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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei der Graph zur Funktion .

  1. Zeige, dass durch

    ein tangentiales Vektorfeld auf gegeben ist.

  2. Es sei . Berechne für .
  3. Überprüfe, dass tangential an in ist.


Aufgabe *

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre das tangentiale Vektorfeld

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu auf dem .
  2. Bestimme für den Punkt eine Matrix für die Abbildung

    bezüglich einer geeigneten Basis.

  3. Bestimme für den Punkt eine Matrix für die Abbildung

    bezüglich einer geeigneten Basis.


Aufgabe

Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei eine differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zu einem längs parallelen Vektorfeld und ist auch ein paralleles Vektorfeld.
  2. Zu längs parallelen Vektorfelder ist auch ein paralleles Vektorfeld.


Aufgabe

Es sei eine Hyperebene. Zeige, dass jedes tangentiale Vektorfeld (das einem Vektorfeld auf entspricht) parallel (längs jeder Kurve) ist.


Aufgabe

Es sei

die zweidimensionale Einheitssphäre und , . Bestimme, welche der folgenden Vektorfelder

längs tangential an und welche parallel sind.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .


Aufgabe *

Es sei , offen, eine differenzierbare Fläche versehen mit einem Einheitsnormalenfeld . Es sei eine stetig differenzierbare Kurve und sei

ein differenzierbares tangentiales Vektorfeld längs , das parallel sei. Zeige, dass dann auch das Vektorfeld

parallel ist, wobei das Kreuzprodukt im bezeichnet.


Aufgabe

Es sei

und . Es sei

ein differenzierbarer Weg auf . Bestimme die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form von Bemerkung 6.10 für die parallelen Vektorfelder längs .


Aufgabe

Es sei eine Hyperebene. Zeige, dass der Paralleltransport zu jeder Kurve auf die Identität ist, wenn man die Tangentialräume mit identifiziert.


Aufgabe *

Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei eine geodätische Kurve. Zeige, dass der Paralleltransport längs den tangentialen Vektor in den tangentialen Vektor überführt.


Aufgabe

Es sei die zweidimensionale Einheitssphäre und die Bogenparametrisierung eines Großkreises mit . Zeige, dass der zugehörige Paralleltransport die Identität auf ist.


Aufgabe

Es sei

die zweidimensionale Einheitssphäre, und , . Beschreibe den Paralleltransport bezüglich einer geeigneten Basis.


Aufgabe

Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und seien Punkte mit den Tangentialräumen und . Wir betrachten die Abbildung

die einen Tangentialvektor in als einen Vektor im umgebenden Raum auffasst und anschließend auf orthogonal projiziert.

  1. Ist linear?
  2. Ist bijektiv?
  3. Ist eine Isometrie?
  4. Gibt es eine Beziehung zwischen und dem Paralleltransport zu einer differenzierbaren Kurve mit und .


Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Zu einem Punkt nennt man die Untergruppe , die aus allen durch stückweise differenzierbaren geschlossenen Wegen auf von nach induzierten Paralleltransporten

besteht, die Holonomiegruppe zu .


Aufgabe

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Zeige, dass die Holonomiegruppe zu einem Punkt in der Tat eine Untergruppe der Isometriegruppe ist.


Aufgabe

Es sei eine Hyperebene. Bestimme die Holonomiegruppe zu .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre das tangentiale Vektorfeld

Bestimme für den Punkt eine Matrix für die Abbildung

bezüglich einer geeigneten Basis.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

und . Es sei

ein differenzierbarer Weg auf . Bestimme die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form von Bemerkung 6.10 für die parallelen Vektorfelder längs .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Holonomiegruppe auf der Einheitssphäre gleich der Isometriegruppe ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

eine lineare Isometrie, und

Man erläutere, wie sich die Konzepte paralleles Vektorfeld, Paralleltransport und Holonomiegruppe unter verhalten.




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