Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Zeige, dass man auf ${}\bigwedge ^{k}T^{*}M$ für jedes ${}k$ eine Topologie erklären kann, bei der für jede Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ die Abbildung

$\bigwedge ^{k}T^{*}U\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}V\cong V\times \bigwedge ^{k}\mathbb {R} ^{n*}$

eine Homöomorphie ist.

Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}C^{2}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Zeige, dass ${}\bigwedge ^{k}T^{*}M$ für jedes ${}k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Damit kann man auch von stetig differenzierbaren Differentialformen sprechen. Allgemeiner gilt: Wenn ${}M$ eine ${}C^{m}$- Mannigfaltigkeit und ${}\ell <m$ ist, so bezeichnet man mit ${}{\mathcal {E}}_{\ell }^{k}(U)$ die Menge der ${}\ell$-fach stetig differenzierbaren ${}k$-Differentialformen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ die Menge der ${}k$- Formen auf ${}M$. Zeige, dass ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ ein ${}R$- Modul zu ${}R=C^{0}(M,\mathbb {R} )$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}P\in M$ ein Punkt und ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$ eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}v\in T_{P}M$ ein Tangentialvektor, der durch einen differenzierbaren Weg

$\gamma \colon {]{-\delta },\delta [}\longrightarrow M$

mit ${}\gamma (0)=P$ repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit

${}(df)(P,v)=(f\circ \gamma )'(0)\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Funktion habe im Punkt ${}P\in M$ ein lokales Extremum. Zeige

${}(df)_{P}=0\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass es zumindest zwei Punkte auf ${}M$ (vorausgesetzt, dass ${}M$ zumindest zwei Punkte besitzt) gibt, wo die ${}1$- Differentialform ${}df$ verschwindet.

Aufgabe

Es sei ${}i:M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeige, dass für eine differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

die Beziehung

${}i^{*}(df)=d(f\circ i)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

eine stetig differenzierbare Funktion und es sei ${}\omega =g(s)ds$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}\mathbb {R}$. Bestimme ${}f^{*}\omega$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$

im Punkt ${}P=(1,3,5)$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},v^{3}-u),$

und die ${}2$- Differentialform

${}\omega ={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}dx\wedge dy\,.$

Bestimme die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$.

Aufgabe *

Wir betrachten die ${}1$- Differentialform

${}\omega =-vdu+udv\,$

auf der ${}1$- Sphäre ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$, wobei die Koordinaten des umgebenden ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}u$ und ${}v$ bezeichnet seien. Bestimme ${}\pi ^{*}\omega$ unter der stetig differenzierbaren Abbildung

$\pi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y).$

Aufgabe *

Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\tau$ zu

${}\tau =dx\wedge dy\wedge dz-wdx\wedge dy\wedge dw+\cos(xy)dx\wedge dz\wedge dw-ywdy\wedge dz\wedge dw\,$

unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(r,s,t)\longmapsto (r^{2}s,t,\sin r,e^{st})=(x,y,z,w).$

Aufgabe *

Es sei

$\psi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion auf ${}M$ und ${}\omega$ eine ${}k$- Form auf ${}M$. Zeige

${}\psi ^{*}(f\omega )=\psi ^{*}(f)\psi ^{*}\omega \,.$

Aufgabe *

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Es sei ${}\omega$ eine ${}k$- Differentialform, also eine Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M$

mit ${}\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$ für alle ${}P\in M$, wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie (siehe Aufgabe 14.1) versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\omega$ ist stetig.
2. Für jede Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und mit der lokalen Darstellung ${}\alpha _{*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}$ sind die Funktionen ${}f_{J}$ stetig.
3. Es gibt eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit Kartengebieten ${}U_{i}$ derart, dass in den lokalen Darstellungen ${}\alpha _{i*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{iJ}dx_{J}$ die Funktionen ${}f_{iJ}$ stetig sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$. Es seien ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}^{\ell }(M)$ Differentialformen auf ${}M$. Zeige die Gleichung

${}\varphi ^{*}(\omega \wedge \tau )=\varphi ^{*}\omega \wedge \varphi ^{*}\tau \,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\longrightarrow N={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z\neq 0\right\}},\,(u,v,w)\longmapsto (uvw,u^{2}-vw^{5},u^{2}+v^{2}+w^{2}),$

und die ${}2$- Differentialform

$\omega =z^{2}dx\wedge dy+{\frac {xy}{z}}dx\wedge dz+(xe^{y}-z)dy\wedge dz$

auf ${}N$. Bestimme die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Einheitssphäre ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, wobei die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit ${}x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte ${}P\in S^{2}$ bilden die Einschränkungen von ${}dx$ und ${}dy$ auf ${}S^{2}$ eine Basis des Kotangentialraums ${}T_{P}^{*}S^{2}$.