Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 22

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Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu auf .


Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu auf der projektiven Geraden .


Aufgabe

Bestimme den Hauptdivisor zu auf der projektiven Geraden mit für die Körper und .


Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade über einem Körper sowie die affine Gerade

mit dem globalen Schnittring

Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Der Hauptdivisor zu einem Polynom besitzt in keine negative Ordnung (keine Polstelle).
  2. Die Ordnung von einem Polynom in ist das negative des Grades von .
  3. Es sei und algebraisch abgeschlossen. Dann ist genau dann ein Hauptdivisor, wenn ist.


Aufgabe

Sei der projektive Raum über einem Körper . Zeige, dass die effektiven Weildivisoren auf den normierten homogenen Polynomen entsprechen.


Aufgabe

Zeige, dass auf dem projektiven Raum über einem Körper je zwei Hyperebenen und zueinander linear äquivalent sind.


Aufgabe

Es sei eine irreduzible Hyperfläche vom Grad im projektiven Raum über einem Körper, die wir als Element in der Divisorenklassengruppe auffassen. Zeige, dass linear äquivalent zu ist, wobei die Klasse einer Hyperebene bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein normales noethersches integres Schema und sei eine abgeschlossene Teilmengen mit einer Kodimension . Zeige, dass die Divisorenklassengruppen von und von übereinstimmen.


Aufgabe

Es sei ein normales noethersches integres Schema und sei eine offene Teilmengen. Zeige, dass man durch Weglassen derjenigen Primdivisoren, die nicht treffen, einen surjektiven Gruppenhomomorphismus erhält. Zeige, dass dabei Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren gehen und dass es daher einen surjektiven Gruppenhomomorphismus gibt.


Aufgabe

Es sei ein normales noethersches integres Schema und sei ein Punkt. Zeige, dass man durch Weglassen derjenigen Primdivisoren, die nicht durch verlaufen, einen surjektiven Gruppenhomomorphismus erhält. Zeige, dass dabei Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren gehen und dass es daher einen surjektiven Gruppenhomomorphismus gibt.


Aufgabe

Es sei

ein Weildivisor des projektiven Raumes , wobei die beteiligten Primdivisoren durch homogene Primelemente beschrieben werden. Wir betrachten das Polynom vom Grad . Zeige, dass die zugehörige invertierbare Untergarbe in der Funktionenkörpergarbe im Sinne von Satz 22.9 mit der Realisierung der getwisteten Strukturgarbe durch Multiplikation mit aus Beispiel 20.9 übereinstimmt.


In den folgenden Aufgaben arbeiten wir mit

zu einem Divisor . Es ist also für eine offene Teilmenge

Aufgabe

Es sei ein lokal faktorielles projektives integres Schema über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ein Weildivisor auf mit zugehöriger Garbe . Zeige, dass es eine natürliche Korrespondenz zwischen den zu linear äquivalenten effektiven Weildivisoren und den nichttrivialen globalen Schnitten von gibt, wobei man Schnitte miteinander identifiziert, wenn sie durch Skalierung auseinander hervorgehen.


Aufgabe

Es sei ein lokal faktorielles noethersches integres Schema und sei eine invertierbare Untergarbe der konstanten Funktionenkörpergarbe. Es sei

ein nichttrivialer Schnitt. Zeige, dass die Nullstellenmenge zu , also , in natürlicher Weise ein effektiver Weildivisor auf ist, derart, dass ist.


Aufgabe

Es sei

die Primfaktorzerlegung eines homogenen Polynoms (über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ) vom Grad im homogene Primpolynome und sei

der zugehörige Weildivisor auf dem projektiven Raum . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Man kann jeden effektiven Weildivisor auf dem projektiven Raum in dieser Form (eindeutig bis auf Skalierung) darstellen.
  2. Es gilt mengentheoretisch
  3. Es sei eine glatte projektive Kurve, die keine Teilmenge von sei. Dann induziert einen Weildivisor auf der Kurve , indem man zu jedem Punkt die Ordnung von in betrachtet.
  4. Die eingeschränkte invertierbare Garbe ist isomorph zur invertierbaren Garbe auf ist, die zu gehört. Es gilt also
  5. Linear äquivalente Divisoren auf dem projektiven Raum induzieren linear äquivalente Divisoren auf der Kurve.


Aufgabe

Es sei ein effektiver Weildivisor im projektiven Raum mit zumindest einer positiven Komponente. Zeige, dass mit jeder projektiven Kurve einen nichtleeren Durchschnitt besitzt.

Verwende, dass affin ist und dass eine projektive Kurve nicht affin ist.

Insbesondere haben also auf der projektiven Ebene zwei Kurven einen nichtleeren Durchschnitt. Für glatte Kurven kann man auch mit Aufgabe 22.14 argumentieren. Diese Eigenschaft gilt keineswegs für alle projektiven Flächen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Aufgabe

Zeige, dass es auf der projektiven Fläche

zueinander disjunkte Geraden (als Objekte im projektiven Raum) gibt.


Aufgabe *

Zeige, dass es auf der projektiven Fläche

vom Grad über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik zueinander disjunkte Geraden (als Objekte im projektiven Raum) gibt.


Aufgabe

Es seien und zwei konzentrische Kreise in mit Mittelpunkt . Bestimme die Schnittpunkte der Kreise (aufgefasst als projektive Kurven) in der projektiven Ebene .



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