Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 6

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $Y$ der Graph zur Funktion  $f(x,y)=x^2-y^2$. 

1. Zeige, dass durch

   $F(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}y\\ x\\ 0\end{array}\right)$

   ein tangentiales Vektorfeld auf $Y$ gegeben ist.

2. Es sei  $P=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -5\end{array}\right)\in Y$.  Berechne ${\mathrm{\nabla }}_{v}F$ für  $v=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=T_{P}Y$. 
3. Überprüfe, dass ${\mathrm{\nabla }}_{v}F$ tangential an $Y$ in $P$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre $Y$ das tangentiale Vektorfeld

$F\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y\\ -x\\ 0\end{array}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu $F$ auf dem ${ℝ}^3$.
2. Bestimme für den Punkt  $P=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\in Y$  eine Matrix für die Abbildung

   $T_{P}Y⟶T_{P}Y,v⟼{\mathrm{\nabla }}_{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

3. Bestimme für den Punkt  $Q=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\in Y$  eine Matrix für die Abbildung

   $T_{Q}Y⟶T_{Q}Y,v⟼{\mathrm{\nabla }}_{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma :I\to Y$ eine differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu einem längs $\gamma$ parallelen Vektorfeld $F$ und  $a\in ℝ$  ist auch $aF$ ein paralleles Vektorfeld.
2. Zu längs $\gamma$ parallelen Vektorfelder $F,G$ ist auch $F+G$ ein paralleles Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq {ℝ}^n$  eine Hyperebene. Zeige, dass jedes tangentiale Vektorfeld $F$ (das einem Vektorfeld auf  $Y\cong {ℝ}^{n-1}$  entspricht) parallel (längs jeder Kurve) ist.

Aufgabe

Es sei

$Y=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\mid x^2+y^2+z^2=1\}$

die zweidimensionale Einheitssphäre und $\gamma :[0,2\pi ]⟶Y$, $t⟼\left(\begin{array}{c}\cos t\\ 0\\ \sin t\end{array}\right)$. Bestimme, welche der folgenden Vektorfelder

$F:[0,2\pi ]⟶{ℝ}^3$

längs $\gamma$ tangential an $Y$ und welche parallel sind.

1.  $F(t)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$. 
2.  $F(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)$. 
3.  $F(t)=\left(\begin{array}{c}\cos t\\ 0\\ \sin t\end{array}\right)$. 
4.  $F(t)=\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ 0\\ \cos t\end{array}\right)$. 
5.  $F(t)=\left(\begin{array}{c}t\\ e^t\\ \sin t\end{array}\right)$. 

Aufgabe *

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^3$,  $W$ offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld $N$. Es sei $\gamma :I\to Y$ eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$F:I⟶{ℝ}^3$

ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs $\gamma$, das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld

$I⟶{ℝ}^3,t⟼N(\gamma (t))\times F(t),$

parallel ist, wobei $\times$ das Kreuzprodukt im ${ℝ}^3$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei

$h(x,y,z)=x^3-2y^4-3z^5$

und  $Y=h^{-1}(1)$.  Es sei

$\gamma :ℝ⟶Y,t⟼\left(\begin{array}{c}\sqrt[3]{1+3t^5}\\ 0\\ t\end{array}\right),$

ein differenzierbarer Weg auf $Y$. Bestimme die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form von Bemerkung 6.10 für die parallelen Vektorfelder längs $\gamma$.

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq {ℝ}^n$  eine Hyperebene. Zeige, dass der Paralleltransport zu jeder Kurve auf $Y$ die Identität ist, wenn man die Tangentialräume $T_{P}Y$ mit $Y$ identifiziert.

Aufgabe *

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei $\gamma :I=[a,b]\to Y$ eine geodätische Kurve. Zeige, dass der Paralleltransport längs $\gamma$ den tangentialen Vektor  ${\gamma }^{\prime }(a)\in T_{\gamma (a)}Y$  in den tangentialen Vektor  ${\gamma }^{\prime }(b)\in T_{\gamma (b)}Y$  überführt.

Aufgabe

Es sei $Y$ die zweidimensionale Einheitssphäre und $\gamma :[0,2\pi ]\to Y$ die Bogenparametrisierung eines Großkreises mit  $\gamma (0)=\gamma (2\pi )=P\in Y$.  Zeige, dass der zugehörige Paralleltransport die Identität auf $T_{P}Y$ ist.

Aufgabe

Es sei

$Y=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\mid x^2+y^2+z^2=1\}$

die zweidimensionale Einheitssphäre,  $P=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$  und $\gamma :[0,2\pi ]⟶Y$, $t⟼\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\cos t\\ \frac{1}{2}\sin t\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$. Beschreibe den Paralleltransport ${\Psi }_{\gamma }:T_{P}Y\to T_{P}Y$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq W\subseteq {ℝ}^n$,  $W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und seien  $P,Q\in Y$  Punkte mit den Tangentialräumen $T_{P}Y$ und $T_{Q}Y$. Wir betrachten die Abbildung

${\phi }_{P,Q}:T_{P}Y⟶T_{Q}Y,v⟼{\pi }_Q(v),$

die einen Tangentialvektor in $P$ als einen Vektor im umgebenden Raum ${ℝ}^n$ auffasst und anschließend auf $T_{Q}Y$ orthogonal projiziert.

1. Ist ${\phi }_{P,Q}$ linear?
2. Ist ${\phi }_{P,Q}$ bijektiv?
3. Ist ${\phi }_{P,Q}$ eine Isometrie?
4. Gibt es eine Beziehung zwischen ${\phi }_{P,Q}$ und dem Paralleltransport ${\Psi }_{\gamma }$ zu einer differenzierbaren Kurve $\gamma :[a,b]\to Y$ mit  $\gamma (a)=P$  und  $\gamma (b)=Q$. 

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Zu einem Punkt  $P\in Y$  nennt man die Untergruppe  $H\subseteq \mathrm{Iso}\left(T_{P}Y\right)$,  die aus allen durch stückweise differenzierbaren geschlossenen Wegen $\gamma$ auf $Y$ von $P$ nach $P$ induzierten Paralleltransporten

${\Psi }_{\gamma }:T_{P}Y⟶T_{P}Y$

besteht, die Holonomiegruppe zu $P$.

Aufgabe

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Zeige, dass die Holonomiegruppe zu einem Punkt  $P\in Y$  in der Tat eine Untergruppe der Isometriegruppe ist.

Aufgabe

Es sei  $Y\subseteq {ℝ}^n$  eine Hyperebene. Bestimme die Holonomiegruppe zu  $P\in Y$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre $Y$ das tangentiale Vektorfeld

$F\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y\\ -x\\ 0\end{array}\right).$

Bestimme für den Punkt  $R=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\in Y$  eine Matrix für die Abbildung

$T_{R}Y⟶T_{R}Y,v⟼{\mathrm{\nabla }}_{v}F,$

bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$h(x,y,z)=x^2+y^2-2z^7$

und  $Y=h^{-1}(3)$.  Es sei

$\gamma :[1,5]⟶Y,t⟼\left(\begin{array}{c}\sqrt{3-4t^2+2t^7}\\ 2t\\ t\end{array}\right),$

ein differenzierbarer Weg auf $Y$. Bestimme die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form von Bemerkung 6.10 für die parallelen Vektorfelder längs $\gamma$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Holonomiegruppe auf der Einheitssphäre gleich der Isometriegruppe ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $W\subseteq {ℝ}^n$  offen, $h:W\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion und  $Y=h^{-1}(c)$  die Faser zu  $c\in ℝ$,  wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei

$L:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

eine lineare Isometrie,  $W^{\prime }=L^{-1}(W)$  und

$Z=L^{-1}(Y)=(h\circ L{)}^{-1}(c).$

Man erläutere, wie sich die Konzepte paralleles Vektorfeld, Paralleltransport und Holonomiegruppe unter $L$ verhalten.