Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 5 2 1 0 4 4 4 0 3 4 8 0 0 46




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das von einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring erzeugte Ideal.
  2. Ein quadratischer Rest.
  3. Eine endliche Körpererweiterung .
  4. Ein normaler Integritätsbereich.
  5. Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
  6. Die Grundmasche zu einem Gitter .


Lösung

  1. Das von den erzeugte Ideal besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

    wobei eine endliche Teilmenge und ist.

  2. Eine ganze Zahl heißt quadratischer Rest modulo , wenn es eine Zahl mit

    gibt.

  3. Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
  4. Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
  5. Der quadratische Zahlbereich heißt reell-quadratisch, wenn positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn negativ ist.
  6. Zu einem durch linear unabhängige Vektoren gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren mit als die Grundmasche des Gitters.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von für eine Primzahl .
  2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  3. Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.


Lösung

  1. Die Einheitengruppe ist zyklisch mit der Ordnung .
  2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
  3. Sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl die folgenden drei Möglichkeiten:
    1. ist prim in .
    2. Es gibt ein Primideal in derart, dass ist.
    3. Es gibt ein Primideal in derart, dass ist mit .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.


Lösung

Eine Teilmenge der Form ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Sei umgekehrt eine Untergruppe. Bei kann man nehmen, so dass wir voraussetzen dürfen, dass neben noch mindestens ein weiteres Element enthält. Wenn negativ ist, so muss die Untergruppe auch das Negative davon, also enthalten, welches positiv ist. D.h. enthält auch positive Zahlen. Sei nun die kleinste positive Zahl aus . Wir behaupten . Dabei ist die Inklusion klar, da mit alle (positiven und negativen) Vielfachen von dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

Wegen und ist auch . Nach der Wahl von muss wegen gelten: Dies bedeutet und damit , also .


Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  3. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , und Primzahlen sind?


Lösung

  1. Die Zahlen sind Primzahlen.
  2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von bei Division durch . Wenn der Rest von ist, so sind die anderen Reste gleich . Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest besitzen, also ein Vielfaches von sein. Da ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
  3. Die Zahlen sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .


Lösung

a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach Fakt der größte gemeinsame Teiler gleich

b) Es ist

daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl

und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl an, die keinen Primteiler besitzt.

b) Sei . Man gebe explizit ein normiertes Polynom vom Grad an, das keinen Primteiler vom Grad besitzt.


Lösung

a) ist eine Primzahl, und

und somit ist

ein Beispiel.

b) Das Polynom hat keine Nullstelle in und ist somit irreduzibel. Wir berechnen

und dies ist ein Beispiel der gesuchten Art.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol


und bestimme, ob ein Quadratrest modulo ist oder nicht ( ist eine Primzahl).


Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol (wobei es sich in Zwischenschritten um das Jacobi-Symbol handeln könnte).

Also ist kein Quadratrest modulo


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung

injektiv und ob sie surjektiv ist.


Lösung

Seien und aus gegeben, die unter auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist

Durch beidseitige Multiplikation mit mit hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist

und die Abbildung ist injektiv.

Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise nicht im Bild liegt. Wäre nämlich

so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.


Lösung

Wir brauchen ein irreduzibles Polynom vom Grad drei in . Bei Grad drei kann man die Irreduzibilität dadurch nachweisen, dass keine Nullstelle vorliegt. Betrachten wir

Weder noch sind Nullstellen, daher ist das Polynom irreduzibel und daher ist

ein Körper mit Elementen.

Da es in genau Einheiten gibt, und die Einheiten eine zyklische Gruppe bilden, ist jede Einheit außer primitiv. Beispielsweise ist daher die Restklasse von in primitiv.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultät keine Quadratzahl ist.


Lösung Fakultät/Kein Quadrat/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei der zugehörige Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Seien Elemente, die eine -Basis von bilden und für die der Betrag der Diskriminante

unter all diesen Basen aus minimal sei.

Zeige, dass dann

ist.


Lösung

Sei ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich als eine -Linearkombination mit schreiben lässt, wenn die eine -Basis von mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

mit rationalen Zahlen . Sei angenommen, dass ein nicht ganzzahlig ist, wobei wir annehmen dürfen. Wir schreiben dann mit und einer rationalen Zahl (echt) zwischen und . Dann ist auch

eine -Basis von , die in liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

Nach Fakt gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

Wegen und da die Diskriminanten nach Fakt nicht sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminanten.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung