Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Wir betrachten die Standardparabel ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der induzierten riemannschen Struktur und mit der Parametrisierung

\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(t,\,t^{2}\right),

die wir als eine (inverse) Karte betrachten. Bestimme die riemannsche Fundamentalfunktion ${}g(t)=g_{11}(t)$ .

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel ${}TM$ trivial ist. Zeige, dass man über eine differenzierbare Trivialisierung ${}TM\cong M\times \mathbb {R} ^{n}$ (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ) ${}M$ zu einer riemannschen Mannigfaltigkeit machen kann.

Aufgabe

Wir betrachten den Kreis ${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der induzierten riemannschen Struktur. Die Trivialisierung des Tangentialbündels

S^{1}\times \mathbb {R} \longrightarrow TS^{1},\,(a,b,u)\longmapsto (a,b,-ub,ua),

führt über das Standardskalarprodukt von ${}\mathbb {R}$ ebenfalls zu einer riemannschen Struktur auf ${}S^{1}$ . Zeige, dass beide riemannschen Strukturen übereinstimmen.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ riemannsche Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass ${}L\times M$ in natürlicher Weise ebenfalls eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was ist die kanonische Volumenform auf ${}V$ ?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Abbildung

{\mathcal {V}}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{1}(M),\,F\longmapsto \omega _{F},

mit

{}{\left(\omega _{F}(P)\right)}(v):=\left\langle F(P),v\right\rangle _{P}\,,

linear ist.

Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was besagt die in Lemma 16.3 beschriebene Korrespondenz zwischen Vektorfeldern und ${}1$ - Differentialformen in dieser Situation?

Aufgabe

Begründe Bemerkung 16.4.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die kanonische Volumenform ${}\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert ${}1$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}n$ -dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und ${}\lambda$ ein translationsinvariantes Maß auf ${}V$ . Zeige, dass die Zuordnung

V\times \cdots \times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \pm \lambda (P(v_{1},\ldots ,v_{n})),

wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.

Aufgabe

Zeige, dass bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit die Kartenabbildungen

\alpha \colon U\longrightarrow V

im Allgemeinen keine Isometrie

T_{P}(\alpha )\colon T_{P}U\longrightarrow T_{\alpha (P)}V

induzieren (wenn ${}T_{P}U$ mit ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ und ${}T_{\alpha (P)}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen ist).

Aufgabe *

Wir betrachten den Graph ${}M$ der Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto u^{2}+uv-v^{3},

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des

{}\mathbb {R} ^{3}

, also

{}M={\left\{(u,v,u^{2}+uv-v^{3})\mid (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}}\,

mit der vom ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei

\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto (u,v,u^{2}+uv-v^{3}),

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu ${}\psi$ sowie die Bildvektoren ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ .

b) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(u,0)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(0,v)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}

(mit $m=n-1\geq 0$ ) eine stetig differenzierbare Funktion, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R}$ regulär sei. Wir fassen ${}M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform ${}\tau$ aus Korollar 15.6 und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ die Beziehung

{}\tau (P,v_{1},\ldots ,v_{m})=\pm \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi (P)}\Vert \omega (P,v_{1},\ldots ,v_{m})\,

besteht.

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }

(mit $m=n-\ell \geq 0$ ) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei. Wir fassen ${}M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten

\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P)

für jeden Punkt von ${}P\in M$ senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform ${}\tau$ aus Korollar 15.6 und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ die Beziehung

{}\tau (P,v_{1},\ldots ,v_{m})=\pm \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P)}\Vert \cdots \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P)}\Vert \omega (P,v_{1},\ldots ,v_{m})\,

besteht.

Aufgabe

Zeige, dass die kanonische Flächenform auf der Einheitssphäre ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ gleich

xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy

ist, wobei ${}x,y,z$ die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien.

Ein Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}X$ heißt riemannsches Vektorbündel, wenn auf jeder Faser ${}E_{x}$ ein Skalarprodukt erklärt ist mit der Eigenschaft, dass es trivialisierende Karten

\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}

mit

\theta \colon E{|}_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow V\times \mathbb {R} ^{r}

derart gibt, dass

{}h_{ij}(Q):=\left\langle \theta ^{-1}(Q,e_{i}),\theta ^{-1}(Q,e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,

stetig differenzierbar sind.

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist also das Tangentialbündel ein riemannsches Vektorbündel.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein riemannsches Vektorbündel über einer differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ und sei ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Vektorbündel ${}\varphi ^{*}E\rightarrow L$ . Zeige, dass ${}\varphi ^{*}E$ in natürlicher Weise ebenfalls ein riemannsches Vektorbündel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$ definiert man zu einem Tangentialvektor ${}v\in T_{P}M$ die Norm durch ${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle _{P}}}$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Zuordnung

TM\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,

stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ mit der durch die Hesse-Form zur Funktion

f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4},

gegebenen Bilinearform eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jeden Punkt ${}P=(x,y,z)$ der Einheitssphäre ${}K$ eine Orthonormalbasis in ${}T_{P}K\subset \mathbb {R} ^{3}$ an (bezüglich der induzierten riemannschen Struktur).