Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Treppenintegral über ${}[-3,+4]$ zur Treppenfunktion, die durch

${}f(t)={\begin{cases}5,{\text{ falls }}-3\leq t\leq -2\,,\\-3,{\text{ falls }}-2<t\leq -1\,,\\{\frac {3}{7}},{\text{ falls }}-1<t<-{\frac {1}{2}}\,,\\13,{\text{ falls }}t=-{\frac {1}{2}}\,,\\\pi ,{\text{ falls }}-{\frac {1}{2}}<t<e\,,\\0,{\text{ falls }}e\leq t\leq 3\,,\\1,{\text{ falls }}3<t\leq 4\,,\end{cases}}\,$

gegeben ist.

Aufgabe *

a) Unterteile das Intervall ${}[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf ${}[-4,5]$, die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte ${}2$ und ${}-1$ annimmt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch

1. ${}f+g$,
2. ${}f\cdot g$,
3. ${}{\max {\left(f,g\right)}}$,
4. ${}{\min {\left(f,g\right)}}$,

Treppenfunktionen sind.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine Treppenfunktion und

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die nicht Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}t\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{1}^{2}t^{3}\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{-2}^{7}-t^{3}+3t^{2}-2t+5\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe *

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)

${}\int _{0}^{1}e^{x}dx=e-1\,.$

Aufgabe

Es sei ${}f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf ${}[a,b]$ mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in [a,b]$. Man zeige: Ist ${}f$ stetig in einem Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)>0$, dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(x)dx>0\,.$

Aufgabe *

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig mit

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige ${}f=0$.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welches ${}x\in [0,1]$ besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$[1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)={\frac {1}{t}}.$

1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq 2$ in Abhängigkeit von ${}x$.
2. Bestimme dasjenige ${}x$ zwischen ${}1$ und ${}2$, für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu ${}g$ zur Intervallunterteilung ${}1\leq x\leq 2$ maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?

Bei den beiden vorstehenden Aufgabe kann man sich fragen, wie bei einer feineren Unterteilung, beispielsweise mit zwei Zwischenpunkten, das optimale untere Treppenintegral aussieht. Dies wird im zweiten Semester beantwortet, siehe Aufgabe 50.22.

Aufgabe

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}s_{n}\leq f$ und eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}t_{n}\geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann ${}f$ Riemann-integrierbar ist und dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion. Zeige, dass ${}f$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei

$s_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

diejenige untere Treppenfunktion zu ${}f$ zur äquidistanten Unterteilung in ${}n$ gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

$I_{j}=[a+{\frac {(j-1)(b-a)}{n}},a+{\frac {j(b-a)}{n}}[,\,j=1,\ldots ,n,$

(für ${}j=n$ sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von ${}f(x)$, ${}x\in I_{j}$, annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu ${}s_{n}$ gegen ${}\int _{a}^{b}f(x)dx$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Funktion ${}f$ ist Riemann-integrierbar.
2. Es gibt eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
3. Für jede Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ sind die Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Ist ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)$.
2. Ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
3. Es ist ${}\int _{a}^{b}f(t)+g(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
4. Für ${}c\in \mathbb {R}$ ist ${}\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt$.

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}{\max {\left(f,g\right)}}$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

$\vert {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert \leq \int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert \,dt$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das bestimmte Integral

$\int _{a}^{b}t^{2}\,dt$

in Abhängigkeit von ${}a$ und ${}b$ explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

und einer Treppenfunktion

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x}}},$

das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.

Tipp: Verwende Aufgabe 9.5.

Aufgabe (8 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{1}^{2}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

mit

$f(t)={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\\sin {\frac {1}{t}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}$

Zeige, dass ${}f$ Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion ${}s$ mit der Eigenschaft gibt, dass ${}\vert {s(t)-f(t)}\vert \leq {\frac {1}{2}}$ für alle ${}t\in [0,1]$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}fg$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft gibt, dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion zur äquidistanten Unterteilung in ${}n$ Teilintervalle größer ist als dasjenige zu ${}n+1$ Teilintervallen (d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation).