Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 4

Aufgaben

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.

Aufgabe *

Es sei  $C\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  eine ebene projektive Kurve über einem unendlichen Körper $K$. Zeige, dass es eine Überdeckung  $C=C_1\cup C_2$  mit zwei affinen, in $C$ offenen ebenen Kurven $C_1$ und $C_2$ gibt.

Über einem endlichen Körper gilt die vorstehende Aussage nicht, siehe Aufgabe 4.28 weiter unten.

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Hyperbel

$V(XY-1)\subseteq {𝔸}_K^2\subseteq {\mathbb{P}}_K^2.$

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der Parabel

$V(Y-X^2)\subseteq {𝔸}_K^2\subseteq {\mathbb{P}}_K^2.$

Aufgabe

Es sei  $F\in K[X]$  ein Polynom in einer Variablen über einem Körper $K$ und sei  $V(Y-F)\subseteq {𝔸}_K^2$  der zugehörige Graph, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss  $\tilde{C}\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  des Graphen.

Aufgabe

Es seien $F,G\in K[X],G\ne 0$, Polynome in einer Variablen über einem Körper $K$ und sei $F/G$ die zugehörige rationale Funktion. Es sei  $V\subseteq {𝔸}_K^2$  der Graph zu dieser rationalen Funktion, aufgefasst als ebene affine Kurve. Bestimme den projektiven Abschluss  $\tilde{C}\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  des Graphen. Wo finden sich „Asymptoten“ im projektiven Abschluss wieder?

Aufgabe

Es sei  $C\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2$  eine ebene affine Kurve. Zeige, dass der projektive Abschluss

$\tilde{C}\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

zusätzliche Punkte enthält.

Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

$V:=V(X^4+Y^2)\subseteq {𝔸}_{ℝ}^2$

über $ℝ$.

a) Bestimme die Punkte von $V$ und den projektiven Abschluss von $V$.

b) Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von $X^4+Y^2$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Betrachte die affine Nullstellenmenge

$V:=V(X^2+Y^2+1)\subseteq {𝔸}_K^2$

über dem Körper  $K=\mathbb{Z}/(2)$  mit zwei Elementen.

a) Bestimme die Punkte von $V$.

b) Bestimme den projektiven Abschluss von $V$.

c) Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von $X^2+Y^2+1$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper und  $V(𝔞)\subseteq {𝔸}_K^n$  eine affine Varietät. Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ mit $V$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Ist die ebene projektive Kurve  $V_{+}(X^4+Z^{3}Y+Z^4)\subset {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$  isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?

Aufgabe *

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  $F\in K[X,Y]$  ein homogenes Polynom. Zeige: $F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Es sei  $(H)\subseteq K[X_1,\dots ,X_n]$  ein Hauptideal. Zeige, dass die Homogenisierung des Ideals $(H)$ gleich dem von der Homogenisierung von $H$ erzeugten Hauptideal ist.

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

$V({(X^2+Y^2)}^2-2X(X^2+Y^2)-Y^2)$

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.

Aufgabe

Es sei  $F\in K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$  ein homogenes Polynom und es sei $\tilde{F}$ die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich der Variablen $X_n$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn $F$ irreduzibel ist und  $F\ne X_n$  ist, so ist auch $\tilde{F}$ irreduzibel.
2. Wenn $F$ kein Vielfaches von $X_n$ ist und $\tilde{F}$ irreduzibel ist, so ist auch $F$ irreduzibel.

Aufgabe

Es sei  $F\in K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$  ein irreduzibles homogenes Polynom $\ne X_n$ und es sei $\tilde{F}$ die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich der Variablen $X_n$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. $K[\frac{X_0}{X_n},\frac{X_1}{X_n},\dots ,\frac{X_{n-1}}{X_n}]/(\tilde{F})$ ist ein Unterring des Quotientenkörpers von $K[X_0,X_1,\dots ,X_n]/(F)$.
2. Der Quotientenkörper zu $K[\frac{X_0}{X_n},\frac{X_1}{X_n},\dots ,\frac{X_{n-1}}{X_n}]/(\tilde{F})$ ist ein Unterkörper des Quotientenkörpers von $K[X_0,X_1,\dots ,X_n]/(F)$.
3. Wenn man $F$ nach einer anderen Variablen dehomogenisiert (und $F$ keine Variable ist), so entsteht in Teil (2) der gleiche Quotientenkörper.

Den gemeinsamen Quotientenkörper der affinen Koordinatenringe nennt man den Funktionenkörper der projektiven Hyperfläche $V_{+}(F)$.

Aufgabe

Es sei  $F\in K[X_0,X_1,\dots ,X_n]$  ein irreduzibles homogenes Polynom, das keine Variable sei. Es sei  $P\in V_{+}(F)$  ein Punkt, es sei  $P\in V_{+}(F)\cap D_{+}(X_i)$  eine affine Umgebung und sei $\tilde{F}$ die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich $X_i$. Zeige, dass der im affinen Koordinatenring $K[\frac{X_0}{X_i},\frac{X_0}{X_i},\dots ,\frac{X_{i-1}}{X_i},\frac{X_{i+1}}{X_i},\dots ,\frac{X_n}{X_i}]/(\tilde{F})$ gebildete lokale Ring zum Punkt $P$ für jedes $i$ mit  $P\in D_{+}(X_i)$  den gleichen Unterring im Funktionenkörper zu $V_{+}(F)$ ergibt.

Aufgabe

Es sei  $P=(a,b,c)\in V_{+}(F)\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  ein Punkt einer ebenen projektiven Kurve über einem Körper $K$. Zeige, dass man die Glattheit von $P$ in einer beliebigen affinen Umgebung $D_{+}(X),D_{+}(Y),D_{+}(Z)$ (zu der $P$ gehören muss) überprüfen kann.

Aufgabe *

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

$V_{+}(X^4+Y^{3}Z+Z^4)\subset {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

glatt ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

$V_{+}(X^4+Y{Z}^3+Z^4)\subset {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

glatt ist.

Aufgabe

Es sei  $P=(a,b,c)\in V_{+}(F)\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  ein glatter Punkt einer ebenen projektiven Kurve über einem Körper $K$. Es sei  $P\in D_{+}(Z)$,  also  $c\ne 0$.  Zeige, dass das lineare homogene Polynom

$\frac{\partial F}{\partial X}(P)X+\frac{\partial F}{\partial Y}(P)Y+\frac{\partial F}{\partial Z}(P)Z$

die Homogenisierung des affin-linearen Polynoms ist, das die Tangente in $D_{+}(Z)$ beschreibt, vergleiche Bemerkung 2.4.

Aufgabe *

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

$V_{+}(F)\subset {\mathbb{P}}_K^2$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

$(\frac{\partial F}{\partial X},\frac{\partial F}{\partial Y},\frac{\partial F}{\partial Z})$

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich $0$ sind.

Aufgabe

Es sei  $F=G+ZH$  ein homogenes Polynom vom Grad $\ge 3$ in drei Variablen mit  $G,H\in K[X,Y]$,  wobei $K$ einen Körper bezeichnet. Zeige, dass  $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$  nicht glatt ist.

Aufgabe

Es sei  $C\subseteq {𝔸}_{ℂ}^2$  eine glatte Quadrik. Zeige, dass auch der projektive Abschluss

$\tilde{C}\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

glatt ist.

Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe

Bestimme für die durch $V({(X^2+Y^2)}^2-X^2+Y^2)$ gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb{P}}_{ℂ}^2$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.

Die Tschirnhausen Kubik

Aufgabe

Bestimme für die durch $V(X^3+3X^2-Y^2)$ gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.

Aufgabe

Bestimme für das durch $V(X^3+Y^3-3XY)$ definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb{P}}_{ℂ}^2$ und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.

Aufgabe *

Wir betrachten die ebene affine Kurve

$C=V(X^2{Y}^4+X^4{Y}^2+X+X^4+Y+Y^4)$

über  $K=\mathbb{Z}/(2)$  und die durch die Homogenisierung gegebene projektive Kurve

$D=V_{+}(X^2{Y}^4+X^4{Y}^2+X{Z}^5+X^4{Z}^2+Y{Z}^5+Y^4{Z}^2)$

1. Zeige, dass $C$ glatt ist.
2. Man folgere, dass das Polynom $X^2{Y}^4+X^4{Y}^2+X+X^4+Y+Y^4$ irreduzibel ist.
3. Zeige, dass jeder Punkt aus $K^2$ zu $C$ gehört.
4. Zeige, dass jeder $K$-Punkt aus ${\mathbb{P}}_K^2$ zu $D$ gehört.
5. Zeige, dass $D$ nicht glatt ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die kubische projektive Kurve

$V_{+}(X^3+Y^3+Z^3+X{Y}^2+Y{Z}^2+Z{X}^2+XYZ)\subseteq {\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}/(2)}^2$

über dem Körper $\mathbb{Z}/(2)$.

1. Zeige, dass die Kurve keine $\mathbb{Z}/(2)$-Punkte besitzt.
2. Zeige, dass die Kurve nicht glatt ist.
3. Bestimme einen Erweiterungskörper

   $\mathbb{Z}/(2)\subseteq {𝔽}_{2^k},$

   über dem die Kurve einen singulären Punkt besitzt.

Die folgende Aufgabe beschreibt eine weitere wichtige Charakterisierung von kongruenten Zahlen.

Aufgabe *

Es sei  $n\ge 1$  eine natürliche Zahl. Zeige, dass $n$ genau dann eine kongruente Zahl ist, wenn es eine rationale Zahl $q$ derart gibt, dass die drei Zahlen $q-n,q,q+n$ Quadrate in $\mathbb{Q}$ sind.

Aufgabe *

Finde drei Quadratzahlen

$u^2<v^2<w^2$

derart, dass der Abstand von $u^2$ zu $v^2$ gleich dem Abstand von $v^2$ zu $w^2$ ist.

In der folgenden Aufgabe wird unter Verwendung von Satz 10.8 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)) bewiesen, dass $2$ keine kongruente Zahl ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.

Aufgabe

Finde ausgehend vom pythagoreischen Tripel $(5,12,13)$ mit Lemma 4.13 einen Punkt auf der durch  $Y^2=X^3-900X$  gegebenen elliptischen Kurve