Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 22/kontrolle
- Übungsaufgaben
Berechne im Körper das Produkt
Bestimme in das Inverse von .
Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).
Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein - Vektorraum ist.
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige, dass dann der Quotientenkörper von ist.
Es seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.
Es sei eine Körpererweiterung und ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie
Es seien und zwei verschiedene Primzahlen. Zeige, dass ein Unterkörper von ist, der über den Grad vier besitzt.
Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von die Potenz einer Primzahl ist.
Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl eine Körpererweiterung vom Grad gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in das Inverse von .
Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte den Körper mit Elementen.
- Zeige, dass kein Quadrat in ist und folgere, dass
- Betrachte die
quadratische Körpererweiterung
und berechne
- Finde das Inverse zu in .
- Zeige, dass kein Quadrat in ist, dafür aber in .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
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