Kurs:Algebraische Kurven/Test 1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	4	4	2	3	6	10	5	2	3	4	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine affin-algebraische Menge.
2. Eine affin-lineare Variablentransformation.
3. Ein Radikal.
4. Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
6. Sei ${}P\in U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Punkt in einer offenen Menge ${}U$ im ${}K$- Spektrum von ${}R$. Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
2. Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
3. Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

${}V(X^{3}-Y^{3}+4X^{2}-2XY+Y+3)\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$

einen Punkt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}={\mathbb {C} }^{n}\,$

eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung

${}{\mathbb {C} }^{n}=\mathbb {R} ^{2n}\,$

die Teilmenge ${}V$ auch eine affin-algebraische Menge des ${}{{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2n}}$ ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

1. Homogenisiere das Polynom

   $X^{3}Y^{2}-8X^{4}Y-6X^{2}Y^{2}+5Y^{4}-10X^{3}+9XY+1$

   bezüglich der neuen Variablen ${}Z$.

2. Dehomogenisiere das Polynom

   $3X^{6}+2X^{2}Y^{2}Z^{2}-7X^{4}Y^{2}-6X^{2}Y^{3}Z+11XY^{4}Z-11X^{3}Y^{2}Z-4XYZ^{4}+Z^{6}$

   bezüglich der Variablen ${}Z$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es eine rationale Parametrisierung der Hyperbel gibt, aber keine polynomiale Parametrisierung dafür. Erläutere dabei die verwendeten Begriffe.

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t^{2}+1}{t}},\,{\frac {t+1}{t}}\right),$

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Hilbertschen Basissatz.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in R$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Polynome ${}X^{2}+Y^{2}$ und ${}X^{2}-Y^{3}$ und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$.

1. Gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$?
2. Gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$?
3. Gehört ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}(X^{2}+Y^{2})$ in ${}\mathbb {R} [X,Y]$?
4. Gehört ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}(X^{2}+Y^{2})$ in ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$?

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$- Algebra mit ${}K$- Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

$\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Zeige, dass die die Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$ stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.