Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 4

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.


Aufgabe *

Es sei eine ebene projektive Kurve über einem unendlichen Körper . Zeige, dass es eine Überdeckung mit zwei affinen, in offenen ebenen Kurven und gibt.


Über einem endlichen Körper gilt die vorstehende Aussage nicht, siehe Aufgabe 4.23 weiter unten.

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel


Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel


Aufgabe

Es sei ein Polynom in einer Variablen über einem Körper und sei der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss des Graphen.


Aufgabe

Es seien , Polynome in einer Variablen über einem Körper und sei die zugehörige rationale Funktion. Es sei der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?


Aufgabe

Es sei eine ebene affine Kurve. Zeige, dass der projektive Abschluss

zusätzliche Punkte enthält.


Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

über .

  1. Bestimme die Punkte von und den projektiven Abschluss von .
  2. Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.


Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

über dem Körper mit zwei Elementen.

  1. Bestimme die Punkte von .
  2. Bestimme den projektiven Abschluss von .
  3. Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper und eine affine Varietät. Zeige, dass der projektive Abschluss von mit übereinstimmt.


Aufgabe *

Ist die ebene projektive Kurve isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein homogenes Polynom. Zeige: zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe

Es sei ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals gleich dem von der Homogenisierung von erzeugten Hauptideal ist.


Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.


Aufgabe

Es sei ein homogenes Polynom und es sei die Dehomogenisierung von bezüglich der Variablen . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Wenn irreduzibel ist und ist, so ist auch irreduzibel.
  2. Wenn kein Vielfaches von ist und irreduzibel ist, so ist auch irreduzibel.


Aufgabe

Es sei ein irreduzibles homogenes Polynom und es sei die Dehomogenisierung von bezüglich der Variablen . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist ein Unterring des Quotientenkörpers von .
  2. Der Quotientenkörper zu ist ein Unterkörper des Quotientenkörpers von .
  3. Wenn man nach einer anderen Variablen dehomogenisiert (und keine Variable ist), so entsteht in Teil (2) der gleiche Quotientenkörper.


Den gemeinsamen Quotientenkörper der affinen Koordinatenringe nennt man den Funktionenkörper der projektiven Hyperfläche .

Aufgabe

Es sei ein irreduzibles homogenes Polynom, das keine Variable sei. Es sei ein Punkt, es sei eine affine Umgebung und sei die Dehomogenisierung von bezüglich . Zeige, dass der im affinen Koordinatenring gebildete lokale Ring zum Punkt für jedes mit den gleichen Unterring im Funktionenkörper zu ergibt.


Aufgabe

Es sei ein Punkt einer ebenen projektiven Kurve über einem Körper . Zeige, dass man die Glattheit von in einer beliebigen affinen Umgebung (zu der gehören muss) überprüfen kann.


Aufgabe *

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Aufgabe *

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Aufgabe

Es sei ein glatter Punkt einer ebenen projektiven Kurve über einem Körper . Es sei , also . Zeige, dass das lineare homogene Polynom

die Homogenisierung des affin-linearen Polynoms ist, das die Tangente in beschreibt, vergleiche Bemerkung 2.4.


Aufgabe *

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich sind.


Aufgabe

Es sei ein homogenes Polynom vom Grad in drei Variablen mit , wobei einen Körper bezeichnet. Zeige, dass nicht glatt ist.


Aufgabe

Es sei eine glatte Quadrik. Zeige, dass auch der projektive Abschluss

glatt ist.


Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe

Bestimme für die durch gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in . Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.


Die Tschirnhausen Kubik


Aufgabe

Bestimme für die durch gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.


Aufgabe

Bestimme für das durch definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.


Aufgabe *

Wir betrachten die ebene affine Kurve

über und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve

  1. Zeige, dass glatt ist.
  2. Man folgere, dass das Polynom irreduzibel ist.
  3. Zeige, dass jeder Punkt aus zu gehört.
  4. Zeige, dass jeder -Punkt aus zu gehört.
  5. Zeige, dass nicht glatt ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die kubische projektive Kurve

über dem Körper .

  1. Zeige, dass die Kurve keine -Punkte besitzt.
  2. Zeige, dass die Kurve nicht glatt ist.
  3. Bestimme einen Erweiterungskörper

    über dem die Kurve einen singulären Punkt besitzt.


Die folgende Aufgabe beschreibt eine weitere wichtige Charakterisierung von kongruenten Zahlen.

Aufgabe *

Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass genau dann eine kongruente Zahl ist, wenn es eine rationale Zahl derart gibt, dass die drei Zahlen Quadrate in sind.


Aufgabe *

Finde drei Quadratzahlen

derart, dass der Abstand von zu gleich dem Abstand von zu ist.


In der folgenden Aufgabe wird unter Verwendung von Satz 10.8 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)) bewiesen, dass keine kongruente Zahl ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ist.


Aufgabe

Finde ausgehend vom pythagoreischen Tripel mit Lemma 4.13 einen Punkt auf der durch gegebenen elliptischen Kurve



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