Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 5

Hauptkrümmungen

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Wir definieren verschiedene Krümmungskonzepte unter Bezug auf die Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y.$

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenwert der Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

eine Hauptkrümmung von ${}Y$ in ${}P$.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenvektor der Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

eine Hauptkrümmungsrichtung von ${}Y$ in ${}P$.

Statt Hauptkrümmungsrichtung sagt man auch Hauptkrümmungsvektor, von Hauptkrümmungsrichtungen spricht man insbesondere bei Eigenvektoren der Norm ${}1$. Aufgrund von Korollar 4.8 besitzt die Weingartenabbildung eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, also von Hauptkrümmungsrichtungen. Im Allgemeinen wählt man eine Orthonormalbasis aus Hauptkrümmungsrichtungen. Die Hauptkrümmungen sind reelle Zahlen, die man häufig der Größe nach ordnet und als

${}\kappa _{1}\leq \kappa _{2}\leq \ldots \leq \kappa _{n-1}\,$

notiert, man spricht von dem Hauptkrümmungstupel. Dabei wird ein ${}\kappa$ so oft angeführt, wie es die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also die geometrische Vielfachheit, angibt.

Gemäß Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) erhält man die Hauptkrümmungen, indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Weingartenabbildung bestimmt, und die zugehörigen Eigenräume erhält man mit Lemma 22.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Beispiel

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ reelle Zahlen, wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}^{2}.$

Gemäß Lemma 4.9 wird die Weingartenabbildung des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt durch die Hesse-Matrix von ${}f$ beschrieben, also durch

${\begin{pmatrix}2a_{1}&0&0&0\\0&2a_{2}&0&0\\0&0&\ddots &0\\0&0&0&2a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Die Hauptkrümmungen des Graphen im Nullpunkt sind also ${}2a_{1},\ldots ,2a_{n-1}$ und die Hauptkrümmungsrichtungen sind durch die Standardvektoren gegeben. Insbesondere taucht jedes reelle Tupel als Hauptkrümmungstupel einer differenzierbaren Hyperfläche auf.

Krümmung auf Flächen

Wir schauen uns nun Krümmungskonzepte auf differenzierbaren Flächen im Raum genauer an.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei und sei ${}P\in Y$. Dann nennt man das arithmetische Mittel ${}{\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$ der beiden Hauptkrümmungen in ${}P$ die mittlere Krümmung der Fläche ${}Y$ in ${}P$.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei und sei ${}P\in Y$. Dann nennt man das Produkt ${}\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in ${}P$ die Gaußkrümmung der Fläche ${}Y$ in ${}P$.

Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung.

Beispiel

Bei einer Kugeloberfläche zum Radius ${}r$ ist die Weingartenabbildung (zu dem nach innen gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt gemäß Beispiel 4.4 die Streckung mit ${}{\frac {1}{r}}$. Daher ist ${}{\frac {1}{r}}$ die einzige Hauptkrümmung mit Vielfachheit ${}2$ und die Gaußkrümmung ist ${}{\frac {1}{r^{2}}}$.

Beispiel

Für das einschalige Hyperboloid

${}Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

sind aufgrund der Berechnungen in Beispiel 4.5 in einem Punkt ${}(x,y,z)\in Y$ die beiden Hauptkrümmungen gleich ${}-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}$ und ${}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}$, die Gaußsche Krümmung ist also

$-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}=-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-2}=-{\frac {1}{{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{2}}}\,.$

Beispiel

Es sei ${}Y$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion ${}f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(x,y)\longmapsto f(x,y)$, auf einer offenen Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Nach Lemma 4.9 ist die Weingartenabbildung (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt ${}P=(Q,f(Q))$ gemäß Beispiel 4.4 durch

${\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}$

gegeben. Die Hauptkrümmungsrichtungen kann man direkt mit der Hesse-Matrix ausrechnen, für die Hauptkrümmungen muss man den Vorfaktor mitberücksichtigen. Die Gaußkrümmung ist

${\frac {1}{1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}.$

Beispiel

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion, es sei ${}Y$ die zugehörige Rotationsfläche (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$ und sei

${}P={\begin{pmatrix}x_{0}\\f(x_{0})\\0\end{pmatrix}}\in Y\,$

(was keine wesentliche Einschränkung ist). Wir betrachten den Ausschnitt der Rotationsfläche oberhalb von ${}{\left\{(x,z)\mid z^{2}<f(x_{0})\right\}}$ als den Graphen zu

${}g(x,z)={\sqrt {f(x)^{2}-z^{2}}}={\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{1/2}\,.$

Die Jacobi-Matrix von ${}g$ ist

$\left({\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}f(x)f'(x),\,-z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}\right)$

und die Hesse-Matrix von ${}g$ ist

${\begin{pmatrix}-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)\\z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}-z^{2}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}\end{pmatrix}}$

bzw. das ${}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}$-Vielfache von

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}-f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}-z^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}f(x)^{3}f^{\prime \prime }(x)-z^{2}f'(x)^{2}-z^{2}f(x)f^{\prime \prime }(x)&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-f(x)^{2}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Für den gewählten Punkt ${}P$ ist dies

${}{\frac {1}{f(x_{0})^{3}}}{\begin{pmatrix}f(x_{0})^{3}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-f(x_{0})^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}\,.$

Nach Lemma 4.9 ist die Weingartenabbildung in ${}P$ gleich

${\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}{\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}.$

Somit sind die beiden Hauptkrümmungen gleich ${}{\frac {f^{\prime \prime }(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}$ und ${}-{\frac {1}{f(x_{0}){\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}}$, die Hauptkrümmungsrichtungen sind die Standardvektoren bzw. ihre Bilder ${}{\begin{pmatrix}1\\f'(x_{0})\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ im Tangentialraum ${}T_{P}Y$. Die Hauptkrümmungsrichtungen verlaufen also längs des Graphen zu ${}f$ und längs der Kreisbewegung der Rotation. Die Gaußkrümmung ist

${\frac {-f^{\prime \prime }(x_{0})}{f(x_{0}){\left(1+f'(x_{0})^{2}\right)}}}.$

Normalkrümmung

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Zu einem normierten Tangentialvektor ${}v\in T_{P}Y$ nennt man ${}\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle$ die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ in Richtung ${}v$. Sie wird mit ${}\kappa (P,v)=\kappa (v)$ bezeichnet.

Nach Lemma 4.6 ist die Normalkrümmung gleich

${}\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle =\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(P)\right\rangle \,,$

wobei ${}\gamma$ eine Kurvenrealisierung des Tangentialvektors ${}v$ ist. Die Normalkrümmung misst also die normale Komponente der Beschleunigung der Kurve.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es seien ${}\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-1}$ die Hauptkrümmungen zu ${}Y$ in ${}P$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ zugehörige normierte Hauptkrümmungsrichtungen.

Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ in Richtung ${}v\in T_{P}Y$ gleich

${}\kappa (v)=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}\left\langle v,v_{i}\right\rangle ^{2}\,.$

Beweis

Mit ${}v=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}$ ist unter Verwendung der Orthogonalität

${}{\begin{aligned}\kappa (v)&=\left\langle v,L_{P}(v)\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},L_{P}{\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n-1}a_{i}v_{i},\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}v_{i}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}a_{i}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n-1}\kappa _{i}\left\langle v,v_{i}\right\rangle ^{2}.\end{aligned}}$

$\Box$

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}v\in T_{P}Y$ ein von ${}0$ verschiedener Tangentenvektor und sei ${}u\in N_{P}Y$ ein von ${}0$ verschiedener Normalenvektor. Dann nennt man die Ebene ${}\mathbb {R} u+\mathbb {R} v$ eine Normalenebene zu ${}Y$ durch ${}P$.

Jeder Tangentialvektor ${}v\neq 0$ legt eine eindeutige Normalebene ${}E$ fest, die man zumeist als ${}P+E$ auffasst.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch ${}P$ an ${}Y$.

Dann ist der Durchschnitt ${}Y\cap (P+E)$ eine ebene Kurve in ${}P+E$, die im Punkt ${}P$ regulär ist.

Beweis

Nach einer Verschiebung können wir annehmen, dass ${}P$ der Nullpunkt des Raumes ist. Das totale Differential

$\left(Dh\right)_{0}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

ist surjektiv und der Kern ist der Tangentialraum ${}T_{P}Y$. Die Ebene ${}E$ enthält Normalenvektoren ${}\neq 0$, die nicht zum Kern gehören. Daher ist das totale Differential der zusammengesetzten Abbildung

$E\supseteq E\cap W\longrightarrow W{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

im Punkt ${}0$ surjektiv und somit kann man den Satz über implizite Abbildungen anwenden und erhält, dass die Faser eine im Punkt ${}0$ reguläre Kurve ist.

$\Box$

Man beachte, dass der Kurvenschnitt nicht in jedem Punkt regulär sein muss.

Satz

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch ${}P$ an ${}Y$.

Dann ist die Normalkrümmung von ${}Y$ in ${}P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve ${}Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt ${}P$.

Beweis

Zur Notationsvereinfachung verschieben wir ${}P$ in den Nullpunkt. Nach Lemma 5.13 ist der Durchschnitt ${}Y\cap E$ eine in ${}0$ reguläre Kurve, es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow Y\cap E$

eine zweifach differenzierbare bogenparametrisierte Realisierung davon. Nach Lemma 4.6 ist die Normalkrümmung gleich ${}\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(0)\right\rangle$. Da die Normalebene den Einheitsnormalenvektor ${}N(0)$ enthält, spielt sich alles in der Ebene ${}E$ ab. Somit folgt die Aussage aus Lemma 3.8.

$\Box$

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