Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform $\omega$. Zeige, dass

${\int }_M\omega <\mathrm{\infty }$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass das zu einer stetigen positiven Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in Definition 15.3 eingeführte Volumenmaß ein $\sigma$-endliches Maß ist.

Aufgabe

Es sei

$\omega =d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n=e_1^{\ast }\wedge \dots \wedge e_n^{\ast }$

die Standard-Volumenform auf dem ${ℝ}^n$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge $T\subseteq {ℝ}^n$ die Gleichheit

${\int }_T\omega ={\int }_{T}d{\lambda }^n={\lambda }^n(T)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer positiven Volumenform $\omega$. Es sei $T\subseteq M$ messbar und $N\subseteq M$ eine Nullmenge. Zeige, dass

${\int }_T\omega ={\int }_{T\setminus N}\omega$

gilt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien ${\omega }_1$ und ${\omega }_2$ positive Volumenformen auf $M$. Zeige, dass für jede messbare Teilmenge $T\subseteq M$ und $a,b\in {ℝ}_{+}$ die Beziehung

${\int }_T(a{\omega }_1+b{\omega }_2)=a{\int }_T{\omega }_1+b{\int }_T{\omega }_2$

gilt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige, wie man unter Bezug auf Karten „Nullmengen“ von $M$ erklären kann, ohne dass ein Maß gegeben ist. Zeige ferner, dass, wenn eine positive Volumenform gegeben ist, diese Nullmengen auch Nullmengen im Sinne der Maßtheorie sind.

Aufgabe

Beschreibe den Einheitskreis $S^1\subset {ℝ}^2$ als Faser einer Abbildung

${ℝ}^2⟶ℝ$

derart, dass die gemäß Korollar 15.6 gegebene Volumenform $\omega$ positiv ist. Berechne ${\int }_{S^1}\omega$.

Aufgabe

Beschreibe die Einheitssphäre $S^2\subset {ℝ}^3$ als Faser einer Abbildung

${ℝ}^3⟶ℝ$

derart, dass die gemäß Korollar 15.6 gegebene Volumenform $\omega$ positiv ist. Berechne ${\int }_{S^2}\omega$.

Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\phi :L⟶M$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei  $\omega \in {ℰ}^1(M)$  eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform  ${\phi }^{\ast }\omega \in {ℰ}^1(L)$  und es sei

$\gamma :I⟶L$

eine stetig differenzierbare Kurve ($I$ ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit

${\int }_{\gamma }{\phi }^{\ast }\omega ={\int }_{\phi \circ \gamma }\omega$

gilt.

Aufgabe

Sei

$\gamma :[0,2\pi ]⟶{ℝ}^2,t⟼(\cos t,\sin t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) $xdx+ydy$,

b) $xdx-ydy$,

c) $ydx+xdy$,

d) $ydx-xdy$.

Aufgabe *

Berechne das Wegintegral ${\int }_{\gamma }\omega$ zu

$\gamma :[-1,0]⟶{ℝ}^3,t⟼(-t^2,t^3-1,t+2),$

für die $1$-Differentialform

$\omega =x^{3}dx-yzdy+x{z}^{2}dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma :[1,2]⟶{ℝ}^2,t⟼(t,t^{-1}),$

und

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^3,(u,v)⟼(u^2,uv,-u+v^2),$

und die Differentialform

$\omega =xdx-zdy+dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ auf dem ${ℝ}^2$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ zum Weg $\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform $\omega$ zum Weg $\phi \circ \gamma$.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma :[1,c]⟶{ℝ}^2,t⟼(t,t^3),$

(mit $c\ge 1$) und

$\phi :{ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}⟶{ℝ}^3,(u,v)⟼(u^3,u^2+v^2,u^{-1}{v}^{-1}),$

und die Differentialform

$\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ auf dem ${ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ zum Weg $\gamma$ in Abhängigkeit von $c$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Es sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$ und es sei $\mu$ das durch diese Volumenform definierte Maß auf $M$. Zeige, dass dann jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension $\le n-1$ eine Nullmenge ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien  $a,b,c,d,r,s\ge 1$  natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

$[0,1]⟶{ℝ}^2,t⟼(t^r,t^s).$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform  $\omega =x^a{y}^{b}dx+x^c{y}^{d}dy$. 

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma :[0,2\pi ]⟶{ℝ}^3,t⟼(\cos t,\sin t,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform  $\omega =(y-z^3)dx+x^{2}dy-xzdz$.