Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 10/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung
ein Gruppenisomorphismus ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine kommutative Gruppe und
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.
Aufgabe Referenznummer erstellen
a) Für welche reellen Polynome ist die zugehörige polynomiale Abbildung
b) Für welche reellen Polynome ist allenfalls eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Wir betrachten
mit der in Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Z modulo n/Repräsentanten/Assoziativität und Gruppe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Z modulo n/Repräsentanten/Assoziativität und Gruppe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung
kein Gruppenhomomorphismus ist.
Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.
Es sei ein kommutativer Ring. Unter einer Matrix (über ) versteht man einen Ausdruck der Form
wobei die Einträge aus sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und
eine Matrix über . Zeige, dass die Matrix einen Gruppenhomomorphismus
definiert, indem man
anwendet, wobei
ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle (in geeigneten Maßeinheiten) wiedergegeben:
Sorte | Kalorien | Vitamin C | Fett |
---|---|---|---|
Schokokeks | 10 | 5 | 3 |
Waffelröllchen | 8 | 7 | 6 |
Mandelstern | 7 | 3 | 1 |
Nougatring | 12 | 0 | 5 |
a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel das Aufnahmetupel berechnet.
b) Heinz isst Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.
c) Ludmilla isst Nougatringe und Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.
d) Peter isst Mandelsterne mehr und Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.
Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel
multipliziert wird (insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen) und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne das Matrizenprodukt
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei
die Menge aller invertierbaren - Matrizen.
a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.
b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Menge und eine Teilmenge, und es seien und die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf , siehe Aufgabe *****. {{:Kurs:Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Abbildungen/Bijektive Abbildungen/Ist Gruppe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Abbildungen/Bijektive Abbildungen/Ist Gruppe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}}) Zeige, dass durch
mit
ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch innere Automorphismen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei
die Multiplikation mit . Zeige, dass bijektiv ist, und dass genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien Gruppen.
a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt
b) Es sei eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung
genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten Gruppenhomomorphismen sind.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .
Die folgende Aufgabe knüpft an
Aufgabe *****
{{:Kurs:Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}}
an. Zu einer reellen Zahl bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten
mit der in Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe ***** {{:Kurs:Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer/Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe/Aufgabereferenznummer}} eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens
Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus
in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.