- Aufgaben
Es sei eine Menge mit einer
Verknüpfung
-
die für alle Elemente folgende Eigenschaften erfüllt.
-
-
- .
Es sei ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus .
(a) Zeige, dass die Verknüpfung
-
eine
kommutative Gruppenstruktur
auf mit als neutralem Element definiert.
(b) Es sei nun ein zweites Element aus . Zeige, dass die durch und durch definierten Gruppen
isomorph
sind.
Begründe die Assoziativität der Verknüpfung in
Satz 6.3
für die Fälle, wo manche der Schnittpunkte zusammenfallen.
Berechne auf der durch
-
gegebenen
elliptischen Kurve
die
Summen
und .
Berechne auf der durch
-
gegebenen
elliptischen Kurve
die
Summe
.
Berechne auf der durch
-
gegebenen
elliptischen Kurve
die
Summe
.
Berechne auf der durch
-
gegebenen
elliptischen Kurve
die
Summe
(vergleiche
Beispiel 4.11)
.
Bei den beiden folgenden Aufgaben verwende man, dass die einzige kompakte zusammenhängende reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit die ist und dass die einzige eindimensionale kompakte zusammenhängende reelle Lie-Gruppe die mit der üblichen Verknüpfung ist.
Es sei eine
elliptische Kurve
über , gegeben in
kurzer Weierstraßform
und
Zerlegungsform
mit
und
.
Wir setzen
und zerlegen
mit
-
und
-
- Zeige, dass durch eine Bijektion zwischen
und
gegeben ist.
- Zeige, dass die Summe von zwei Punkten
in liegt.
- Zeige, dass die Summe von zwei Punkten
wieder in liegt.
Die Lösung zur folgenden Aufgabe nimmt Bezug auf spätere Resultate. Man kann aber auch alles direkt berechnen.
Überprüfe die zweite Darstellung aus
Korollar 6.7,
also
Es sei eine
elliptische Kurve
über einem
Körper
mit kurzer Weierstraßgleichung
.
Wir betrachten den Ring
-
in dem man die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve mit rationalen Funktionen formulieren kann, siehe
Satz 6.5.
- Zeige, dass eine
endliche Erweiterung
vorliegt.
- Bestimme eine Ganzheitsgleichung für über .
- Bestimme eine Ganzheitsgleichung für über .
vor.
Es sei
-
und
-
Zeige
.
Es sei
-
die Gleichung einer
elliptischen Kurve.
Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes mit
durch
-
mit
gegeben ist.
Es sei
-
die Gleichung einer
elliptischen Kurve
. Zeige, dass die Addition auf im Sinne von
Bemerkung 6.1
durch
-
mit
und
gegeben ist.
Es sei
-
die Gleichung einer
elliptischen Kurve
in
Zerlegungsform.
Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes mit
durch
-
mit
gegeben ist.
Bestimme auf der Fermat-Kubik in vier Variablen
-
den dritten Durchstoßungspunkt der durch die beiden Punkte
und
gegebenen Gerade.