Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 84

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen





Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius besitzt den Flächeninhalt . Dies ist ein klassisches Resultat, doch wie kann man den Flächeninhalt einer solchen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit präzise erfassen? Um die Maß- und Integrationstheorie der vorhergehenden Vorlesungen anwenden zu können, brauchen wie eine -Form auf der Fläche. Über den Begriff der Riemannschen Metrik werden wir zeigen, dass es auf Flächen, die im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind, ein natürliches Flächenmaß gibt, mit dem man den Flächeninhalt ausrechnen kann.

Die grüne Oberfläche erbt vom umgebenden euklidischen Raum das Skalarprodukt. Dies erlaubt darauf eine sinnvolle Flächenmessung.

Definition  

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum , , ein Skalarprodukt erklärt ist derart, dass für jede Karte

mit die Funktionen (für )

-differenzierbar sind.[1]

Die auf den Karten definierten Funktionen fasst man zu einer Matrix zusammen, die man auch die metrische Fundamentalmatrix (oder den metrischen Fundamentaltensor) nennt. Diese Matrix ist in jedem Punkt symmetrisch und positiv definit. Wichtig ist auch die Determinante davon, also

die ebenfalls stetig differenzierbar ist und die nach Korollar 48.12 überall positiv ist.

Das einfachste Beispiel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist der euklidische Raum mit dem Standardskalarprodukt (und überhaupt jeder euklidische Raum) sowie eine jede offene Teilmenge davon. Wichtiger ist, dass auch jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer riemannschen Mannigfaltigkeit wieder eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Dadurch ergeben sich viele nichttriviale Beispiele, wie beispielsweise Flächen im wie die Sphäre oder der Torus.



Satz  

Sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit.

Dann ist ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Beweis  

Für jeden Punkt ist ein Untervektorraum nach Satz 78.3. Daher induziert das Skalarprodukt auf ein Skalarprodukt auf . Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei

eine Karte von mit , die eine Bijektion zwischen und induziere. Unter dieser Identifizierung ist mit den Basisvektoren , . Für Paare , , von solchen Vektoren gelten dann für die Gleichheiten

da ja das Skalarprodukt auf einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf ist und da die Einschränkung von ist.

Die einfachsten Beispiele sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten , wobei sich das Standardskalarprodukt direkt auf überträgt.



Vektorfelder und -Formen auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit

Böse Zungen behaupten, dass Physiker nicht den Unterschied zwischen Vektorfeldern und -Formen kennen. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten entsprechen sich in der Tat diese Objekte.



Lemma  

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit.

Dann ist die Abbildung

mit

wobei ist und einen Tangentenvektor aus bezeichnet, eine Isomorphie zwischen den Vektorfeldern und den -Formen auf .

Beweis  

Für jeden Punkt ist die Abbildung

nach Lemma 47.5 eine Isomorphie. Daraus folgt direkt, dass die globale Zuordnung eine Bijektion ist. Für die Linearität der Zuordnung siehe Aufgabe 84.2.


Bemerkung  

Auf einem euklidischen Vektorraum entsprechen sich die Vektorfelder und die -Differentialformen gemäß Lemma 84.3. Das gleiche gilt für eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit , und Differentialformen auf lassen sich auf einschränken. Daher kann man auch ein Vektorfeld auf zu einem Vektorfeld auf zurückziehen: man betrachtet die zugehörige Differentialform auf , die zurückgezogene Differentialform auf und dazu das zugehörige Vektorfeld auf . Geometrisch gesprochen wird dabei einem Punkt aber nicht die Richtung zugeordnet, da dieser Vektor im Allgemeinen gar nicht zum Tangentialraum gehört. Stattdessen muss man die orthogonale Projektion von auf nehmen (hierbei wird also die euklidische Struktur verwendet).



Beispiel  

Als Beispiel zu Bemerkung 84.4 betrachten wir den Einheitskreis als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und das konstante Vektorfeld auf , das also jedem Punkt den ersten Standardvektor als Richtung zuordnet. Die zugehörige Differentialform ist , die auf und auf abbildet. Die auf zurückgezogene Differentialform wird ebenfalls mit bezeichnet und besitzt die gleiche Wirkungsweise, allerdings eingeschränkt auf den jeweiligen Tangentialraum . Das zu dieser Differentialform auf gehörige Vektorfeld berechnet sich nach Lemma 84.3 folgendermaßen: Für jeden Punkt und jeden Vektor muss

gelten, wobei sein muss. Der Tangentialraum ist eindimensional und wird von aufgespannt. Daher ist und

für gewisse . Aus der Bedingung

folgt direkt . Das zurückgezogene Vektorfeld ist demnach




Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit

Definition  

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension . Zu sei diejenige alternierende Form auf (bzw. das entsprechende Element aus ), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert zuordnet. Dann heißt die -Differentialform

die kanonische Volumenform auf .

Das zugehörige Maß zu dieser positiven Form heißt kanonisches Maß auf . Wir bezeichnen es mit . Demnach ist das Gesamtmaß (der Flächeninhalt, das Volumen) von .



Lemma  

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und die kanonische Volumenform. Es sei

eine orientierte Karte mit

offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und .

Dann ist

Für eine messbare Teilmenge ist

Beweis  

Gemäß der Definition 83.3 müssen wir die Differentialform für jeden Punkt berechnen. Diese Form besitzt die Gestalt und ist durch ihren Wert auf festgelegt. Es ist

Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist

Nach Satz 67.8 ist




Satz  

Es sei offen und sei eine -dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform versehen sei. Es sei offen und es sei

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge .[2]

Dann ist eine Karte von , und auf gilt

Beweis  

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem . Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für

da ja der Tangentialraum das induzierte Skalarprodukt des trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Lemma 84.7.



Beispiel  

Es sei ein offenes Intervall und

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall . Ferner sei angenommen, dass injektiv und dass das Bild von eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist. Dann gilt nach Satz 84.8 für die kanonische Form von (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

Somit gilt bei für das Maß (also die Länge) von die Formel

Dies stimmt mit der in Satz 38.6 über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.




Fußnoten
  1. Viele Autoren fordern, dass eine riemannsche Mannigfaltigkeit und diese Funktionen von der Klasse sind.
  2. Man sagt auch, dass eine (diffeomorphe) Parametrisierung von ist.


<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)