Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 12

Aus Wikiversity
Wechseln zu: Navigation, Suche



Übungsaufgaben

Aufgabe

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.


Aufgabe

Definiere auf der Menge der Wörter zum einelementigen Alphabet ein Dedekind-Peano-Modell. Worauf beruht die Gültigkeit der Dedekind-Peano-Axiome?


Aufgabe

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element , , einen Vorgänger besitzt.


Aufgabe

Sei die Menge der natürlichen Zahlen und . Zeige, dass die Menge

ebenfalls die Dedekind-Peano-Axiome (mit welchem ausgezeichneten Element und mit welcher Nachfolgerabbildung?) erfüllt.


Aufgabe

Man gebe Beispiele für Mengen mit einem ausgezeichneten Element und einer Abbildung an, die je zwei der Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, aber nicht das dritte.


Aufgabe *

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition durch die Bedingungen

eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Addition auf den natürlichen Zahlen kommutativ und assoziativ ist und dass die Abziehregel (d.h., dass aus für ein stets folgt) gilt.


Aufgabe

Es seien und Dedekind-Peano-Modelle der natürlichen Zahlen. Es sei

der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit und für alle . Zeige, dass die Addition respektiert, dass also

für alle gilt.


Aufgabe

Wie verhält sich die über die Nachfolgerbeziehung eingeführte Addition auf den natürlichen Zahlen (das Umlegungsmodell) zu dem Vereinigungsmodell, dass die Summe zweier natürlichen Zahlen sich als Anzahl von Objekten (Äpfel) ergibt, wenn man eine Menge von Objekten und eine Menge von (dazu disjunkten) Objekten zusammenschmeißt.


Aufgabe

Begründe, dass die Addition von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem (das schriftliche Addieren) das Umlegungsprinzip respektiert und auch die richtig verarbeitet. Schließe daraus, dass die schriftliche Addition korrekt ist.


Aufgabe

Sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Multiplikation durch die Bedingungen

eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Definiere auf einem Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen die Abbildung rekursiv durch die Bedingungen (die Addition sei mit den wesentlichen Eigenschaften etabliert)

und

Zeige


Aufgabe *

  1. Bestimme die kleinste natürliche Zahl, die größer als die ersten drei Quadratzahlen ist.
  2. Beschreibe die Bedingung (und zwar so, dass die Bedingung erkennbar ist) aus (1) durch einen prädikatenlogischen arithmetischen Ausdruck (also mit dem Symbolalphabet und Variablen) in der einen freien Variablen .
  3. Beschreibe das Ergebnis aus (1) durch einen einfachen prädikatenlogischen Ausdruck in der einen freien Variablen .


Aufgabe

Wir definieren auf eine neue Relation durch folgende Vorschrift: Für zwei Zahlen mit und mit ungerade sei

(rechts wird auf die natürliche Ordnung in Bezug genommen).

  1. Zeige, dass eine totale Ordnung auf ergibt und beschreibe exemplarisch diese Ordnung.
  2. Zeige, dass es zu jedem ein wohldefiniertes Element , , derart gibt, dass gilt und dass es zwischen und keine weiteren Elemente gibt (diese Formulierung ist zu präzisieren).
  3. Erfüllt die Menge die Dedekind-Peano-Axiome?


Aufgabe

Betrachte die Produktmenge mit der Nachfolgerfunktion

und der sogenannten lexikographische Ordnung, für die

genau dann gilt, wenn oder und ist. Zeige folgende Aussagen.

  1. Es handelt sich um eine totale Ordnung.
  2. Es ist

    für alle .

  3. ist das kleinste Element.
  4. Es liegt eine Wohlordnung (nach unten) vor.
  5. Diese Menge mit der Nachfolgerfunktion erfüllt nicht das Dedekind-Peano-Induktionsaxiom


Aufgabe

Es sei die disjunkte Vereinigung aus und aus .[1] Wir definieren auf eine Nachfolgerfunktion, die auf den beiden Bestandteilen durch den üblichen Nachfolger gegeben ist (also durch ), und wir betrachten die als die Null von .

a) Zeige, dass die ersten beiden Axiome aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Nachfolgerfunktion erfüllt.

b) Zeige, dass es keine Addition auf gibt, die mit den Additionen auf und auf übereinstimmt und für die die Abziehregel gilt.

c) Gilt das erststufige Induktionsaxiom (formuliert für die Nachfolgerfunktion)?[2]


Aufgabe

Im Kalkül der Prädikatenlogik sei ableitbar. Zeige, dass dann auch

ableitbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass in der Prädikatenlogik

ableitbar. ist.


Aufgabe

Zeige, dass in der Prädikatenlogik die Alleinführung im Antezedens ableitbar ist, also dass für eine Variable , einen Term und einen Ausdruck

gilt.





Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Sei das Ziffernalphabet. Definiere die Teilmenge , die aus den korrekt gebildeten Zifferndarstellungen einer natürlichen Zahl besteht. Definiere auf eine Nachfolgerabbildung und zeige, dass zu einem Dedekind-Peano-Modell wird. Worauf beruht die Gültigkeit der Dedekind-Peano-Axiome?


Aufgabe (7 Punkte)

Sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition 12.7 festgelegten Multiplikation. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. für alle .
  2. für alle , d.h. ist das neutrale Element für die Multiplikation.

  3. für alle .

  4. Die Multiplikation ist kommutativ.
  5. Die Multiplikation ist assoziativ.
  6. Aus einer Gleichung mit folgt (Kürzungsregel).
  7. Für beliebige gilt

    (Distributivgesetz).


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und Dedekind-Peano-Modelle der natürlichen Zahlen. Es sei

der eindeutig bestimmte Isomorphismus mit und für alle . Zeige, dass die Multiplikation respektiert, dass also

für alle gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass das erststufige Axiomenschema für die Induktion in gilt.




Fußnoten
  1. Dabei muss man darauf achten, die Elemente aus nicht mit denen aus zu verwechseln. Beispielsweise kann man die Elemente einerseits mit und andererseits mit bezeichnen.
  2. Diese Aufgabe ist wohl schwierig.


<< | Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)