Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 67/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.





Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

im erzeugten Parallelotops.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

im erzeugten Parallelotops.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Determinante einer linearen Isometrie

gleich oder gleich ist.

(Tipp: Betrachte ).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass volumentreu, aber keine Isometrie ist.


Aufgabe Aufgabe 67.7 ändern

Es sei

eine lineare Abbildung und . Zeige die Gleichheit .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

ein linearer Endomorphismus, der nicht bijektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß nicht - endlich ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei . Zeige, dass es eine positive reelle Zahl gibt derart, dass das -dimensionale Volumen einer abgeschlossenen Kugel im mit Radius und mit einem beliebigen Mittelpunkt gleich ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

im erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Volumen des von den Vektoren

im erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Volumen des von den Vektoren

im erzeugten Parallelotops (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren erzeugten „Pseudoparallelogramms“, also von


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine lineare Abbildung, die surjektiv, aber nicht injektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß für jede Borelmenge durch

bestimmt ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei die Oberfläche der Einheitskugel. Zeige, dass das Volumen dieser Oberfläche ist.


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Multiplikationsabbildung

flächentreu ist.

(Dabei ist mit dem Borel-Lebesgue-Maß versehen).

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien drei Vektoren gegeben und es sei

das davon erzeugte „Pseudoparallelogramm“. Zeige, dass der Flächeninhalt von gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Parallelogramme ist, die von je zwei der beteiligten Vektoren aufgespannt werden.



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