Kurs:Analysis 3/4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	3	0	5	0	0	4	4	15	5	3	0	45

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Topologie auf einer Menge ${}X$.
2. Die Endlichkeit eines Prämaßes auf einem Präring ${}{\mathcal {P}}$ auf einer Menge ${}M$.
3. Eine integrierbare Funktion auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}M$.
4. Eine topologische Karte auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Ein zeitunabhängiges Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Ein euklidischer Halbraum.

Lösung

1. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
   1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
   2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
   3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
2. Das Prämaß ${}\mu$ heißt endlich, wenn

   ${}\mu (T)<\infty \,$

   für alle ${}T\in {\mathcal {P}}$ ist.

3. Eine messbare numerische Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale ${}\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und ${}\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind.

4. Eine topologische Karte ist jede Homöomorphie

   $\varphi \colon U\longrightarrow V,$

   wobei ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind.

5. Eine Abbildung

   $F\colon M\longrightarrow TM$

   mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

6. Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension ${}n$ versteht man die Menge

   ${}H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0\right\}}\,$

   mit der induzierten Topologie.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

$M={\begin{pmatrix}2&4&7\\0&5&7\\-3&-1&1\end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

${\begin{pmatrix}2&4&7&2&4\\0&5&7&0&5\\-3&-1&1&-3&-1\end{pmatrix}}.$

Daher ist

${}\det M=10-84+105+14=129-84=45\,.$

Das Volumen ist also ${}45$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und ${}A_{t}$, ${}t\in \mathbb {R}$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{A_{t}}$. Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).$

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Fakt ***** sind erfüllt, welche nicht?

Lösung

Für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ ist

${}\varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)=\int _{M}e_{A_{t}}(x)\,d\mu (x)=\int _{A_{t}}1\,d\mu (x)=\mu (A_{t})\,.$

Wenn z.B. ${}M$ ein Maßraum ist mit ${}\mu (M)=1$ und die Familie durch

$A_{t}={\begin{cases}\emptyset {\text{ für }}t\leq 0\,,\\M{\text{ für }}t>0\,,\end{cases}}$

gegeben ist, so besitzt die Funktion ${}\varphi (t)=\mu (A_{t})$ eine Sprungstelle in ${}0$ und ist daher nicht stetig.

Die Bedingung (1) ist erfüllt. Für festes ${}t\in \mathbb {R}$ geht es um die Abbildung

$M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e_{A_{t}}(x).$

Da ${}A_{t}$ nach Voraussetzung messbar ist, ist diese Abbildung messbar.

Die Bedingung (3) ist erfüllt, und zwar mit der konstanten Funktion ${}h=1$. Es ist ${}\int _{M}h\,d\mu =\mu (M)<\infty$ aufgrund der vorausgesetzten Endlichkeit des Maßraumes ${}M$, und es ist ${}e_{A}\leq h$ für jede Indikatorfunktion.

Da die Schlussfolgerung des Satzes nicht gilt, kann die Bedingung (2) nicht generell erfüllt sein.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Lösung

Die Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}$

besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix

${\begin{pmatrix}1&2&0\\0&4&3\\4&-3&-5\end{pmatrix}},$

deren Determinante ist

${}-20+9+4\cdot 6=13\,.$

Daher repräsentiert diese Basis die Standardorientierung.

Die Vektoren

${\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}}$

besitzen bezüglich der Standardbasis die Übergangsmatrix

${\begin{pmatrix}-3&-4&-6\\7&5&0\\2&-1&11\end{pmatrix}},$

deren Determinante ist

${}-3\cdot 55-7(-44-6)+2\cdot 30=-165+350+60=245>0\,.$

Daher repräsentiert diese Basis ebenfalls die Standardorientierung, und damit repräsentieren beide Basen die gleiche Orientierung.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Ellipse

${}E={\left\{(u,v)\mid 2u^{2}+5v^{2}=4\right\}}\,.$

1. Definiere eine surjektive stetig differenzierbare Abbildung ${}\mathbb {R} \rightarrow E$.
2. Beschreibe einen Diffeomorphismus zwischen der Sphäre ${}S^{1}$ und ${}E$.

Lösung

Wir arbeiten mit der Beschreibung

${}E={\left\{(u,v)\mid {\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {5}{4}}v^{2}=1\right\}}\,.$

1. Die Abbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow E,\,\alpha \longmapsto \left({\sqrt {2}}\cos \alpha ,\,{\frac {2}{\sqrt {5}}}\sin \alpha \right)$

   ist als Abbildung in den ${}\mathbb {R} ^{2}$ stetig differenzierbar und das Bild liegt auf ${}E$. Daher ist sie auch als Abbildung nach ${}E$ stetig differenzierbar. Die Surjektivität wird in (2) mitbewiesen.

2. Wir betrachten die Abbildung

   $S^{1}\longrightarrow E,\,(x,y)\longmapsto \left({\sqrt {2}}x,\,{\frac {2}{\sqrt {5}}}y\right).$

   Diese ist als Einschränkung einer bijektiven linearen Abbildung des ${}\mathbb {R} ^{2}$ stetig differenzierbar und injektiv und landet (aufgrund der expliziten Gleichungen) in der Tat in ${}E$. Sie ist auch surjektiv, da man direkt die Umkehrabbildung

   $E\longrightarrow S^{1},\,(u,v)\longmapsto \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}u,\,{\frac {\sqrt {5}}{2}}v\right),$

   angeben kann. Da die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreisen surjektiv ist, folgt, dass auch die in (1) angegebene Abbildung surjektiv ist.

Aufgabe (15 (3+3+4+5) Punkte)

Es sei ${}T=S^{1}\times S^{1}$ der Torus und ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitssphäre.

a) Zeige, dass durch

$\varphi \colon S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},\,{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2-2\sin \alpha }}\cos \beta \\\cos \alpha +\sin \beta \cos \alpha \\1+\sin \alpha -\sin \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{pmatrix}}$

eine stetige Abbildung gegeben ist.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

c) Beschreibe die Fasern von ${}\varphi$.

d) Erläutere die Abbildung ${}\varphi$ unter Verwendung einer Skizze.

Lösung

a) Wir zeigen zunächst, dass die Abbildung in der Tat auf der Sphäre landet, d.h. wir müssen zeigen, dass die Summe der Quadrate der drei Einträge gleich ${}1$ ist. Ohne Berücksichtigung des Vorfaktors ist dies

${}{\begin{aligned}&=2\cos ^{2}\beta -2\sin \alpha \cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta +2\cos ^{2}\alpha \sin \beta +1+\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta +2\sin \alpha -2\sin \beta +2\sin \alpha \sin \beta -2\sin \alpha \sin \beta +2\sin ^{2}\alpha \sin \beta -2\sin \alpha \sin ^{2}\beta \\&=3+\cos ^{2}\beta -2\sin \alpha \cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta +2\cos ^{2}\alpha \sin \beta +\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta +2\sin \alpha -2\sin \beta +2\sin ^{2}\alpha \sin \beta -2\sin \alpha \sin ^{2}\beta \\&=3+\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha {\left(1-\cos ^{2}\beta -\sin ^{2}\beta \right)}+2\sin \beta {\left(-1+\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha \right)}+\cos ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\alpha \sin ^{2}\beta \\&=3+\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta \\&=4.\end{aligned}}$

c) Die Berechnung der Faser über dem Nordpol ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ führt zu den Bedingungen

${}(1-\sin \alpha )\cos \beta =0=\cos \alpha (1+\sin \beta )\,.$

Daher muss jeweils ein Faktor gleich ${}0$ sein. Bei

${}\alpha ={\frac {1}{2}}\pi \,$

sind bei beliebigem ${}\beta$ beide Bedingungen erfüllt, ebenso sind bei

${}\beta ={\frac {3}{2}}\pi \,$

und beliebigem ${}\alpha$ beide Bedingungen erfüllt. Dabei ist wegen

${}\sin {\frac {1}{2}}\pi =1\,$

bzw. wegen

${}\sin {\frac {3}{2}}\pi =-1\,$

die dritte Komponente gleich ${}1$. Bei ${}\alpha \neq {\frac {1}{2}}\pi$ und ${}\beta \neq {\frac {3}{2}}\pi$ muss

${}\cos \alpha =0=\cos \beta \,$

sein. Die verbleibende Möglichkeit ist ${}\alpha ={\frac {3}{2}}\pi$ und ${}\beta ={\frac {1}{2}}\pi$, doch dabei ist die dritte Komponente gleich ${}-1$.

d) Der Winkel ${}\alpha$ definiert den Punkt

${}P(\alpha )={\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}\,$

auf dem durch ${}x=0$ gegebenen Großreis. Der Nordpol und ${}P(\alpha )$ definieren den Halbierungspunkt

${}{\begin{aligned}Z(\alpha )&:={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\left(P(\alpha )-{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right)}\\&={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha -1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\1+\sin \alpha \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Der Bildpunkt ${}P(\alpha ,\beta )$ wird auf dem Kreis ${}C$ mit Mittelpunkt ${}Z(\alpha )$ platziert, der durch den Nordpol und ${}P(\alpha )$ verläuft und der ganz auf der Sphäre liegt. Daher muss ${}C$ auf der Ebene liegen, die durch

${}P(\alpha )-{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha -1\end{pmatrix}}\,$

und ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ gegeben sind. Um mit der trigonometrischen Parametrisierung von ${}C$ arbeiten zu können, braucht man eine Orthonormalbasis, daher arbeiten wir mit

$O(\alpha )={\frac {1}{\sqrt {2-2\sin \alpha }}}{\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha -1\end{pmatrix}}.$

Dies führt insgesamt auf

${}{\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=Z(\alpha )+\cos \beta {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\sin \beta O(\alpha )\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\1+\sin \alpha \end{pmatrix}}+\cos \beta {\frac {\sqrt {2-2\sin \alpha }}{2}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\sin \beta {\frac {\sqrt {2-2\sin \alpha }}{2}}{\frac {1}{\sqrt {2-2\sin \alpha }}}{\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha -1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2-2\sin \alpha }}\cos \beta \\\cos \alpha \sin \beta \\1+\sin \alpha -\sin \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$

für die ${}1$-Differentialform

${}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\gamma ^{*}\omega &=(-t^{2})^{3}d(-t^{2})-(t^{3}-1)(t+2)d(t^{3}-1)-t^{2}(t+2)^{2}d(t+2)\\&=2t^{7}dt-3t^{2}(t^{4}+2t^{3}-t-2)dt-t^{2}(t^{2}+4t+4)dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}+3t^{3}+6t^{2}-t^{4}-4t^{3}-4t^{2})dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{-1}^{0}(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt\\&=({\frac {1}{4}}t^{8}-{\frac {3}{7}}t^{7}-t^{6}-{\frac {1}{5}}t^{5}-{\frac {1}{4}}t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3})|_{-1}^{0}\\&=-({\frac {1}{4}}+{\frac {3}{7}}-1+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}})\\&=-{\frac {3}{7}}+1-{\frac {1}{5}}+{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-45+105-21+70}{105}}\\&={\frac {109}{105}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand aus (einer disjunkten Vereinigung von) unendlich vielen Kreisen ${}S^{1}$ besteht.

Lösung

Wir berachten

${}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \biguplus _{n\in \mathbb {Z} }U{\left((n,0),{\frac {1}{3}}\right)}\,.$

Es werden also aus der reellen Ebene längs der ${}x$-Achse unendlich viele disjunkte offene Bälle herausgenommen. Dadurch entsteht zu jedem Ball ein Teilrand von ${}M$, der diffeomorph zur Kreissphäre ${}S^{1}$ ist. ${}M$ ist offenbar wegzusammenhängend.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung