Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und es sei

\delta \colon -I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto \delta (s)=\gamma (-s),

die umgekehrt durchlaufene Kurve. Zeige, dass die Krümmung von ${}\delta$ in ${}s$ das Negative der Krümmung von ${}\gamma$ in ${}-s$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und

L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

eine Drehung. Zeige, dass die Krümmung von ${}\gamma$ mit der Krümmung von ${}L\circ \gamma$ übereinstimmt.

Aufgabe

Beweise Lemma 3.6 im nichtstandardorientierten Fall.

Aufgabe

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und

L\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

eine Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}s\neq 0$ . In welcher Beziehung steht die Krümmung von ${}\gamma$ mit der Krümmung von ${}L\circ \gamma$ ?

Aufgabe

Es sei

\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},

mit einem ${}\omega >0$ . Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit ${}\gamma$ für ${}t=0$ bis zur ersten Ableitung übereinstimmen.

Die folgende Aufgabe ist wichtig für den Bau von Karussellen. Der Spaß beim Karussellfahren kommt von der Beschleunigung, nicht von der Geschwindigkeit.

Aufgabe

Es sei

\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},

mit einem ${}\omega >0$ . Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit ${}\gamma$ für ${}t=0$ übereinstimmen und auch dort die gleiche Beschleunigung haben.

Aufgabe *

Es sei

\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},

mit einem ${}\omega >0$ . Man zeige, dass es keine andere Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit ${}\gamma$ für ${}t=0$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$ , wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Zeige, dass

\gamma \colon I\longrightarrow Y

genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn ${}\gamma$ bogenparametrisiert ist.

Aufgabe

Wir betrachten die differenzierbare Kurve (die sogenannte Klothoide)

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),

mit

{}\gamma (t)={\sqrt {\pi }}\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\pi s^{2}}{2}}\\\sin {\frac {\pi s^{2}}{2}}\end{pmatrix}}ds\,.

Zeige, dass die Krümmung dieser Kurve die Gleichung

{}\kappa (t)=t\,

erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Bestimme die Krümmung und den Krümmungskreis des zugehörigen Graphen.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ zweifach stetig differenzierbar und

{}\alpha (t):={\begin{pmatrix}\cos f(t)\\\sin f(t)\end{pmatrix}}\,.

Bestimme die Krümmung von ${}\alpha$ und den Krümmungskreis für ${}t\in \mathbb {R}$ mit den Formeln aus Lemma 3.10.

Aufgabe

Bestimme die Krümmung des Graphen von

\sin \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

für ${}t={\frac {\pi }{2}}$ .

Aufgabe

Bestimme die Krümmung der logarithmischen Spirale

\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t)=e^{t}\left(\cos t,\,\sin t\right),

für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ .

Eine Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt ${}a\in I$ durch eine Potenzreihe beschrieben werden kann.

Eine Kurve heißt analytisch, wenn jede Komponentenfunktion analytisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}\kappa \colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine analytische Funktion. Zeige, dass es eine analytische Kurve ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ gibt, deren Krümmung im Punkt ${}\gamma (t)$ gleich ${}\kappa (t)$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Evolute der Kurve

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.

Aufgabe *

Bestimme die Krümmung in jedem Punkt des durch

{}h(x,y)=x^{2}+y^{2}=1\,

implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 und dem Gradientenfeld zu ${}h$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Krümmung des Graphen der Exponentialfunktion

\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Krümmung der archimedischen Spirale

\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t)=t\left(\cos t,\,\sin t\right),

für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve

\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

derart, dass für zwei Zeitpunkte ${}t_{0}\neq t_{1}$ die Gleichheit ${}\gamma (t_{0})=\gamma (t_{1})$ gilt und derart, dass die Krümmungskreise zu ${}t_{0}$ und ${}t_{1}$ nicht übereinstimmen.