Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum $V^{\ast }$ die gleiche Dimension wie $V$ besitzt.

Aufgabe

Betrachte die Linearform

$L:{ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼x+3y-4z.$

a) Bestimme den Vektor  $u\in {ℝ}^3$  mit der Eigenschaft

$⟨u,v⟩=L(v)\text{ für alle }v\in {ℝ}^3,$

wobei $⟨-,-⟩$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

b) Es sei  $E=\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\}\subset {ℝ}^3$  und es sei  $\phi =L{|}_E$  die Einschränkung von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor  $w\in E$  mit der Eigenschaft

$⟨w,v⟩=\phi (v)\text{ für alle }v\in E,$

wobei $⟨-,-⟩$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von $0$ verschiedene lineare Abbildung

$f:V⟶ℝ$

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f:{ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼x^{2}y-z^{3}x{e}^{xyz},$

in jedem Punkt  $P\in {ℝ}^3$. 

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f:G⟶ℝ,(x,y,z)⟼\frac{xyz-z^2}{\ln (xy)+z^2},$

in jedem Punkt  $P\in G$  mit  $G={ℝ}_{>1}\times {ℝ}_{>1}\times ℝ$. 

Aufgabe

Es sei $(V,⟨-,-⟩)$ ein euklidischer Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Menge, $P\in G$ ein Punkt und

$f:G⟶ℝ$

eine in $P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass $f$ und ${\left(Df\right)}_P$ im Punkt $P$ den gleichen Gradienten besitzen.

Aufgabe

Es sei $(V,⟨-,-⟩)$ ein euklidischer Vektorraum, $G\subseteq V$ eine offene Menge, $P\in G$ ein Punkt und

$f:G⟶ℝ$

eine in $P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor $v\in V$ genau dann zum Kern von ${\left(Df\right)}_P$ gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten $\mathrm{Grad}f(P)$ ist.

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^2+y^2.$

Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x{y}^2-x.$

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^{2}y-y^2+x.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^{2}y-x+y^3,$

im Punkt $P=(1,1)$ in Richtung des Winkels $\alpha \in [0,2\pi ]$. Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f:{ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼x+\sin \left(y\right)-xz.$

1. Bestimme den Gradienten $G$ von $f$ im Punkt  $P=(0,0,0)\in {ℝ}^3$  bezüglich des Standardskalarprodukts $⟨-,-⟩$.
2. Es sei

   $E=\{(x,y,z)\mid 2x-y+3z=0\}\subseteq {ℝ}^3$

   und es sei  $g=f{|}_E$  die Einschränkung von $f$ auf $E$. Bestimme den Gradienten $\tilde{G}$ von $g$ bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$.

3. Zeige, dass $\tilde{G}$ die orthogonale Projektion von $G$ auf $E$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x{y}^3-xy+\sin y.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f(x,y)=x^4+y^4+2x^2{y}^2-6y^3-6x^{2}y+8y^2$

aus Beispiel 46.9.