Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 6

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}Y$ der Graph zur Funktion  ${}f(x,y)=x^{2}-y^{2}$. 

1. Zeige, dass durch

   ${}F(x,y,z)={\begin{pmatrix}y\\x\\0\end{pmatrix}}\,$

   ein tangentiales Vektorfeld auf ${}Y$ gegeben ist.

2. Es sei  ${}P={\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\in Y$.  Berechne ${}\nabla _{v}F$ für  ${}v={\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}=T_{P}Y$. 
3. Überprüfe, dass ${}\nabla _{v}F$ tangential an ${}Y$ in ${}P$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre ${}Y$ das tangentiale Vektorfeld

${}F{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}F$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.
2. Bestimme für den Punkt  ${}P={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Y$  eine Matrix für die Abbildung

   $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

3. Bestimme für den Punkt  ${}Q={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\in Y$  eine Matrix für die Abbildung

   $T_{Q}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe

Es sei  ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$,  ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu einem längs ${}\gamma$ parallelen Vektorfeld ${}F$ und  ${}a\in \mathbb {R}$  ist auch ${}aF$ ein paralleles Vektorfeld.
2. Zu längs ${}\gamma$ parallelen Vektorfelder ${}F,G$ ist auch ${}F+G$ ein paralleles Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine Hyperebene. Zeige, dass jedes tangentiale Vektorfeld ${}F$ (das einem Vektorfeld auf  ${}Y\cong \mathbb {R} ^{n-1}$  entspricht) parallel (längs jeder Kurve) ist.

Aufgabe

Es sei

${}Y={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$

die zweidimensionale Einheitssphäre und ${}\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow Y$, ${}t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\0\\\sin t\end{pmatrix}}$. Bestimme, welche der folgenden Vektorfelder

$F\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

längs ${}\gamma$ tangential an ${}Y$ und welche parallel sind.

1.  ${}F(t)={\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$. 
2.  ${}F(t)={\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}}$. 
3.  ${}F(t)={\begin{pmatrix}\cos t\\0\\\sin t\end{pmatrix}}$. 
4.  ${}F(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\0\\\cos t\end{pmatrix}}$. 
5.  ${}F(t)={\begin{pmatrix}t\\e^{t}\\\sin t\end{pmatrix}}$. 

Aufgabe *

Es sei  ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$,  ${}W$ offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld ${}N$. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs ${}\gamma$, das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld

$I\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto N(\gamma (t))\times F(t),$

parallel ist, wobei ${}\times$ das Kreuzprodukt im ${}\mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei

${}h(x,y,z)=x^{3}-2y^{4}-3z^{5}\,$

und  ${}Y=h^{-1}(1)$.  Es sei

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt[{3}]{1+3t^{5}}}\\0\\t\end{pmatrix}},$

ein differenzierbarer Weg auf ${}Y$. Bestimme die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form von Bemerkung 6.10 für die parallelen Vektorfelder längs ${}\gamma$.

Aufgabe

Es sei  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine Hyperebene. Zeige, dass der Paralleltransport zu jeder Kurve auf ${}Y$ die Identität ist, wenn man die Tangentialräume ${}T_{P}Y$ mit ${}Y$ identifiziert.

Aufgabe *

Es sei  ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$,  ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I=[a,b]\rightarrow Y$ eine geodätische Kurve. Zeige, dass der Paralleltransport längs ${}\gamma$ den tangentialen Vektor  ${}\gamma '(a)\in T_{\gamma (a)}Y$  in den tangentialen Vektor  ${}\gamma '(b)\in T_{\gamma (b)}Y$  überführt.

Aufgabe

Es sei ${}Y$ die zweidimensionale Einheitssphäre und ${}\gamma \colon [0,2\pi ]\rightarrow Y$ die Bogenparametrisierung eines Großkreises mit  ${}\gamma (0)=\gamma (2\pi )=P\in Y$.  Zeige, dass der zugehörige Paralleltransport die Identität auf ${}T_{P}Y$ ist.

Aufgabe

Es sei

${}Y={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\,$

die zweidimensionale Einheitssphäre,  ${}P={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{pmatrix}}$  und ${}\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow Y$, ${}t\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\cos t\\{\frac {1}{2}}\sin t\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{pmatrix}}$. Beschreibe den Paralleltransport ${}\Psi _{\gamma }\colon T_{P}Y\rightarrow T_{P}Y$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe

Es sei  ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$,  ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und seien  ${}P,Q\in Y$  Punkte mit den Tangentialräumen ${}T_{P}Y$ und ${}T_{Q}Y$. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi _{P,Q}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \pi _{Q}(v),$

die einen Tangentialvektor in ${}P$ als einen Vektor im umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ auffasst und anschließend auf ${}T_{Q}Y$ orthogonal projiziert.

1. Ist ${}\varphi _{P,Q}$ linear?
2. Ist ${}\varphi _{P,Q}$ bijektiv?
3. Ist ${}\varphi _{P,Q}$ eine Isometrie?
4. Gibt es eine Beziehung zwischen ${}\varphi _{P,Q}$ und dem Paralleltransport ${}\Psi _{\gamma }$ zu einer differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ mit  ${}\gamma (a)=P$  und  ${}\gamma (b)=Q$. 

Es sei  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und  ${}Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  ${}c\in \mathbb {R}$,  wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Zu einem Punkt  ${}P\in Y$  nennt man die Untergruppe  ${}H\subseteq \operatorname {Iso} {\left(T_{P}Y\right)}$,  die aus allen durch stückweise differenzierbaren geschlossenen Wegen ${}\gamma$ auf ${}Y$ von ${}P$ nach ${}P$ induzierten Paralleltransporten

$\Psi _{\gamma }\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$

besteht, die Holonomiegruppe zu ${}P$.

Aufgabe

Es sei  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und  ${}Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  ${}c\in \mathbb {R}$,  wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Zeige, dass die Holonomiegruppe zu einem Punkt  ${}P\in Y$  in der Tat eine Untergruppe der Isometriegruppe ist.

Aufgabe

Es sei  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  eine Hyperebene. Bestimme die Holonomiegruppe zu  ${}P\in Y$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre ${}Y$ das tangentiale Vektorfeld

${}F{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}\,.$

Bestimme für den Punkt  ${}R={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\in Y$  eine Matrix für die Abbildung

$T_{R}Y\longrightarrow T_{R}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-2z^{7}\,$

und  ${}Y=h^{-1}(3)$.  Es sei

$\gamma \colon [1,5]\longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt {3-4t^{2}+2t^{7}}}\\2t\\t\end{pmatrix}},$

ein differenzierbarer Weg auf ${}Y$. Bestimme die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form von Bemerkung 6.10 für die parallelen Vektorfelder längs ${}\gamma$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Holonomiegruppe auf der Einheitssphäre gleich der Isometriegruppe ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und  ${}Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  ${}c\in \mathbb {R}$,  wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isometrie,  ${}W'=L^{-1}(W)$  und

${}Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L)^{-1}(c)\,.$

Man erläutere, wie sich die Konzepte paralleles Vektorfeld, Paralleltransport und Holonomiegruppe unter ${}L$ verhalten.