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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 15

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform . Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Zeige, dass das zu einer stetigen positiven Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in Definition 15.3 eingeführte Volumenmaß ein - endliches Maß ist.


Aufgabe

Es sei

die Standard-Volumenform auf dem . Zeige, dass für jede messbare Teilmenge die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer positiven Volumenform . Es sei messbar und eine Nullmenge. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien und positive Volumenformen auf . Zeige, dass für jede messbare Teilmenge und die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige, wie man unter Bezug auf Karten „Nullmengen“ von erklären kann, ohne dass ein Maß gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine positive Volumenform gegeben ist, diese Nullmengen auch Nullmengen im Sinne der Maßtheorie sind.


Aufgabe

Beschreibe den Einheitskreis als Faser einer Abbildung

derart, dass die gemäß Korollar 15.6 gegebene Volumenform positiv ist. Berechne .


Aufgabe

Beschreibe die Einheitssphäre als Faser einer Abbildung

derart, dass die gemäß Korollar 15.6 gegebene Volumenform positiv ist. Berechne .


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform und es sei

eine stetig differenzierbare Kurve ( ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit


Aufgabe

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ,

b) ,

c) ,

d) .


Aufgabe *

Berechne das Wegintegral zu

für die -Differentialform

auf dem .


Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .


Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

(mit ) und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Es sei eine positive Volumenform auf und es sei das durch diese Volumenform definierte Maß auf . Zeige, dass dann jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension eine Nullmenge ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .




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