Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 23

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Treppenintegral über zur Treppenfunktion, die durch

gegeben ist.


Aufgabe *

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.


Aufgabe

Es seien

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

Treppenfunktionen sind.


Aufgabe

Es sei

eine Treppenfunktion und

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls eine Treppenfunktion ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

die nicht Riemann-integrierbar ist.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe *

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)


Aufgabe

Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion auf mit für alle . Man zeige: Ist stetig in einem Punkt mit , dann gilt


Aufgabe *

Es sei

stetig mit

für jede stetige Funktion . Zeige .


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

  1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung in Abhängigkeit von .
  2. Bestimme dasjenige zwischen und , für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?

Bei den beiden vorstehenden Aufgabe kann man sich fragen, wie bei einer feineren Unterteilung, beispielsweise mit zwei Zwischenpunkten, das optimale untere Treppenintegral aussieht. Dies wird im zweiten Semester beantwortet, siehe Aufgabe 50.22.

Aufgabe

Zeige, dass für die Funktion

weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.


Aufgabe *

Es sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen  mit und eine Folge von Treppenfunktionen  mit . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann Riemann-integrierbar ist und dass

gilt.


Aufgabe *

Es sei ein beschränktes Intervall und eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und sei

eine monotone Funktion. Zeige, dass Riemann-integrierbar ist.


Aufgabe *

Es sei

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu sei

diejenige untere Treppenfunktion zu zur äquidistanten Unterteilung in gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

(für sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von , , annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Die Funktion ist Riemann-integrierbar.
  2. Es gibt eine Unterteilung derart, dass die einzelnen Einschränkungen Riemann-integrierbar sind.
  3. Für jede Unterteilung sind die Einschränkungen Riemann-integrierbar.


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Ist für alle , so ist .
  2. Ist für alle , so ist .
  3. Es ist .
  4. Für ist .


Aufgabe *

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das bestimmte Integral

in Abhängigkeit von und explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

und einer Treppenfunktion

derart, dass die Hintereinanderschaltung keine Treppenfunktion ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.

Tipp: Verwende Aufgabe 9.5.

Aufgabe (8 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

mit

Zeige, dass Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion mit der Eigenschaft gibt, dass für alle ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

derart, dass es ein mit der Eigenschaft gibt, dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion zur äquidistanten Unterteilung in Teilintervalle größer ist als dasjenige zu Teilintervallen (d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation).



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