Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 9

Reihen

Wir haben in der siebten Vorlesung gesagt, dass man eine Dezimalentwicklung, also eine (unendliche) Ziffernfolge mit Ziffern zwischen $0$ und $9$ als eine wachsende Folge von rationalen Zahlen auffassen kann. Dabei hat die $n$-te Nachkommastelle $a_{-n}$ die Bedeutung, dass $a_{-n}\cdot 10^{-n}$ zur vorhergehenden Approximation hinzu zu addieren ist. Die Ziffernfolge gibt also direkt die Differenz der Folgenglieder an, und die Folgenglieder ergeben sich durch Aufsummieren dieser Differenzen. Diese Sichtweise führt zum Begriff der Reihe.

Definition

Es sei ${\left(a_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ versteht man die Folge ${\left(s_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ der Partialsummen

$s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k.$

Falls die Folge ${\left(s_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Alle Begriffe für Folgen übertragen sich auf Reihen, indem man eine Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ als Folge der Partialsummen $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$ auffasst. Wie schon bei Folgen kann es sein, dass die Summation nicht bei $k=0$, sondern bei einer anderen Zahl beginnt.

Beispiel

Wir wollen die Reihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(k+1)}$

berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die $n$-te Partialsumme angeben. Es ist

$s_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$

Diese Folge konvergiert gegen $1$, sodass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich $1$ ist.

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

eine Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem  $ϵ>0$  gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle  $n\ge m=n_0$  die Abschätzung

$|\sum _{k=m}^n{a}_k|\le ϵ$

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 9.3.

$◻$

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\text{ und }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen $s$ und $t$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ mit  $c_n=a_n+b_n$  ist ebenfalls konvergent mit der Summe $s+t$.
2. Für  $\lambda \in ℂ$  ist auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_k$ mit  $d_n=\lambda a_n$  konvergent mit der Summe $\lambda s$.

Beweis

Siehe Aufgabe 9.4.

$◻$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_k=0.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 9.3.

$◻$

Nikolaus von Oresme (1330-1382) bewies, dass die harmonische Reihe divergiert.

Es ist also eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Diese Bedingung ist nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe zeigt.

Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}.$

Es geht also um die „unendliche Summe“ der Stammbrüche

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots .$

Diese Reihe divergiert: Für die $2^n$ Zahlen  $k=2^n+1,\dots ,2^{n+1}$  ist

$\sum _{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}\ge \sum _{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{2^{n+1}}=2^n\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}.$

Daher ist

$\sum _{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}=1+\sum _{i=0}^n\left(\sum _{k=2^i+1}^{2^{i+1}}\frac{1}{k}\right)\ge 1+(n+1)\frac{1}{2}.$

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 5.8 nicht konvergent sein.

Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt, dass man einen beliebig weiten Überhang mit gleichförmigen Bauklötzen bauen kann.

Die folgende Aussage heißt Leibnizkriterium für alternierende Reihen .

Satz

Es sei ${\left(x_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{x}_k$.

Beweis

Wir setzen

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{x}_k.$

Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes $n$ gilt wegen  $x_{2n+2}\le x_{2n+1}$  die Beziehung

$s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\le s_{2n},$

d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen

$s_0\ge s_{2n}\ge s_{2n-1}\ge s_1.$

Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Korollar 7.1 konvergent. Wegen  $s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$  und  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$  stimmen die Grenzwerte überein.

$◻$

Absolute Konvergenz

Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$

konvergiert.

Satz

Eine absolut konvergente Reihe von komplexen Zahlen

konvergiert.

Beweis

Es sei  $ϵ>0$  vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle  $n\ge m\ge n_0$  die Abschätzung

$|\sum _{k=m}^n|a_k||=\sum _{k=m}^n|a_k|\le ϵ$

gilt. Daher ist

$|\sum _{k=m}^n{a}_k|\le |\sum _{k=m}^n|a_k||\le ϵ,$

was die Konvergenz bedeutet.

$◻$

Beispiel

Eine konvergente Reihe muss nicht absolut konvergieren, d.h. Satz 9.9 lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des Leibnizkriteriums konvergiert die alternierende harmonische Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots ,$

und zwar ist ihr Grenzwert $\ln 2$, was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach Beispiel 9.6 divergiert.

Die folgende Aussage heißt das Majorantenkriterium .

Satz

Es sei $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${\left(a_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge komplexer Zahlen mit  $|a_k|\le b_k$  für alle $k$.

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

absolut konvergent.

Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.

$◻$

Beispiel

Wir wollen bestimmen, ob die Reihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\dots$

konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel 9.2 heran, wo wir die Konvergenz von $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$ gezeigt haben. Für  $k\ge 2$  ist

$\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}.$

Daher konvergiert $\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$ und somit auch $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$. Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden (siehe Korollar 23.11 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023))) kann man zeigen, dass diese Summe gleich $\frac{{\pi }^2}{6}$ ist.

Die geometrische Reihe und das Quotientenkriterium

Dieses Bild veranschaulicht das Verhalten der geometrischen Reihe zu $x=\frac{1}{4}$. Die Grundseite des Quadrates sei $2$, dann passt die geometrische Reihe dreimal in dieses Quadrat rein. Der jeweilige Flächeninhalt der drei Reihen ist $\frac{4}{3}$.

Die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k$ heißt geometrische Reihe zu $z\in ℂ$, es geht also um die Summe

$1+z+z^2+z^3+\dots .$

Die Konvergenz hängt wesentlich vom Betrag von $z$ ab.

Satz

Für alle komplexen Zahlen $z$ mit  $|z|<1$  konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k$ absolut und es gilt

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k=\frac{1}{1-z}.$

Beweis

Für jedes $z$ gilt die Beziehung

$(z-1)\left(\sum _{k=0}^n{z}^k\right)=z^{n+1}-1$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei $z\ne 1$)

$s_n=\sum _{k=0}^n{z}^k=\frac{z^{n+1}-1}{z-1}.$

Für $n\to \mathrm{\infty }$ und  $|z|<1$  konvergiert dies wegen Aufgabe 8.14 und Satz 8.10 gegen  $\frac{-1}{z-1}=\frac{1}{1-z}$. 

$◻$

Die folgende Aussage heißt Quotientenkriterium .

Satz

Es sei

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit  $0\le q<1$  und ein $k_0$ mit

$|\frac{a_{k+1}}{a_k}|\le q$

für alle  $k\ge k_0$  (Insbesondere sei $a_k\ne 0$ für $k\ge k_0$).

Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ absolut.

Beweis

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir  $k_0=0$  annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_k$ nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

$a_k=\frac{a_k}{a_{k-1}}\cdot \frac{a_{k-1}}{a_{k-2}}\cdots \frac{a_1}{a_0}\cdot a_0\le a_0{q}^k.$

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.

$◻$

Beispiel

Unter den Kochschen Schneeflocken versteht man die Folge $K_n$ der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur $K_0$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur $K_{n+1}$ entsteht aus $K_n$, indem man in jeder Begrenzungskante von $K_n$ das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt.

Es sei $A_n$ der Flächeninhalt und $L_n$ die Länge des Randes der $n$-ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge $A_n$ konvergiert und die Folge $L_n$ bestimmt gegen $\mathrm{\infty }$ divergiert.

Die Anzahl der Kanten von $K_n$ ist $3\cdot 4^n$, da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge $1/3$ der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei $r$ die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht $K_n$ aus $3\cdot 4^n$ Kanten der Länge $r{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ und die Gesamtlänge der Kanten von $K_n$ ist gleich

$L_n=3\cdot 4^{n}r{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=3r{\left(\frac{4}{3}\right)}^n.$

Wegen  $\frac{4}{3}>1$  divergiert dies gegen $\mathrm{\infty }$.

Beim Übergang von $K_n$ nach $K_{n+1}$ kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $s$ ist $\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$ (Grundseite mal Höhe durch $2$). Im Schritt von $K_n$ nach $K_{n+1}$ kommen somit $3\cdot 4^n$ Dreiecke mit dem Flächeninhalt  $\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2(n+1)}{r}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{r}^2{\left(\frac{1}{9}\right)}^{n+1}$  hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von $K_n$ gleich

$\begin{array}{cc}& \frac{\sqrt{3}}{4}{r}^2(1+3\frac{1}{9}+12{\left(\frac{1}{9}\right)}^2+48{\left(\frac{1}{9}\right)}^3+\cdots +3\cdot 4^{n-1}{\left(\frac{1}{9}\right)}^n)\\ & =\frac{\sqrt{3}}{4}{r}^2(1+\frac{3}{4}{\left(\frac{4}{9}\right)}^1+\frac{3}{4}{\left(\frac{4}{9}\right)}^2+\frac{3}{4}{\left(\frac{4}{9}\right)}^3+\cdots +\frac{3}{4}{\left(\frac{4}{9}\right)}^n).\end{array}$

Wenn wir hinten die erste $1$ und den Faktor $\frac{3}{4}$ ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu $\frac{4}{9}$, welche konvergiert.

Fußnoten

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