Endomorphismus/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Textabschnitt

Eine Fahne setzt sich aus dem Fußpunkt, der Fahnenstange, dem Fahnentuch und dem Raum, in dem das Tuch weht, zusammen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n=\operatorname {dim} (V)$. Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in ${}V$.

Eine Fahne ist also eine Kette von ineinander enthaltenen Untervektorräumen, bei der die Dimension in jedem Schritt um ${}1$ hochgeht.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum der Dimension ${}n$ und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Eine Fahne

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}\,$

heißt ${}f$-invariant, wenn ${}f(V_{i})\subseteq V_{i}$ für alle ${}i=0,1,\ldots ,n-1,n$ ist.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Es gibt eine ${}\varphi$-invariante Fahne.
3. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
4. Das Minimalpolynom ${}\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix (es sei ${}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)$) ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ obere Dreiecksgestalt besitzt. Dann folgt durch direkte Interpretation der Matrix, dass die Untervektorräume

${}V_{i}:=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$

${}\varphi$-invariant sind und somit eine invariante Fahne vorliegt.

Von (2) nach (1). Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine ${}\varphi$-invariante Fahne. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,.$

Da die Fahne invariant ist, gilt

${}\varphi (v_{i})=b_{1i}v_{1}+b_{2i}v_{2}+\cdots +b_{ii}v_{i}\,.$

Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ somit obere Dreiecksgestalt.

Von (1) nach (3). Das charakteristische Polynom von ${}\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$, wobei ${}M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.

Aus (3) folgt (4), da das Minimalpolynom nach Fakt ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.

Von (4) nach (2). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$, wobei die Fälle

${}n=0,1\,$

klar sind. Nach Voraussetzung und nach Fakt und Fakt besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert. Nach Fakt gibt es einen ${}(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum

${}V_{n-1}\subset V\,,$

der ${}\varphi$-invariant ist. Nach Fakt ist das Minimalpolynom der Einschränkung ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$ ein Teiler des Minimalpolynoms von ${}\varphi$ und zerfällt daher wie dieses in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine ${}\varphi {|}_{V_{n-1}}$-invariante Fahne

${}V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n-2}\subset V_{n-1}\,,$

und somit ist dies auch eine ${}\varphi$-invariante Fahne.

Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung ${}\varphi$ werde bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben, und bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ durch die obere Dreiecksmatrix ${}T$. Dann gilt nach Fakt die Beziehung ${}T=BMB^{-1}$, wobei ${}B$ den Basiswechsel beschreibt.

$\Box$

Bemerkung  

Das im Beweis zur Implikation (4) ${}\Rightarrow$ (2) von Fakt beschriebene Verfahren zum Auffinden einer invarianten Fahne, das auf Fakt beruht, ist grundsätzlich konstruktiv durchführbar. Wenn die Einschränkung ${}\varphi _{|}U_{i}$ auf einen schon konstruierten invarianten Untervektorraum ${}U_{i}$ keinen Eigenwert besitzt, so weiß man, dass die lineare Abbildung nicht trigonalisierbar ist.

Satz

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist ${}M$ trigonalisierbar.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und dem Fundamentalsatz der Algebra.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten eine reelle ${}2\times 2$-Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$. Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\left(xE_{2}-M\right)}\\&=\det {\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}}\\&=(x-a)(x-d)-bc\\&=x^{2}-(a+d)x+ad-bc\\&={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}+ad-bc\\&={\left(x-{\frac {a+d}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}-bc.\end{aligned}}$

Dieses Polynom zerfällt in (reelle) Linearfaktoren genau dann, wenn ${}{\left({\frac {a-d}{2}}\right)}^{2}+bc\geq 0$ ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix nach Fakt trigonalisierbar.