Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 58/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

f\colon \mathbb {R} \times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{i}y^{j}.

Wir setzen

\varphi (x)=\int _{a}^{b}x^{i}y^{j}dy.

Berechne ${}\varphi '(x)$ auf zwei unterschiedliche Weisen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige Satz 58.3 für die Funktion

f\colon [1,2]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto e^{xt}.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

{}f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y\,.

Berechne die Integrale zum Parameter ${}y\in [0,\pi ]$ über ${}x\in [0,1]$ und zum Parameter ${}x\in [0,1]$ über ${}y\in [0,\pi ]$ . Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte zu ${}r,s\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}r+s>1$ und ${}s<r+1$ die „sichelförmige“ Menge

M_{r,s}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r,\,{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\geq s\right\}}.

Für welche ${}r,s$ ist diese Menge sternförmig?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ zusammenhängend ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann ein (nichtleeres) Intervall ist, wenn ${}T$ sternförmig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ ( $k\geq 1$ ) endlich viele Punkte im ${}\mathbb {R} ^{n}$ . Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\}$ nicht sternförmig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe, ob das Vektorfeld

G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}}\right),

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe, ob das Vektorfeld

G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}}\right),

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Vektorfeld

G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(2x-y\cos x,\,-\sin x\right),

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Ob ein Vektorfeld auf ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.

Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ nennt man

{}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}(P):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{2}}}(P)-{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{3}}}(P)\\{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{3}}}(P)-{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{1}}}(P)\\{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{1}}}(P)-{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{2}}}(P)\end{pmatrix}}\,

die Rotation von ${}G$ .

Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ . Zeige, dass ${}G$ genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ${}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}=0$ ist.