Kurs:Analysis/Teil I/59/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	6	1	3	4	2	3	7	10	5	2	5	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilfolge einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
2. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
3. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

4. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

5. Eine konvexe Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
6. Eine Stammfunktion zu einer Funktion ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.

Lösung

1. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

   $i\mapsto x_{n_{i}}$

   eine Teilfolge der Folge.

2. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch

   ${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

   definiert.

3. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

   $d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

   gibt.

4. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

   ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

5. Die Teilmenge ${}T$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke (also jeder Punkt der Form ${}rP+(1-r)Q{\mbox{ mit }}r\in [0,1]$) ebenfalls zu ${}T$ gehört.
6. Eine Funktion ${}F\colon {]a,b[}\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}]a,b[$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in {]a,b[}$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.
3. Die Jensensche Ungleichung.

Lösung

1. Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, ${}n\geq 1$, mit den Grenzen

   $a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$

   definieren eine Intervallschachtelung.
2. Die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen ${}a$ konvergiert, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(a)$ konvergiert.
3. Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion, seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$. Dann ist

   ${}f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.

Lösung Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Am 26.4.2021 schreibt die Tagesschau (tagesschau.de): „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Menschen mindestens ein Mal geimpft“. Im ausführlichen Text heißt es dann „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Impfdosen verabreicht worden. Wie das Robert Koch-Institut (RKI) mitteilte, sei die Marke am Wochenende überschritten worden [und] liegt nun bei 25,45 Millionen. Laut aktuellen RKI-Zahlen sind bundesweit bislang knapp 19,5 Millionen Menschen erstgeimpft. Das entspricht einem Bevölkerungsanteil von 23,4 Prozent. Knapp sechs Millionen Menschen sind inzwischen bereits zweimal geimpft, dies entspricht 7,2 Prozent der Bevölkerung“.

1. Was fällt auf?
2. Wie groß ist die Bevölkerung von Deutschland?
3. Wie viel Prozent der Erstgeimpften haben auch eine zweite Impfung erhalten?

Lösung

1. Es liegt ein Widerspruch vor. Einmal sind mehr als 25 Millionen Menschen erstgeimpft, einmal sind es 19,5 Millionen Menschen.
2. Die ${}6000000$ entsprechen ${}7,2\%$, daher ergeben sich ${}100\%$ aus

   ${}0,072x=6000000\,,$

   also

   ${}x={\frac {6000000}{0,072}}\cong 83330000\,.$

   Ebenso ergibt sich

   ${}x={\frac {19500000}{0,234}}\cong 83330000\,.$

3. Der Anteil der Zweitgeimpften zu den Erstgeimpften ist

   ${}{\frac {72}{234}}\cong 0,308\,,$

   das sind etwa ${}30,8\%$.

Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

${}[n]=\{0,1,2,\ldots ,n\}\,.$

Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ und jedem ${}0\leq k\leq n$ seien die Abbildungen

$D_{k}\colon [n]\longrightarrow [n+1]$

durch

${}D_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j<k,\\j+1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

und die Abbildungen

$S_{k}\colon [n+1]\longrightarrow [n]$

durch

${}S_{k}(j)={\begin{cases}j,{\text{ falls }}j\leq k,\\j-1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

$D_{3}\colon [4]\longrightarrow [5].$

b) Erstelle eine Wertetabelle für

$S_{3}\colon [6]\longrightarrow [5].$

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

${}j$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$
${}\varphi (j)$	${}0$	${}2$	${}2$	${}4$	${}5$	${}5$

gegebene Abbildung

$\varphi \colon [5]\longrightarrow [5]$

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten ${}D_{k}$ und ${}S_{i}$.

Lösung

a)

${}j$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}D_{3}(j)$	${}0$	${}1$	${}2$	${}4$	${}5$

b)

${}j$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}S_{3}(j)$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}3$	${}4$	${}5$

c) Wir behaupten

${}\varphi =D_{3}\circ D_{1}\circ S_{3}\circ S_{1}\,.$

Die Komposition hat für die Elemente ${}0,1,2,3,4,5$ jeweils den folgenden Effekt:

$0\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0\mapsto 0,$

$1\mapsto 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 2,$

$2\mapsto 1\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 2,$

$3\mapsto 2\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 4,$

$4\mapsto 3\mapsto 3\mapsto 4\mapsto 5,$

$5\mapsto 4\mapsto 3\mapsto 4\mapsto 5.$

Das Gesamtergebnis stimmt also mit ${}\varphi$ überein.

Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.

Lösung Geometrisches Mittel/Geometrische Relevanz/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}a>b>0$ reelle Zahlen. Bestimme das ${}c$ zwischen ${}a$ und ${}b$ mit der Eigenschaft, dass der Kehrwert von ${}c$ zu den beiden Kehrwerten von ${}a$ und ${}b$ den gleichen Abstand besitzt.

Lösung

Wir bestimmen zuerst die Zahl ${}x$ mit

${}{\frac {1}{a}}<x<{\frac {1}{b}}\,,$

die zu den beiden Zahlen links und rechts den gleichen Abstand besitzt. Diese ist durch das arithmetische Mittel gegeben, also

${}x={\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {b+a}{ab}}={\frac {2a+2b}{ab}}\,.$

Somit ist

${}c={\frac {1}{x}}={\frac {ab}{2a+2b}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}$

ist.

Lösung

Da der Limes der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht ${}0$ ist, gilt für ${}n\geq N_{1}$ die Bedingung ${}\vert {x_{n}}\vert \geq {\frac {\vert {x}\vert }{2}}$ und damit

${}{\frac {1}{\vert {x_{n}}\vert }}\leq {\frac {2}{\vert {x}\vert }}\,.$

Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}{\text{ für alle }}n\geq N_{2}.$

Dann gilt für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$ die Abschätzung

${}\vert {{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x}}}\vert =\vert {\frac {x_{n}-x}{xx_{n}}}\vert ={\frac {1}{\vert {x}\vert \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {2}{\vert {x}\vert ^{2}}}\cdot {\frac {\epsilon \vert {x}\vert ^{2}}{2}}=\epsilon \,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

${}\varphi (x)=3x^{2}-7x+5\,.$

Bestimme ${}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}&=3{\left(u^{2}-2v\right)}^{2}-7{\left(u^{2}-2v\right)}+5\\&=3{\left(u^{4}-4u^{2}v+4v^{2}\right)}-7{\left(u^{2}-2v\right)}+5\\&=3u^{4}-12u^{2}v+12v^{2}-7u^{2}+14v+5.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Summe der Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3-{\mathrm {i} })^{k}}}.$

Lösung

Nach Satz 9.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3-{\mathrm {i} })^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3-{\mathrm {i} }}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{1-{\frac {1}{3-{\mathrm {i} }}}}}\\&={\frac {3-{\mathrm {i} }}{3-{\mathrm {i} }-1}}\\&={\frac {3-{\mathrm {i} }}{2-{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {(3-{\mathrm {i} })(2+{\mathrm {i} })}{(2-{\mathrm {i} })(2+{\mathrm {i} })}}\\&={\frac {7+{\mathrm {i} }}{5}}\\&={\frac {7}{5}}+{\frac {1}{5}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von ${}f$ im Punkt ${}x$ und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen ${}x$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}f(x)$ konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Es sei (1) erfüllt und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R}$, die gegen ${}x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)\,$

ist. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein ${}\delta >0$ mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}d(x_{n},x)\leq \delta \,$

gilt. Nach der Wahl von ${}\delta$ ist dann

$d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$

sodass die Bildfolge gegen ${}f(x)$ konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für alle ${}\delta >0$ Elemente ${}z\in \mathbb {R}$ gibt, deren Abstand zu ${}x$ maximal gleich ${}\delta$ ist, deren Wert ${}f(z)$ unter der Abbildung aber zu ${}f(x)$ einen Abstand besitzt, der größer als ${}\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${}\delta =1/n$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. D.h. für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}x_{n}\in \mathbb {R}$ mit

$d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$

Diese so konstruierte Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen ${}x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${}f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenglieder zu ${}f(x)$ zumindest ${}\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).

Aufgabe weiter

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 1}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 1},$

die durch

${}f(x):={\begin{cases}{\frac {2}{x}}\,,{\text{ falls }}x\leq 2\,,\\{\frac {x}{2}}\,,{\text{ falls }}x>2\,,\end{cases}}\,$

definiert ist.

1. Skizziere den Graphen der Funktion.
2. Zeige, dass ${}f$ wohldefiniert ist.
3. Bestimme die Fixpunkte von ${}f$.
4. Bestimme die Fixpunkte der Hintereinanderschaltung ${}f\circ f$.
5. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.
6. Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?

Lösung

1. ${}\,$
2. Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder ${}\geq 1$ sind. Bei

   ${}1\leq x\leq 2\,$

   ist

   ${}1\geq {\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{2}}\,$

   und damit

   ${}f(x)={\frac {2}{x}}\geq 1\,,$

   bei

   ${}x\geq 2\,$

   ist ebenfalls

   ${}f(x)={\frac {x}{2}}\geq 1\,.$

3. Bei ${}x\leq 2$ lautet die Bedingung für einen Fixpunkt ${}{\frac {2}{x}}=x$, was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung ${}x={\sqrt {2}}$ führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
4. Für ${}x$ zwischen ${}1$ und ${}2$ ist auch

   ${}f(x)={\frac {2}{x}}\leq 2\,$

   und damit ist in diesem Bereich

   ${}f(f(x))={\frac {2}{\frac {2}{x}}}=x\,,$

   diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei ${}x$ mit

   ${}2<x\leq 4\,$

   ist

   ${}f(x)={\frac {x}{2}}\geq 2\,$

   und somit

   ${}f(f(x))=f{\left({\frac {x}{2}}\right)}={\frac {2}{\frac {x}{2}}}={\frac {4}{x}}<2\,,$

   in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei

   ${}x>4\,$

   ist

   ${}f(f(x))={\frac {x}{4}}\,$

   und es gibt keinen Fixpunkt.

5. Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei ${}x=2$ haben beide Ausdrücke den Wert ${}1$.
6. Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren (eventuell gleichlangen) Seite mit ${}x$ bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis ${}x$ zu ${}1$ vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen ${}{\frac {x}{2}}$ und ${}1$. Wenn

   ${}{\frac {x}{2}}\geq 1\,$

   ist, was genau bei

   ${}x\geq 2\,$

   der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich ${}{\frac {x}{2}}$.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${}f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Lösung

Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, liegt nur bei ${}2x+3=0$, also bei ${}x_{0}=-{\frac {3}{2}}$ eine Nullstelle vor. Unterhalb davon ist die Funktion negativ, oberhalb davon positiv.

Zur Bestimmung der lokalen Extrema leiten wir ab, was zu

${}f'(x)=2e^{-x^{2}}+(2x+3)(-2x)e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}{\left(-4x^{2}-6x+2\right)}\,$

führt. Die Nullstellenbestimmung der Ableitung führt auf

${}x^{2}+{\frac {3}{2}}x-{\frac {1}{2}}=0\,.$

Quadratisches Ergänzen führt zu

${}{\left(x+{\frac {3}{4}}\right)}^{2}-{\frac {9}{16}}-{\frac {1}{2}}=0\,$

bzw.

${}{\left(x+{\frac {3}{4}}\right)}^{2}={\frac {17}{16}}\,.$

Also ist

${}x+{\frac {3}{4}}=\pm {\frac {\sqrt {17}}{4}}\,$

und somit

$x_{1}=-{\frac {\sqrt {17}}{4}}-{\frac {3}{4}}{\text{ und }}x_{2}=+{\frac {\sqrt {17}}{4}}-{\frac {3}{4}}.$

Für ${}x<x_{1}$ ist die Ableitung negativ, für ${}x$ mit ${}x_{1}<x<x_{2}$ ist sie positiv und für ${}x=x_{2}$ wieder negativ. Daher ist die Funktion ${}f$ unterhalb von ${}x_{1}$ streng fallend, zwischen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ streng wachsend und oberhalb von ${}x_{2}$ wieder streng fallend. Daher liegt in ${}x_{1}$ ein isoliertes lokales Minimum und in ${}x_{2}$ ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es sonst keine lokalen Extrema gibt, und die Funktion für ${}x\rightarrow -\infty$ wächst, aber negativ bleibt, und für ${}x\rightarrow +\infty$ fällt, aber positiv bleibt, sind dies auch globale Extrema.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Lösung

Aufgrund des Mittelwertsatz der Integralrechnung, angewendet auf die Ableitung ${}g'$, gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}g(b)-g(a)=\int _{a}^{b}g'(t)dt=(b-a)g'(c)\,.$

Division durch ${}b-a$ liefert den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}.$

Lösung

Wir führen nach und nach für Integrationsgrenzen ${}b>a>2$ die Substitutionen

${}x=u+2\,,$

${}u=v^{6}\,$

und

${}v=w+1\,$

durch und erhalten

${}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}{\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}dx&=\int _{a-2}^{b-2}{\frac {1+3u^{\frac {1}{6}}}{u^{\frac {2}{3}}-u^{\frac {1}{2}}}}du\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}}{\frac {1+3v}{v^{4}-v^{3}}}v^{5}dv\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}}{\frac {v^{2}+3v^{3}}{v-1}}dv\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}{\frac {(w+1)^{2}+3(w+1)^{3}}{w}}dw\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}{\frac {w^{2}+2w+1+3w^{3}+9w^{2}+9w+3}{w}}dw\\&=6\int _{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}3w^{2}+10w+11+{\frac {4}{w}}dw\\&=6\left(w^{3}+5w^{2}+11w+4\ln w\right)|_{(a-2)^{\frac {1}{6}}-1}^{(b-2)^{\frac {1}{6}}-1}.\end{aligned}}$

Eine Stammfunktion ist somit

$6{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}^{3}+30{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}^{2}+66{\left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right)}+24\ln \left((x-2)^{\frac {1}{6}}-1\right).$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.

Lösung

Da ${}a(t)$ keine Nullstelle besitzt, kann man jede Funktion

$y\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}y(t)=c(t)a(t)\,$

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ${}c(t)$ ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion ${}y$)

${}y'(t)=c'(t)a(t)+c(t)a'(t)\,.$

Daher kann man die Lösungsbedingung

${}y'(t)=g(t)y(t)+h(t)\,$

als

${}c'(t)a(t)+c(t)a'(t)=g(t)c(t)a(t)+h(t)\,$

schreiben, und diese gilt wegen ${}a'(t)=g(t)a(t)$ genau dann, wenn

${}c'(t)a(t)=h(t)\,$

bzw.

${}c'(t)={\frac {h(t)}{a(t)}}\,$

gilt. D.h. ${}c(t)$ muss eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ sein.