Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 1/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Aufgabe 1.1 ändern

Skizziere im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

1. ${}x^{2}-y^{2}-1=0$,
2. ${}x^{2}+xy+y^{2}=0$,
3. ${}x^{2}+y^{2}+1=0$,
4. ${}x^{2}+y^{2}=0$,
5. ${}x^{2}+y^{3}=0$,
6. ${}x^{3}-y^{5}=0$,
7. ${}x^{2}-x^{3}=0$,
8. ${}x^{3}+y^{3}=1$,
9. ${}x^{4}+y^{4}=1$,
10. ${}-5+3x+4x^{2}+x^{3}-y^{2}=1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.1 mit den folgenden Geraden.

1. ${}x=0$,
2. ${}y=0$,
3. ${}x=1$,
4. ${}y=-2$,
5. ${}x=y$,
6. ${}x=-y$,
7. ${}2x-3y+4=0$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

${}V(X^{3}-Y^{3}+4X^{2}-2XY+Y+3)\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$

einen Punkt.

Aufgabe Aufgabe 1.4 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper. Das Bild der durch

$K\longrightarrow K^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),$

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y)\in K^{2}$ genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung ${}x^{3}=y^{2}$ erfüllt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}C\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ das Bild unter der polynomialen Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3}-1,\,t^{2}-1\right).$

Bestimme ein Polynom ${}F\neq 0$ in zwei Variablen derart, dass ${}C$ auf dem Nullstellengebilde zu ${}F$ liegt.

Aufgabe Aufgabe 1.6 ändern

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ${}K=\mathbb {Z} /(7)$. Bestimme alle Punkte in ${}K^{2}=K\times K$, die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung

${}X^{2}Y+2Y^{3}+3Y^{2}=0\,$

gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde eine Gerade ${}G\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$, die die Kurve

${}C=V(X^{3}+Y^{3}+1)\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

in genau einem Punkt schneidet.

Aufgabe * Aufgabe 1.10 ändern

Zeige, dass die Neilsche Parabel

${}C=V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

jede Gerade durch den Punkt ${}P=(1,1)\in C$ in mindestens einem weiteren Punkt trifft.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises ${}V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Neilschen Parabel ${}V(y^{2}-x^{3})$ gibt und bestimme numerisch die reelle ${}x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler ${}\leq 0,1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei

$K\longrightarrow K^{2},\,t\longmapsto (P(t),Q(t)),$

eine durch zwei Polynome ${}P(t),Q(t)\in K[t]$ gegebene Abbildung. Es sei ${}B$ das Bild dieser Abbildung und es sei ${}G\subseteq K^{2}$ eine Gerade. Zeige, dass ${}B\subseteq G$ ist oder dass der Durchschnitt ${}B\cap G$ endlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} [x,y,z]$ die beiden Polynome

$x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} /(5)[x,y]$ die beiden Polynome

$x^{4}+2x^{2}y^{2}-xy^{3}+2y^{3}{\text{ und }}x^{4}y+4x^{2}y+3xy^{2}-x^{2}y^{2}+2y^{2}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring ${}R[X]$ integer ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

1. ${}K$ ist algebraisch abgeschlossen.
2. Jedes nicht-konstante Polynom ${}F\in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in ${}K[X]$ die irreduziblen Polynome.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}K$ nicht endlich sein kann.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte Gleichungen der Form

$y^{2}=G(x){\text{ mit }}G(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

über ${}\mathbb {R}$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten ${}a,b,c\in \{1,-1,0\}$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ folgende Polynomdivision aus.

$X^{4}+5X^{2}+3\,{\text{ durch }}\,2X^{2}+X+6.$

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}4$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

für die Körper ${}K=\mathbb {Z} /(2)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ das Bild unter der polynomialen Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3}-t^{2}+4t+3,\,-t^{2}+5t-1\right).$

Bestimme ein Polynom ${}F\neq 0$ in zwei Variablen derart, dass ${}C$ auf dem Nullstellengebilde zu ${}F$ liegt.

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 1.25 ändern

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},$

die einem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$ den eindeutigen Schnittpunkt ${}\neq (0,-1)$ der durch die beiden Punkte ${}(t,1)$ und ${}(0,-1)$ gegebenen Geraden ${}G_{t}$ mit dem Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass ${}f$ differenzierbar ist. Ist ${}f$ injektiv, ist ${}f$ surjektiv?

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