Elementare und algebraische Zahlentheorie/9/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	5	2	1	0	4	4	4	0	3	4	8	0	0	46

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das von einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ erzeugte Ideal.
2. Ein quadratischer Rest.
3. Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
4. Ein normaler Integritätsbereich.
5. Reell-quadratische und imaginär-quadratische Zahlbereiche.
6. Die Grundmasche zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Lösung

1. Das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

   $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

   wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

2. Eine ganze Zahl ${}k$ heißt quadratischer Rest modulo ${}n$, wenn es eine Zahl ${}x$ mit

   ${}x^{2}=k\mod n\,$

   gibt.

3. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt endlich, wenn ${}L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}K$ ist.
4. Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
5. Der quadratische Zahlbereich ${}A_{D}$ heißt reell-quadratisch, wenn ${}D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn ${}D$ negativ ist.
6. Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${}\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit ${}\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche des Gitters.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(p)$ für eine Primzahl ${}p$.
2. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
3. Der Satz über das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einem quadratischen Zahlbereich.

Lösung

1. Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ist zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.
2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
3. Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl ${}p$ die folgenden drei Möglichkeiten:
   1. ${}p$ ist prim in ${}A_{D}$.
   2. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
   3. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ ist mit ${}{\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ genau die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$ sind.

Lösung

Eine Teilmenge der Form ${}\mathbb {Z} d$ ist aufgrund des Distributivgesetzes eine Untergruppe. Es sei umgekehrt ${}H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei ${}H=0$ kann man ${}d=0$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass ${}H$ neben ${}0$ noch mindestens ein weiteres Element ${}x$ enthält. Wenn ${}x$ negativ ist, so muss die Untergruppe ${}H$ auch das Negative davon, also ${}-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. ${}H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun ${}d$ die kleinste positive Zahl aus ${}H$. Wir behaupten ${}H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion ${}\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit ${}d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von ${}d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

$h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$

Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch ${}r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von ${}d$ muss wegen ${}r<d$ gelten: ${}r=0$. Dies bedeutet ${}h=qd$ und damit ${}h\in \mathbb {Z} d$, also ${}H\subseteq \mathbb {Z} d$.

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
3. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$ und ${}x+18$ Primzahlen sind?

Lösung

1. Die Zahlen ${}5,11,17,23,29$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${}x,x+6,x+12,x+18,x+24$ bei Division durch ${}5$. Wenn ${}r$ der Rest von ${}x$ ist, so sind die anderen Reste gleich ${}r+1,r+2,r+3,r+4$. Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest ${}0$ besitzen, also ein Vielfaches von ${}5$ sein. Da ${}x=5$ ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
3. Die Zahlen ${}41,47,53,59$ sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 7^{4}$ und ${}2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{11}\cdot 7$.

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen ${}2\cdot 3^{2}\cdot 6\cdot 7$ und ${}2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}$.

Lösung

a) Beide Zahlen liegen in ihrer Primfaktorzerlegung vor, daher ist nach Fakt der größte gemeinsame Teiler gleich

${}2\cdot 3^{2}\cdot 7=126\,.$

b) Es ist

${}6=2\cdot 3\,,$

daher lautet die Primfaktorzerlegung der ersten Zahl

$2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 7$

und somit ist der größte gemeinsame Teiler gleich

${}2^{2}\cdot 3^{3}=4\cdot 27=108\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Lösung

Es ist

${}1728=2^{6}\cdot 3^{3}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl ${}n\geq 100000$ an, die keinen Primteiler ${}\leq 20$ besitzt.

b) Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(3)$. Man gebe explizit ein normiertes Polynom ${}F\in K[X]$ vom Grad ${}\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad ${}\leq 2$ besitzt.

Lösung

a) ${}23$ ist eine Primzahl, und

${}23\cdot 23=529\,$

und somit ist

${}23^{4}=529\cdot 529=279841\,$

ein Beispiel.

b) Das Polynom ${}X^{3}+2$ hat keine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(3)$ und ist somit irreduzibel. Wir berechnen

${}{\left(X^{3}+2\right)}^{3}=X^{9}+2\,$

und dies ist ein Beispiel der gesuchten Art.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {1117}{1861}}\right)$

und bestimme, ob ${}1117$ ein Quadratrest modulo ${}1861$ ist oder nicht (${}1861$ ist eine Primzahl).

Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol (wobei es sich in Zwischenschritten um das Jacobi-Symbol handeln könnte).

${}{\begin{aligned}\left({\frac {1117}{1861}}\right)&=\left({\frac {1861}{1117}}\right)\\&=\left({\frac {744}{1117}}\right)\\&=\left({\frac {2^{3}}{1117}}\right)\left({\frac {3}{1117}}\right)\left({\frac {31}{1117}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {1117}{3}}\right)\left({\frac {1117}{31}}\right)\\&=(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{31}}\right)\\&=-1.\end{aligned}}$

Also ist ${}1117$ kein Quadratrest modulo ${}1861$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die Abbildung

$\mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(m,n,k)\longmapsto 2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k},$

injektiv und ob sie surjektiv ist.

Lösung

Seien ${}(m,n,k)$ und ${}(a,b,c)$ aus ${}\mathbb {Z} ^{3}$ gegeben, die unter ${}\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist

${}2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot 5^{c}\,.$

Durch beidseitige Multiplikation mit ${}2^{r}\cdot 3^{s}\cdot 5^{t}$ mit ${}r,s,t$ hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da ${}2,3,5$ Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist

${}(m,n,k)=(a,b,c)\,$

und die Abbildung ist injektiv.

Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise ${}7$ nicht im Bild liegt. Wäre nämlich

${}7=2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}\,,$

so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${}\mathbb {F} _{8}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{8}$ an.

Lösung

Wir brauchen ein irreduzibles Polynom vom Grad drei in ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$. Bei Grad drei kann man die Irreduzibilität dadurch nachweisen, dass keine Nullstelle vorliegt. Betrachten wir

$F=X^{3}+X+1.$

Weder ${}0$ noch ${}1$ sind Nullstellen, daher ist das Polynom irreduzibel und daher ist

$K=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{3}+X+1)$

ein Körper mit ${}8$ Elementen.

Da es in ${}{\mathbb {F} }_{8}$ genau ${}7$ Einheiten gibt, und die Einheiten eine zyklische Gruppe bilden, ist jede Einheit außer ${}1$ primitiv. Beispielsweise ist daher die Restklasse von ${}X$ in ${}K$ primitiv.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für ${}n\geq 2$ die Fakultät ${}n!$ keine Quadratzahl ist.

Lösung Fakultät/Kein Quadrat/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Es seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ Elemente, die eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ bilden und für die der Betrag der Diskriminante

$\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})$

unter all diesen Basen aus ${}{\mathfrak {a}}$ minimal sei.

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} b_{1}+\cdots +\mathbb {Z} b_{n}\,$

ist.

Lösung

Zunächst sind wegen Fakt die Spuren zu Elementen aus ${}R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.

Es sei ${}f\in {\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich ${}f$ als eine ${}\mathbb {Z}$-Linearkombination ${}f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}$ mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben lässt, wenn die ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

${}f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,$

mit rationalen Zahlen ${}q_{i}\in \mathbb {Q}$. Es sei angenommen, dass ein ${}q_{i}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir ${}i=1$ annehmen dürfen. Wir schreiben dann ${}q_{1}=k+\delta$ mit ${}k\in \mathbb {Z}$ und einer rationalen Zahl ${}\delta$ (echt) zwischen ${}0$ und ${}1$. Dann ist auch

$c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}$

eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$, die in ${}{\mathfrak {a}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

${}T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.$

Nach Fakt gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

${}\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.$

Wegen ${}(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1$ und da die Diskriminanten nach Fakt nicht ${}0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung