Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel $T^{\ast }M$. Zeige, dass man auf $\stackrel{k}{\bigwedge }{T}^{\ast }M$ für jedes $k$ eine Topologie erklären kann, bei der für jede Karte $\alpha :U\to V$ die Abbildung

$\stackrel{k}{\bigwedge }{T}^{\ast }U⟶\stackrel{k}{\bigwedge }{T}^{\ast }V\cong V\times \stackrel{k}{\bigwedge }{ℝ}^{n\ast }$

eine Homöomorphie ist.

Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $C^2$-differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel $T^{\ast }M$. Zeige, dass $\stackrel{k}{\bigwedge }{T}^{\ast }M$ für jedes $k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Damit kann man auch von stetig differenzierbaren Differentialformen sprechen. Allgemeiner gilt: Wenn $M$ eine $C^m$-Mannigfaltigkeit und  $\ell <m$  ist, so bezeichnet man mit ${ℰ}_{\ell }^k(U)$ die Menge der $\ell$-fach stetig differenzierbaren $k$-Differentialformen.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${ℰ}^k(M)$ die Menge der $k$-Formen auf $M$. Zeige, dass ${ℰ}^k(M)$ ein $R$-Modul zu  $R=C^0(M,ℝ)$  ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,  $P\in M$  ein Punkt und  $f\in C^1(M,ℝ)$  eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei  $v\in T_{P}M$  ein Tangentialvektor, der durch einen differenzierbaren Weg

$\gamma :]-\delta ,\delta [⟶M$

mit  $\gamma (0)=P$  repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit

$(df)(P,v)=(f\circ \gamma {)}^{\prime }(0).$

Aufgabe *

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f:M⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Funktion habe im Punkt  $P\in M$  ein lokales Extremum. Zeige

$(df{)}_P=0.$

Aufgabe *

Es sei $M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f:M⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass es zumindest zwei Punkte auf $M$ (vorausgesetzt, dass $M$ zumindest zwei Punkte besitzt) gibt, wo die $1$-Differentialform $df$ verschwindet.

Aufgabe

Es sei $i:M\subseteq {ℝ}^n$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeige, dass für eine differenzierbare Funktion

$f:{ℝ}^n⟶ℝ$

die Beziehung

$i^{\ast }(df)=d(f\circ i)$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t),$

eine stetig differenzierbare Funktion und es sei  $\omega =g(s)ds$  eine $1$-Differentialform auf $ℝ$. Bestimme $f^{\ast }\omega$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^2,(x,y,z)⟼(xy{z}^2,xy-z^3).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\stackrel{2}{\bigwedge }{T}_P(\phi ):\stackrel{2}{\bigwedge }{T}_P{ℝ}^3⟶\stackrel{2}{\bigwedge }{T}_{\phi (P)}{ℝ}^2$

im Punkt  $P=(1,3,5)$  bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}⟶{ℝ}^2\setminus \{(0,0)\},(u,v)⟼(u^2,v^3-u),$

und die $2$-Differentialform

$\omega =\frac{1}{x^2+y^2}dx\wedge dy.$

Bestimme die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$.

Aufgabe *

Wir betrachten die $1$-Differentialform

$\omega =-vdu+udv$

auf der $1$-Sphäre  $S^1\subset {ℝ}^2$,  wobei die Koordinaten des umgebenden ${ℝ}^2$ mit $u$ und $v$ bezeichnet seien. Bestimme ${\pi }^{\ast }\omega$ unter der stetig differenzierbaren Abbildung

$\pi :{ℝ}^2\setminus \{0\}⟶S^1,(x,y)⟼\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y).$

Aufgabe *

Berechne die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\tau$ zu

$\tau =dx\wedge dy\wedge dz-wdx\wedge dy\wedge dw+\cos (xy)dx\wedge dz\wedge dw-ywdy\wedge dz\wedge dw$

unter der Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^4,(r,s,t)⟼(r^{2}s,t,\sin r,e^{st})=(x,y,z,w).$

Aufgabe *

Es sei

$\psi :L⟶M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

$f:M⟶ℝ$

eine Funktion auf $M$ und $\omega$ eine $k$-Form auf $M$. Zeige

${\psi }^{\ast }(f\omega )={\psi }^{\ast }(f){\psi }^{\ast }\omega .$

Aufgabe *

Es seien  $W\subseteq {ℝ}^m$  und  $U\subseteq {ℝ}^n$  offene Teilmengen und sei

$\psi :W⟶U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f:U⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

$d({\psi }^{\ast }f)={\psi }^{\ast }(df)$

gilt, wobei ${\psi }^{\ast }$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel $T^{\ast }M$. Es sei $\omega$ eine $k$-Differentialform, also eine Abbildung

$\omega :M⟶\stackrel{k}{\bigwedge }{T}^{\ast }M$

mit $\omega (P)\in \stackrel{k}{\bigwedge }{T}_P^{\ast }M$ für alle $P\in M$, wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie (siehe Aufgabe 14.1) versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\omega$ ist stetig.
2. Für jede Karte $\alpha :U\to V$ mit $V\subseteq {ℝ}^n$ und mit der lokalen Darstellung ${\alpha }_{\ast }\omega =\sum _{J,\mathrm{\#}\left(J\right)=k}{f}_{J}d{x}_J$ sind die Funktionen $f_J$ stetig.
3. Es gibt eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}{U}_i$ mit Kartengebieten $U_i$ derart, dass in den lokalen Darstellungen ${\alpha }_{i\ast }\omega =\sum _{J,\mathrm{\#}\left(J\right)=k}{f}_{iJ}d{x}_J$ die Funktionen $f_{iJ}$ stetig sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\phi :L⟶M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$. Es seien $\omega \in {ℰ}^k(M)$ und $\tau \in {ℰ}^{\ell }(M)$ Differentialformen auf $M$. Zeige die Gleichung

${\phi }^{\ast }(\omega \wedge \tau )={\phi }^{\ast }\omega \wedge {\phi }^{\ast }\tau .$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

$\phi :{ℝ}^3\setminus \{(0,0,0)\}⟶N=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid z\ne 0\},(u,v,w)⟼(uvw,u^2-v{w}^5,u^2+v^2+w^2),$

und die $2$-Differentialform

$\omega =z^{2}dx\wedge dy+\frac{xy}{z}dx\wedge dz+(x{e}^y-z)dy\wedge dz$

auf $N$. Bestimme die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Einheitssphäre  $S^2\subseteq {ℝ}^3$,  wobei die Koordinaten des ${ℝ}^3$ mit $x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte  $P\in S^2$  bilden die Einschränkungen von $dx$ und $dy$ auf $S^2$ eine Basis des Kotangentialraums $T_P^{\ast }{S}^2$.