Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 6

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$*\colon M\times M\longrightarrow M,\,(P,Q)\longmapsto P*Q,$

die für alle Elemente ${}P,Q,R,S\in M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}P*Q=Q*P$
2. ${}(P*Q)*P=Q$
3. ${}((P*Q)*R)*S=P*((Q*S)*R)$.

Es sei ${}{\mathfrak {O}}$ ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus ${}M$. (a) Zeige, dass die Verknüpfung

${}P+Q:=(P*Q)*{\mathfrak {O}}\,$

eine kommutative Gruppenstruktur auf ${}M$ mit ${}{\mathfrak {O}}$ als neutralem Element definiert.

(b) Es sei nun ${}{\mathfrak {O}}'$ ein zweites Element aus ${}M$. Zeige, dass die durch ${}{\mathfrak {O}}$ und durch ${}{\mathfrak {O}}'$ definierten Gruppen isomorph sind.

Aufgabe

Begründe die Assoziativität der Verknüpfung in Satz 6.3 für die Fälle, wo manche der Schnittpunkte zusammenfallen.

Aufgabe *

Berechne auf der durch

${}Y^{2}=X^{3}+1\,$

gegebenen elliptischen Kurve die Summen ${}(0,1)+(0,1)$ und ${}(0,1)+(0,1)+(0,1)$.

Aufgabe

Berechne auf der durch

${}Y^{2}=X^{3}+1\,$

gegebenen elliptischen Kurve die Summe ${}(2,3)+(3,{\sqrt {28}})$.

Aufgabe *

Berechne auf der durch

${}Y^{2}=X^{3}+4X\,$

gegebenen elliptischen Kurve die Summe ${}(2,4)+(2,4)$.

Aufgabe

Berechne auf der durch

${}y^{2}=x^{3}-25x\,$

gegebenen elliptischen Kurve die Summe (vergleiche Beispiel 4.11) ${}\left({\frac {1681}{144}},\,{\frac {62279}{1728}}\right)+\left(5,\,0\right)$.

Bei den beiden folgenden Aufgaben verwende man, dass die einzige kompakte zusammenhängende reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit die ${}S^{1}$ ist und dass die einzige eindimensionale kompakte zusammenhängende reelle Lie-Gruppe die ${}S^{1}$ mit der üblichen Verknüpfung ist.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform  ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$  mit  ${}a,b\in \mathbb {R}$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Das Polynom ${}X^{3}+aX+b$ besitzt in ${}\mathbb {R}$ genau eine Nullstellen.
2. ${}E(\mathbb {R} )$ ist in der metrischen Topologie zusammenhängend.
3. Es gilt die Homöomorphie  ${}E(\mathbb {R} )\cong S^{1}$. 
4. Es ist  ${}E(R)\cong S^{1}$  als reelle Lie-Gruppe.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform  ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$  mit  ${}a,b\in \mathbb {R}$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Das Polynom ${}X^{3}+aX+b$ besitzt in ${}\mathbb {R}$ drei Nullstellen.
2. ${}E(\mathbb {R} )$ besteht in der metrischen Topologie aus zwei Zusammenhangskomponenten.
3. Es gilt die Homöomorphie  ${}E(\mathbb {R} )\cong S^{1}\uplus S^{1}$. 
4. Es ist  ${}E(R)\cong S^{1}\times \mathbb {Z} /(2)$  als reelle Lie-Gruppe.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform  ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})$  mit  ${}a,b\in \mathbb {R}$  und  ${}\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}$.  Wir setzen  ${}B=(0,\lambda _{2})$  und zerlegen  ${}E(\mathbb {R} )=M\uplus N$  mit

${}M={\left\{P\in E(\mathbb {R} )\mid \lambda _{1}\leq x(P)\leq \lambda _{2}\right\}}\,$

und

${}N={\left\{P\in E(\mathbb {R} )\mid x(P)\geq \lambda _{3}\right\}}\,.$

1. Zeige, dass durch ${}P\mapsto P+B$ eine Bijektion zwischen ${}M$ und ${}N$ gegeben ist.
2. Zeige, dass die Summe von zwei Punkten  ${}P,Q\in M$  in ${}N$ liegt.
3. Zeige, dass die Summe von zwei Punkten  ${}P,Q\in N$  wieder in ${}N$ liegt.

Aufgabe

Bestimme auf der durch

${}y^{2}=x^{3}-x\,$

gegebenen elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Z} /(3)$ die Gruppenstruktur von ${}E{\left(\mathbb {Z} /(3)\right)}$.

Die Lösung zur folgenden Aufgabe nimmt Bezug auf spätere Resultate. Man kann aber auch alles direkt berechnen.

Aufgabe *

Bestimme auf der durch

${}y^{2}=x^{3}-x\,$

gegebenen elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Z} /(5)$ die Gruppenstruktur von ${}E{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}$.

Aufgabe

Bestimme auf der durch

${}y^{2}=x^{3}-x\,$

gegebenen elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Z} /(7)$ die Gruppenstruktur von ${}E{\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}$.

Aufgabe *

Überprüfe die zweite Darstellung aus Korollar 6.7, also

${}{\begin{aligned}2(x,y)&=\left({\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}-2x,\,{\left(-{\frac {(3x^{2}+a)^{3}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}+{\frac {3x(3x^{2}+a)}{2(x^{3}+ax+b)}}-1\right)}y\right)\\&=\left({\frac {x^{4}-2ax^{2}-8bx+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}},\,{\frac {x^{6}+5ax^{4}+20bx^{3}-5a^{2}x^{2}-4abx-a^{3}-8b^{2}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}y\right).\end{aligned}}$

Aufgabe *

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ mit kurzer Weierstraßgleichung  ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$.  Wir betrachten den Ring

${}S=K[x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(y_{1}^{2}-x_{1}^{3}-ax_{1}-b,y_{2}^{2}-x_{2}^{3}-ax_{2}-b)\,,$

in dem man die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve mit rationalen Funktionen formulieren kann, siehe Satz 6.5.

1. Zeige, dass eine endliche Erweiterung  ${}K[x_{1},x_{2}]\subseteq S$  vorliegt.
2. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${}y_{2}-y_{1}$ über ${}K[x_{1},x_{2}]$.
3. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${}{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ über ${}K(x_{1},x_{2})$.

vor.

Aufgabe *

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ mit kurzer Weierstraßgleichung  ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$.  Eliminiere in der Formel für die Addition (siehe Satz 6.5) die Terme ${}y_{1}^{1}$ und ${}y_{2}^{2}$ unter Verwendung der Kurvengleichung.

Aufgabe *

Es sei

${}f_{2}(x)={\frac {x^{4}-2ax^{2}-8bx+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}\,$

und

${}q_{2}(x)={\frac {x^{6}+5ax^{4}+20bx^{3}-5a^{2}x^{2}-4abx-a^{3}-8b^{2}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}\,.$

Zeige  ${}f_{2}'=2q_{2}$. 

Aufgabe *

Schreibe ${}f_{m+1}$ und ${}q_{m+1}$ aus Korollar 6.8 ohne eine höhere Potenz von ${}q_{m}$.

Aufgabe *

Es seien ${}f_{m}$ und ${}q_{m}$ wie in Korollar 6.8 definiert. Zeige  ${}f_{m}'=mq_{m}$. 

Aufgabe *

Es sei

${}Y^{2}=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes ${}(x,y)$ mit  ${}y\neq 0$  durch

${}2(x,y)=\left(\alpha ^{2}-2x-r,\,\alpha ^{3}-3\alpha x-\alpha r+y\right)\,$

mit  ${}\alpha ={\frac {3x^{2}+2rx+s}{2y}}$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei

${}Y^{2}=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$. Zeige, dass die Addition auf ${}E$ im Sinne von Bemerkung 6.1 durch

${}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=\left(\alpha ^{2}-r-x_{1}-x_{2},\,\alpha {\left(\alpha ^{2}-r-x_{1}-x_{2}\right)}+\beta \right)\,$

mit  ${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$  und  ${}\beta =y_{1}-\alpha x_{1}$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes ${}(x,y)$ mit  ${}y\neq 0$  durch

${}2(x,y)=\left(\alpha ^{2}-2x+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3},\,\alpha ^{3}-3\alpha x+\alpha (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})+y\right)\,$

mit  ${}\alpha ={\frac {3x^{2}-2(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})x+\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}}{2y}}$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei  ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  eine glatte Hyperfläche vom Grad ${}3$. Woran scheitert bei  ${}n\geq 3$  die Idee, mit Hilfe des dritten Durchstoßungspunktes zu einer durch zwei Punkte  ${}P,Q\in V_{+}(F)$  gegebenen Geraden eine Addition auf ${}V_{+}(F)$ zu definieren? Wie sieht es bei  ${}n=1$  aus?

Aufgabe

Bestimme auf der Fermat-Kubik in vier Variablen

${}V=V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$

den dritten Durchstoßungspunkt der durch die beiden Punkte ${}(1,-1,0,0)$ und ${}(0,0,1,-1)$ gegebenen Gerade.