Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 23/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass ist.


Aufgabe Aufgabe 23.4 ändern

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Polynom. Zeige: besitzt genau dann eine Nullstelle in , wenn es einen -Algebrahomomorphismus gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige: ist genau dann algebraisch über , wenn ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei eine Körpererweiterung und ein Zwischenkörper. Es sei algebraisch über . Zeige, dass dann auch algebraisch über ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen keine endliche Körpererweiterung von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

a) Man gebe eine Gerade in der Ebene an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis in der Ebene an, der keine algebraische Zahl enthält.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und sei der rationale Funktionenkörper über . Zeige, dass es zu jedem einen Ringhomomorphismus derart gibt, dass eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.



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