Kurs:Analysis/Teil II/22/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	3	8	3	4	6	0	2	4	11	4	3	0	62

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige für den Abschluss von ${}T$ die Gleichheit

${}{\overline {T}}={\left\{x\in M\mid {\text{ es gibt eine Folge }}x_{n}{\text{ in }}T,{\text{ die gegen }}x{\text{ konvergiert}}\right\}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine Menge ${}M$ mit der diskreten Metrik zu einem vollständigen metrischen Raum wird.

Aufgabe * (8 (2+2+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\leq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\leq 0},\,x\longmapsto e^{x}-1.$

1. Zeige, dass ${}0$ der einzige Fixpunkt von ${}f$ ist.
2. Zeige, dass ${}f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}1$ ist.
3. Zeige, dass ${}f$ keine starke Kontraktion ist.
4. Zeige, dass zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{\leq 0}$ die rekursiv definierte Folge ${}x_{n+1}:=f(x_{n})$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Länge der Kurve

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,3t\right).$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

${}x^{\prime \prime }={\frac {-2gx-4x(x')^{2}}{1+4x^{2}}}\,$

mit ${}x(0)=0$ und ${}x'(0)=1$ bis zur Ordnung ${}4$. Dabei ist ${}g$ eine Konstante.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen ${}p,q,n$ mit ${}p+q\leq n$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ ${}(p,q)$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto -3x^{2}+2xy-7y^{2}+x,$

auf Extrema.

Aufgabe * (11 (2+2+4+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x^{y},\,y^{x}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem beliebigen Punkt ${}\left(x,\,y\right)$
2. Bestimme die Punkte ${}\left(x,\,y\right)$, für die ${}\varphi$ regulär ist.
3. Ist ${}\varphi$ injektiv?
4. Ist ${}\varphi$ surjektiv? Tipp: Die Funktion ${}e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x$ ist nach unten beschränkt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto y\ln x-3xz^{2}.$

1. Bestimme das totale Differential von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.
3. Bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von ${}\varphi$ durch den Punkt ${}\left(1,\,0,\,-3\right)$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}U\subseteq V$ und ${}U'\subseteq W$ offene Teilmengen und

$\varphi \colon U\longrightarrow U'$

ein Diffeomorphismus. Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}G$ das durch

${}G(t,y):={\left(D\varphi \right)}_{\varphi ^{-1}(y)}{\left(F(t,\varphi ^{-1}(y))\right)}\,$

definierte Vektorfeld auf ${}U'$. Zeige, dass

$\alpha \colon J\longrightarrow U$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$x'=F(t,x){\text{ mit }}x(t_{0})=x_{0},$

wenn ${}\varphi \circ \alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=G(t,y){\text{ mit }}y(t_{0})=\varphi (x_{0})$

ist.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen