Endomorphismus/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Textabschnitt
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Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen
eine Fahne in .
Eine Fahne ist also eine Kette von ineinander enthaltenen Untervektorräumen, bei der die Dimension in jedem Schritt um hochgeht.
Es sei ein Vektorraum der Dimension und
eine lineare Abbildung. Eine Fahne
heißt -invariant, wenn für alle ist.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist trigonalisierbar.
- Es gibt eine -invariante Fahne.
- Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
- Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren.
Wenn trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix (es sei ) derart, dass eine obere Dreiecksmatrix ist.
Von (1) nach (2). Es sei eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix zu obere Dreiecksgestalt besitzt. Dann folgt durch direkte Interpretation der Matrix, dass die Untervektorräume
-invariant sind und somit eine invariante Fahne vorliegt.
Von (2) nach (1). Es sei
eine -invariante Fahne. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis von mit
Da die Fahne invariant ist, gilt
Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu somit obere Dreiecksgestalt.
Von (1) nach (3). Das charakteristische Polynom von ist gleich dem charakteristischen Polynom , wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
Aus (3) folgt (4), da das Minimalpolynom nach Fakt ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.
Von (4) nach (2). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei die Fälle
klar sind. Nach Voraussetzung und nach Fakt und Fakt besitzt einen Eigenwert. Nach Fakt gibt es einen -dimensionalen Untervektorraum
der -invariant ist. Nach Fakt ist das Minimalpolynom der Einschränkung ein Teiler des Minimalpolynoms von und zerfällt daher wie dieses in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine -invariante Fahne
und somit ist dies auch eine -invariante Fahne.
Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben, und bezüglich der Basis durch die obere Dreiecksmatrix . Dann gilt nach
Fakt
die Beziehung
,
wobei den Basiswechsel beschreibt.
Das im Beweis zur Implikation (4) (2) von Fakt beschriebene Verfahren zum Auffinden einer invarianten Fahne, das auf Fakt beruht, ist grundsätzlich konstruktiv durchführbar. Wenn die Einschränkung auf einen schon konstruierten invarianten Untervektorraum keinen Eigenwert besitzt, so weiß man, dass die lineare Abbildung nicht trigonalisierbar ist.
Es sei eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.
Dann ist trigonalisierbar.
Dies folgt aus Fakt und dem Fundamentalsatz der Algebra.
Wir betrachten eine reelle -Matrix . Das charakteristische Polynom ist
Dieses Polynom zerfällt in (reelle) Linearfaktoren genau dann, wenn ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix nach Fakt trigonalisierbar.