Kurs:Algebraische Kurven/Test 1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 3 4 4 2 3 6 10 5 2 3 4 8 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine affin-algebraische Menge.
  2. Eine affin-lineare Variablentransformation.
  3. Ein Radikal.
  4. Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System in einem kommutativen Ring .
  5. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge .
  6. Sei ein Punkt in einer offenen Menge im -Spektrum von . Sei eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge .
  2. Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen .
  3. Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe * (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

einen Punkt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung

die Teilmenge auch eine affin-algebraische Menge des ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

  1. Homogenisiere das Polynom

    bezüglich der neuen Variablen .

  2. Dehomogenisiere das Polynom

    bezüglich der Variablen .


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es eine rationale Parametrisierung der Hyperbel gibt, aber keine polynomiale Parametrisierung dafür. Erläutere dabei die verwendeten Begriffe.


Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Hilbertschen Basissatz.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Es seien und . Zeige


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Polynome und und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern und .

  1. Gilt in ?
  2. Gilt in ?
  3. Gehört zum Radikal von in ?
  4. Gehört zum Radikal von in ?


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit -Spektrum . Es sei eine Restklassendarstellung von mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

und dem Nullstellengebilde . Zeige, dass die die Abbildung

eine Bijektion zwischen und stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.