Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 6

Aufgaben

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$\ast :M\times M⟶M,(P,Q)⟼P\ast Q,$

die für alle Elemente $P,Q,R,S\in M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. $P\ast Q=Q\ast P$
2. $(P\ast Q)\ast P=Q$
3. $((P\ast Q)\ast R)\ast S=P\ast ((Q\ast S)\ast R)$.

Es sei $𝔒$ ein beliebiges aber fest gewähltes Element aus $M$. (a) Zeige, dass die Verknüpfung

$P+Q:=(P\ast Q)\ast 𝔒$

eine kommutative Gruppenstruktur auf $M$ mit $𝔒$ als neutralem Element definiert.

(b) Es sei nun ${𝔒}^{\prime }$ ein zweites Element aus $M$. Zeige, dass die durch $𝔒$ und durch ${𝔒}^{\prime }$ definierten Gruppen isomorph sind.

Aufgabe

Begründe die Assoziativität der Verknüpfung in Satz 6.3 für die Fälle, wo manche der Schnittpunkte zusammenfallen.

Aufgabe *

Berechne auf der durch

$Y^2=X^3+1$

gegebenen elliptischen Kurve die Summen $(0,1)+(0,1)$ und $(0,1)+(0,1)+(0,1)$.

Aufgabe

Berechne auf der durch

$Y^2=X^3+1$

gegebenen elliptischen Kurve die Summe $(2,3)+(3,\sqrt{28})$.

Aufgabe *

Berechne auf der durch

$Y^2=X^3+4X$

gegebenen elliptischen Kurve die Summe $(2,4)+(2,4)$.

Aufgabe

Berechne auf der durch

$y^2=x^3-25x$

gegebenen elliptischen Kurve die Summe (vergleiche Beispiel 4.11) $(\frac{1681}{144},\frac{62279}{1728})+(5,0)$.

Bei den beiden folgenden Aufgaben verwende man, dass die einzige kompakte zusammenhängende reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit die $S^1$ ist und dass die einzige eindimensionale kompakte zusammenhängende reelle Lie-Gruppe die $S^1$ mit der üblichen Verknüpfung ist.

Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $ℝ$, gegeben in kurzer Weierstraßform  $Y^2=X^3+aX+b$  mit  $a,b\in ℝ$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Das Polynom $X^3+aX+b$ besitzt in $ℝ$ genau eine Nullstellen.
2. $E(ℝ)$ ist in der metrischen Topologie zusammenhängend.
3. Es gilt die Homöomorphie  $E(ℝ)\cong S^1$. 
4. Es ist  $E(R)\cong S^1$  als reelle Lie-Gruppe.

Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $ℝ$, gegeben in kurzer Weierstraßform  $Y^2=X^3+aX+b$  mit  $a,b\in ℝ$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Das Polynom $X^3+aX+b$ besitzt in $ℝ$ drei Nullstellen.
2. $E(ℝ)$ besteht in der metrischen Topologie aus zwei Zusammenhangskomponenten.
3. Es gilt die Homöomorphie  $E(ℝ)\cong S^1\uplus S^1$. 
4. Es ist  $E(R)\cong S^1\times \mathbb{Z}/(2)$  als reelle Lie-Gruppe.

Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $ℝ$, gegeben in kurzer Weierstraßform und Zerlegungsform  $Y^2=X^3+aX+b=(X-{\lambda }_1)(X-{\lambda }_2)(X-{\lambda }_3)$  mit  $a,b\in ℝ$  und  ${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3$.  Wir setzen  $B=(0,{\lambda }_2)$  und zerlegen  $E(ℝ)=M\uplus N$  mit

$M=\{P\in E(ℝ)\mid {\lambda }_1\le x(P)\le {\lambda }_2\}$

und

$N=\{P\in E(ℝ)\mid x(P)\ge {\lambda }_3\}.$

1. Zeige, dass durch $P\mapsto P+B$ eine Bijektion zwischen $M$ und $N$ gegeben ist.
2. Zeige, dass die Summe von zwei Punkten  $P,Q\in M$  in $N$ liegt.
3. Zeige, dass die Summe von zwei Punkten  $P,Q\in N$  wieder in $N$ liegt.

Aufgabe

Bestimme auf der durch

$y^2=x^3-x$

gegebenen elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb{Z}/(3)$ die Gruppenstruktur von $E(\mathbb{Z}/(3))$.

Die Lösung zur folgenden Aufgabe nimmt Bezug auf spätere Resultate. Man kann aber auch alles direkt berechnen.

Aufgabe *

Bestimme auf der durch

$y^2=x^3-x$

gegebenen elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb{Z}/(5)$ die Gruppenstruktur von $E(\mathbb{Z}/(5))$.

Aufgabe

Bestimme auf der durch

$y^2=x^3-x$

gegebenen elliptischen Kurve $E$ über $\mathbb{Z}/(7)$ die Gruppenstruktur von $E(\mathbb{Z}/(7))$.

Aufgabe *

Überprüfe die zweite Darstellung aus Korollar 6.7, also

$\begin{array}{cc}2(x,y)& =(\frac{9x^4+6a{x}^2+a^2}{4(x^3+ax+b)}-2x,(-\frac{(3x^2+a{)}^3}{8(x^3+ax+b{)}^2}+\frac{3x(3x^2+a)}{2(x^3+ax+b)}-1)y)\\ & =(\frac{x^4-2a{x}^2-8bx+a^2}{4(x^3+ax+b)},\frac{x^6+5a{x}^4+20b{x}^3-5a^2{x}^2-4abx-a^3-8b^2}{8(x^3+ax+b{)}^2}y).\end{array}$

Aufgabe *

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung  $y^2=x^3+ax+b$.  Wir betrachten den Ring

$S=K[x_1,x_2,y_1,y_2]/(y_1^2-x_1^3-a{x}_1-b,y_2^2-x_2^3-a{x}_2-b),$

in dem man die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve mit rationalen Funktionen formulieren kann, siehe Satz 6.5.

1. Zeige, dass eine endliche Erweiterung  $K[x_1,x_2]\subseteq S$  vorliegt.
2. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $y_2-y_1$ über $K[x_1,x_2]$.
3. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ über $K(x_1,x_2)$.

vor.

Aufgabe *

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ mit kurzer Weierstraßgleichung  $y^2=x^3+ax+b$.  Eliminiere in der Formel für die Addition (siehe Satz 6.5) die Terme $y_1^1$ und $y_2^2$ unter Verwendung der Kurvengleichung.

Aufgabe *

Es sei

$f_2(x)=\frac{x^4-2a{x}^2-8bx+a^2}{4(x^3+ax+b)}$

und

$q_2(x)=\frac{x^6+5a{x}^4+20b{x}^3-5a^2{x}^2-4abx-a^3-8b^2}{8(x^3+ax+b{)}^2}.$

Zeige  ${f_2}^{\prime }=2q_2$. 

Aufgabe *

Schreibe $f_{m+1}$ und $q_{m+1}$ aus Korollar 6.8 ohne eine höhere Potenz von $q_m$.

Aufgabe *

Es seien $f_m$ und $q_m$ wie in Korollar 6.8 definiert. Zeige  ${f_m}^{\prime }=m{q}_m$. 

Aufgabe *

Es sei

$Y^2=X^3+r{X}^2+sX+t$

die Gleichung einer elliptischen Kurve. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes $(x,y)$ mit  $y\ne 0$  durch

$2(x,y)=({\alpha }^2-2x-r,{\alpha }^3-3\alpha x-\alpha r+y)$

mit  $\alpha =\frac{3x^2+2rx+s}{2y}$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei

$Y^2=X^3+r{X}^2+sX+t$

die Gleichung einer elliptischen Kurve $E$. Zeige, dass die Addition auf $E$ im Sinne von Bemerkung 6.1 durch

$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=({\alpha }^2-r-x_1-x_2,\alpha ({\alpha }^2-r-x_1-x_2)+\beta )$

mit  $\alpha =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$  und  $\beta =y_1-\alpha x_1$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei

$Y^2=(X-{\lambda }_1)(X-{\lambda }_2)(X-{\lambda }_3)$

die Gleichung einer elliptischen Kurve in Zerlegungsform. Zeige, dass die Verdoppelung eines Punktes $(x,y)$ mit  $y\ne 0$  durch

$2(x,y)=({\alpha }^2-2x+{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3,{\alpha }^3-3\alpha x+\alpha ({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3)+y)$

mit  $\alpha =\frac{3x^2-2({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3)x+{\lambda }_1{\lambda }_2+{\lambda }_1{\lambda }_3+{\lambda }_2{\lambda }_3}{2y}$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei  $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb{P}}_K^n$  eine glatte Hyperfläche vom Grad $3$. Woran scheitert bei  $n\ge 3$  die Idee, mithilfe des dritten Durchstoßungspunktes zu einer durch zwei Punkte  $P,Q\in V_{+}(F)$  gegebenen Geraden eine Addition auf $V_{+}(F)$ zu definieren? Wie sieht es bei  $n=1$  aus?

Aufgabe

Bestimme auf der Fermat-Kubik in vier Variablen

$V=V_{+}(X^3+Y^3+Z^3+W^3)\subseteq {\mathbb{P}}_K^3$

den dritten Durchstoßungspunkt der durch die beiden Punkte $(1,-1,0,0)$ und $(0,0,1,-1)$ gegebenen Gerade.