Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 13

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass in einem kommutativen Halbring die Beziehung gilt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Halbring. Zeige, dass

ist (mit einer beliebig langen Summe von Einsen).


Aufgabe *

Man definiere auf der dreielementigen Menge die Struktur eines kommutativen Halbringes, bei dem gilt.


Aufgabe

Da man die natürlichen Zahlen zum Zählen von endlichen Mengen nimmt, es aber auch unendliche Mengen gibt, denkt sich Gabi Hochster, dass man die natürlichen Zahlen um ein weiteres Symbol (sprich unendlich) erweitern sollte. Diese neue Menge bezeichnet sie mit . Sie möchte die Ordnungsstruktur, die Addition und die Multiplikation der natürlichen Zahlen auf ihre neue Menge ausdehnen, und zwar so, dass möglichst viele vertraute Rechengesetze erhalten bleiben.

  1. Wie legt Gabi die Ordnung fest?
  2. Wie legt sie die Nachfolgerabbildung fest? Gelten die Peano-Axiome?
  3. Wie legt sie die Addition fest? Sie möchte ja nur mit dem einzigen neuen Symbol arbeiten.
  4. Gilt mit dieser Addition die Abziehregel?
  5. Zuerst denkt sie an die Festlegung

    doch dann stellt sie fest, dass sich das mit dem Distributivgesetz beißt. Warum?

  6. Gabi möchte nun, dass für die neue Menge die Eigenschaften aus Fakt ***** und aus Satz 9.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) nach wie vor gelten. Wie legt sie die Verknüpfungen fest?
  7. Handelt es sich bei mit den Festlegungen aus Teil (6) um einen kommutativen Halbring?
  8. Gilt die Kürzungsregel?


Aufgabe *

Es sei die Potenzmenge zu einer Menge . Zeige, dass mit der Vereinigung als Addition und der leeren Menge als und mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der Gesamtmenge als ein kommutativer Halbring ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Halbring und . Zeige die folgenden Gleichungen:

und


Aufgabe *

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Halbring.


Aufgabe *

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring durch Induktion über , wobei der Fall verwendet werden darf (dabei sind natürliche Zahlen und ).


Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Halbring durch

eine reflexive und transitive Relation gegeben ist. Zeige durch geeignete Beispiele, dass diese weder antisymmetrisch noch total sein muss.


In den folgenden Aufgaben besprechen wir Teilbarkeitskonzepte für einen kommutativen Halbring.


Eine Nichteinheit in einem kommutativen Halbring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.


Diese Eigenschaft charakterisiert im Halbring gerade die Primzahlen.


Eine Nichteinheit in einem kommutativen Halbring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt es einen der Faktoren.


Aufgabe

Formalisiere in der (erststufigen) Sprache der kommutativen Halbringe die Konzepte Einheit, Teilt, irreduzibel, Primelement.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Halbring, der die Kürzungsregel erfüllt. Zeige, dass ein Primelement stets irreduzibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass für die Konzepte Primelement und irreduzibel zusammenfallen.


Aufgabe

Man gebe Beispiele für kommutative Halbringe, in denen die Konzepte Primelement und irreduzibel auseinanderfallen.


Aufgabe

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus auf schließen?


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Addition assoziativ ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist und dass das neutrale Element ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Halbring, der kein Peano-Halbring ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring der Ausdruck

gilt.


Aufgabe *

Zeige, dass in einem Peano-Halbring zu die Division mit Rest eindeutig ist.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Peano-Halbring das Lemma von Bezout in der Form gilt, dass es zu zwei teilerfremden (das ist zu definieren) Elementen Elemente mit

gibt.


Aufgabe

Zeige, dass in einer Struktur, die die Peano-Axiome für den Nachfolger erfüllt, die Aussage

gilt.


Aufgabe *

Zeige, dass die Vorgängereigenschaft

aus der Menge der Peano-Axiome für den Nachfolger folgt.


Aufgabe

Zeige, dass die Vorgängereigenschaft

aus der Menge der erststufigen Peano-Axiome ableitbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Division mit Rest aus der Menge der erststufigen Peano-Axiome ableitbar ist.


Aufgabe

Es sei die disjunkte Vereinigung aus zwei Kopien von zusammen mit dem ausgezeichneten Element (aus der ersten Kopie) und der Abbildung , die auf beiden Kopien die übliche Nachfolgerabbildung ist. Welche der Peano-Axiome für den Nachfolger gelten für , welche nicht?


Aufgabe

Es sei die disjunkte Vereinigung aus und aus .[1] Wir definieren auf eine Nachfolgerfunktion, die auf den beiden Bestandteilen durch den üblichen Nachfolger gegeben ist (also durch ), und wir betrachten die als die Null von .

a) Zeige, dass die ersten beiden Axiome aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Nachfolgerfunktion erfüllt.

b) Zeige, dass es keine Addition auf gibt, die mit den Additionen auf und auf übereinstimmt und für die die Abziehregel gilt.

c) Gilt das erststufige Induktionsaxiom (formuliert für die Nachfolgerfunktion)?[2]


Aufgabe

Es sei

die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen mit der und der Abbildung

Welche der Peano-Axiome für den Nachfolger gelten für , welche nicht?


Aufgabe *

Es sei

  1. Zeige, dass ein kommutativer Halbring ist.
  2. Zeige, dass in die Relationen

    und

    zueinander äquivalent sind.

  3. Zeige, dass nicht irreduzibel in ist.
  4. Zeige, dass es in keine irreduziblen Elemente gibt.
  5. Es sei die Aussage

    Zeige, dass in die Aussage

    wahr ist.

  6. Zeige, dass kein Peano-Halbring ist.


Aufgabe

Zeige, dass in aus Beispiel 13.9 jedes Element einen eindeutig bestimmten Vorgänger besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass in der arithmetischen Sprache erster Stufe mit den Konstanten , dem Nachfolgersymbol und den zweistelligen Funktionssymbolen und nur abzählbar viele Teilmengen von „adressierbar“ sind und dass daher das zweitstufige Induktionsaxiom der Dedekind-Peano-Axiome nicht in dieser Sprache formulierbar ist.


Aufgabe

Zeige, dass man für jede Teilmenge die arithmetische Sprache erster Stufe um ein einstelliges Relationssymbol und die erststufigen Peano-Axiome um geeignete Axiome ergänzen kann, derart, dass diese neue Axiomatik in der Standardinterpretation genau dann gilt, wenn als interpretiert wird. Man folgere daraus, dass mit überabzählbar vielen Relationssymbolen alle Teilmengen der natürlichen Zahlen „adressierbar“ sind.

(Dies bedeutet aber weder, dass für jede Struktur einer solchen Axiomatik jede Teilmenge adressierbar ist, noch, dass das zweitstufige Induktionsaxiom, das eine Aussage über alle Teilmengen macht, erststufig formulierbar ist).



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Peano-Dedekind-Modell der natürlichen Zahlen und ein Peano-Halbring. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

mit und gibt. Zeige ferner, dass injektiv ist und die Addition und die Multiplikation respektiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass in einem Peano-Halbring das Distributivgesetz gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Kürzungseigenschaft gilt, d.h. dass aus mit die Gleichheit folgt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass mit und der natürlichen Addition und Multiplikation die ersten sechs Peano-Axiome erfüllt, aber nicht das Induktionsaxiom.




Die Aufgabe zum Aufgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe einen Ausdruck aus der arithmetischen Sprache erster Stufe (also mit ) mit einer freien Variablen an, der über den ganzen Zahlen folgende Eigenschaft besitzt: Es gilt

genau dann, wenn ist (der Ausdruck gilt also genau für die natürlichen Zahlen).




Fußnoten
  1. Dabei muss man darauf achten, die Elemente aus nicht mit denen aus zu verwechseln. Beispielsweise kann man die Elemente einerseits mit und andererseits mit bezeichnen.
  2. Diese Aufgabe ist wohl schwierig.


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