Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum ${}{V}^{*}$ die gleiche Dimension wie ${}V$ besitzt.

Aufgabe

Betrachte die Linearform

L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.

Bestimme den Vektor ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$ mit der Eigenschaft
$\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.
Es sei
$E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$

und es sei ${}\varphi =L{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$ . Bestimme den Vektor ${}w\in E$ mit der Eigenschaft

$\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe

Sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}y-z^{3}xe^{xyz},

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$ .

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xyz-z^{2}}{\ln(xy)+z^{2}}},

in jedem Punkt ${}P\in G$ mit ${}G=\mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R}$

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ und ${}\left(Df\right)_{P}$ im Punkt ${}P$ den gleichen Gradienten besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist.

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.

Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-y^{2}+x.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-x+y^{3},

im Punkt ${}P=(1,1)$ in Richtung des Winkels ${}\alpha \in [0,2\pi ]$ . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+\sin \left(y\right)-xz.

Bestimme den Gradienten ${}G$ von ${}f$ im Punkt ${}P=(0,0,0)\in \mathbb {R} ^{3}$ bezüglich des Standardskalarprodukts ${}\left\langle -,-\right\rangle$ .
Es sei
$E={\left\{(x,y,z)\mid 2x-y+3z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$

und es sei ${}g=f{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}f$ auf ${}E$ . Bestimme den Gradienten ${}{\tilde {G}}$ von ${}g$ bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ .
Zeige, dass ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$ ist.