richtung des Winkels (gemessen von der ${}x$-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn) die Strecke ${}r$ zurücklegt. Sie ist in jedem Punkt ${}(r,\alpha )$ stetig differenzierbar mit der Jacobi-Matrix

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-r\sin \alpha \\\sin \alpha &r\cos \alpha \end{pmatrix}}.$

Diese Abbildung ist nicht injektiv, da die Abbildung im zweiten Argument, also im Winkel ${}\alpha$, periodisch mit der Periode ${}2\pi$ ist. Bei ${}r=0$ ist - unabhängig von ${}\alpha$ - das Bild gleich ${}(0,0)$. Ferner ist ${}\varphi (-r,\alpha +\pi )=\varphi (r,\alpha )$. Die Abbildung kann also nicht global invertierbar sein.

Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

${}r(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )=r\,.$

Bei ${}r\neq 0$ liegt also nach Fakt ein bijektives totales Differential vor. Nach dem Satz über die lokale Umkehrabbildung gibt es zu jedem Punkt ${}(r,\alpha )$ mit ${}r\neq 0$ eine offene Umgebung ${}(r,\alpha )\in U_{1}$ und eine bijektive Abbildung

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}=\varphi (U_{1}).$

Bei ${}r>0$ kann man beispielsweise als offene Umgebung das offene Rechteck

${}U_{1}={]r-\delta ,r+\delta [}\times {]\alpha -\epsilon ,\alpha +\epsilon [}\,$

mit ${}r>\delta >0$ und mit ${}\pi >\epsilon >0$ wählen. Das Bild davon, also ${}U_{2}$, ist der Schnitt des (offenen) Kreisringes zu den Radien ${}r-\delta$ und ${}r+\delta$ und dem (offenen) Kreissektor, der durch die beiden Winkel ${}\alpha -\epsilon$ und ${}\alpha +\epsilon$ begrenzt ist.

Man kann diese Abbildung zu einer bijektiven Abbildung, und zwar zu einem Diffeomorphismus, auf großen offenen Mengen einschränken, beispielsweise zu

$\mathbb {R} _{+}\times {]-\pi ,\pi [}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus {\left\{(x,0)\mid x\leq 0\right\}},\,(r,\alpha )\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ).$

Die Bijektivität folgt dabei aus den grundlegenden Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen, siehe insbesondere Fakt. Wenn man das offene Intervall ${}]{-\pi },\pi [$ durch das halboffene Intervall ${}]{-\pi },\pi ]$ ersetzt, so bekommt man eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}\times {]{-\pi },\pi ]}$ und ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$. Man kann aber nicht von einem Diffeomorphismus sprechen, da dies nur für offene Mengen definiert ist. Die Umkehrabbildung ist übrigens noch nicht einmal stetig.

Beispiel

Eine räumliche Variante der Polarkoordinaten sind die Zylinderkoordinaten. Die zugehörige Abbildung wird durch

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\alpha ,z)\longmapsto (r\cos \alpha ,r\sin \alpha ,z),$

beschrieben. Für jedes feste ${}z$ werden ${}(r,\alpha )$ als Polarkoordinaten ausgewertet und die Höhe ${}z$ wird einfach übernommen.

Beispiel

Die Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$

(bzw. die Einschränkung davon auf Teilmengen wie $\mathbb {R} _{\geq 0}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$) nennt man Kugelkoordinatenauswertung. Diese Abbildung bildet die Kugelkoordinaten ${}(r,\theta ,\varphi )$ auf die zugehörigen kartesischen Koordinaten ${}(x,y,z)$ ab.

Die Bedeutung der Kugelkoordinaten sind folgendermaßen: ${}r$ ist der Abstand von ${}(x,y,z)$ zum Nullpunkt. Bei ${}r=1$ definieren die beiden Winkel ${}\varphi$ und ${}\theta$ einen Punkt auf der Einheitskugel, und zwar bestimmt ${}\varphi$ einen Punkt auf dem Einheitskreis in der ${}x-y$-Ebene (auf dem Äquator) und ${}\theta$ bestimmt einen Punkt auf dem zugehörigen Halbkreis (der durch den Äquatorpunkt und Nord- und Südpol festgelegt ist), wobei der Winkel zum Nordpol gemessen wird. Für (${}r=1$ und) einen festen Winkel ${}\theta$ parametrisiert ${}\varphi$ einen Breitenkreis, wobei ${}\theta ={\frac {\pi }{2}}$ den Äquator beschreibt. Bei einem festen Winkel ${}\varphi$ hingegen parametrisiert ${}\theta$ den oben angesprochenen Halbkreis, einen Längenkreis. In der Geographie herrschen übrigens etwas andere Konventionen, man wählt den zweiten Winkel aus ${}[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ (statt ${}+$ und ${}-$ spricht man von nördlicher und südlicher Breite) und nimmt ${}-\sin \theta$.

Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

${\begin{pmatrix}\cos \varphi \sin \theta &r\cos \varphi \cos \theta &-r\sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &r\sin \varphi \cos \theta &r\cos \varphi \sin \theta \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}$

und die Determinante davon ist

$r^{2}\sin \theta .$

D.h. bei ${}r\neq 0$ und ${}\theta \notin \mathbb {Z} \pi$ ist das totale Differential invertierbar und daher liegt nach Fakt ein lokaler Diffeomorphismus vor. Die inhaltliche Interpretation der Abbildung zeigt, dass hier überhaupt ein Diffeomorphismus zwischen ${}\mathbb {R} _{+}\times ]0,\pi [\times [0,2\pi [$ und ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus {\left\{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \right\}}$ vorliegt.