Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 10/kontrolle

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Isogenien

Es seien zwei Gitter gegeben, das eine Gitter sei also in dem anderen Gitter enthalten, d.h. ist ein Untergitter von . Beispielsweise ist ein Untergitter des Standardgitters . Wenn man ein Gitter mit einer positiven natürlichen Zahl streckt, so erhält man die Untergitterbeziehung . Hierbei sind und zueinander streckungsäquivalent, es kann also durchaus sein, dass ein streckungsäquivalentes Gitter als Untergitter von sich selbst auftritt.

Lattice torsion points.svg



Lemma  Lemma 10.1 ändern

Es sei ein Untergitter eines Gitters in .

Dann gibt es derart, dass gilt.

Beweis  

Es sei und . Dann gibt es mit und . Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist

Somit gibt es eine weitere Matrix mit

Mit diesem gilt die Behauptung.




Lemma  Lemma 10.2 ändern

Zu Gittern

gibt es einen kanonischen surjektiven Gruppenhomomorphismus

dessen Kern gleich und insbesondere endlich ist.

Beweis  

Unter dem Gruppenhomomorphismus

wird insbesondere auch das Untergitter auf abgebildet, d.h. gehört zum Kern von . Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus

Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu . Dies ist eine endliche Gruppe.




Lemma  Lemma 10.3 ändern

Zu Gittern

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

eine endliche Überlagerung, deren Fasern gleich sind. Die Gruppe der Decktransformationen ist isomorph zu .

Beweis  

Es liegt das kommutative Diagramm

wobei und nach Satz 8.6 Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung , für die es in die disjunkten und zu homöomorphen offenen Umgebungen , , gibt, ist das Urbild in die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen , , wobei

Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.

Ein Element definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus

derart, dass das Diagramm

kommutiert. Dabei definiert genau dann die Identität auf , wenn ist, also wenn in ist. Die Addition in entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.




Lemma  Lemma 10.4 ändern

Zu Gittern

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

ein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen.

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 10.2 und aus Lemma 10.3, da die holomorphen Strukturen auf bzw. beide von geerbt sind (siehe Satz 8.6).



Definition  Definition 10.5 ändern

Zu komplexen Tori und nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus eine Isogenie

Nach Lemma 10.4 ist also zu einem Untergitter die induzierte Abbildung eine Isogenie.



Lemma  Lemma 10.6 ändern

Es sei ein Gitter und .

Dann führt die Multiplikation mit zu einem kommutativen Diagramm

von Gruppenhomomorphismen. Die Abbildung ist eine surjektive Isogenie und der Kern von wird durch die Elemente

repräsentiert.

Beweis  

Es liegt die Untergitterbeziehung vor, daher folgen die Aussagen aus Lemma 10.4.


Der folgende Satz charakterisiert die nichtkonstanten Isogenien.



Lemma  Lemma 10.7 ändern

Es seien Gitter. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Es gibt ein mit .
  2. Es gibt einen surjektiven Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen
  3. Es gibt einen Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

    mit einem endlichen Kern.

  4. Es gibt einen nichtkonstanten Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

Beweis  

Von (1) nach (2), (3). Nach Satz 10.8 können wir durch ersetzen, da dies den Quotienten mit seiner holomorphen Struktur nicht ändert. Die Aussage (2) und (3) folgen somit aus Lemma 10.2 und Lemma 10.4. Aus (2) bzw. (3) folgt direkt (4). Sei also (4) erfüllt. Wir betrachten den zusammengesetzten holomorphen Gruppenhomomorphismus

Der Kern dieser Abbildung umfasst . Nach Lemma 8.15 besitzt diese Gesamtabbildung eine Faktorisierung

mit einer komplexen Zahl . Somit gilt und wegen der Nichtkonstanz ist .




Satz  Satz 10.8 ändern

Es seien Gitter.

Dann sind und genau dann zueinander streckungsäquivalent, wenn und als komplexe Lie-Gruppen isomorph sind.

Beweis  

Die Hinrichtung wurde in Lemma 9.11 gezeigt. Die Rückrichtung folgt aus Lemma 10.7.




Satz  Referenznummer erstellen

Es seien und komplexe Tori über und

eine nichtkonstante Isogenie.

Dann gibt es eine Isogenie

derart, dass die -Multiplikation auf ist.

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 10.7 und Lemma 10.1.




Lemma  Lemma 10.10 ändern

Es seien und komplexe Tori.

Dann entsprechen die Isogenien den komplexen Zahlen mit .

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 10.7.




Lemma  Referenznummer erstellen

Es seien komplexe Tori. Dann gelten folgende Aussagen

  1. Wenn und

    Isogenien sind, so ist auch eine Isogenie.

  2. Wenn

    Isogenien sind, so ist auch ihre Summe eine Isogenie.

Beweis  

  1. Ist klar.
  2. Folgt direkt aus dem Diagramm



Definition  Referenznummer erstellen

Komplexe Tori über heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie gibt.



Endomorphismenring

Definition  Referenznummer erstellen

Es sei ein Gitter und der zugehörige komplexe Torus. Man nennt

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von .



Lemma  Referenznummer erstellen

Beweis  

Bei der Korrespondenz aus Lemma 10.10 zwischen Isogenien und Multiplikationen in entsprechen sich auch die Hintereinanderschaltungen und die Summen. Dies gilt insbesondere für , so dass sich alles innerhalb von abspielt. Es liegt also eine Unterring von vor.


Der Standardfall ist, dass der Endomorphismenring gleich ist und einfach nur aus den Multiplikationen mit ganzen Zahlen im Sinne von Lemma 10.6 besteht. Es gibt aber auch Fälle, wo der Endomorphismenring größer ist. Wenn das definierende Gitter ist, so ist die entscheidende Frage, ob es komplexe Zahlen gibt mit . Wenn das Gitter in der Form gegeben ist, so muss selbst zu dem Gitter gehören, also , und es muss

gelten, also . D.h. muss eine quadratische Gleichung über erfüllen. Daher besteht ein enger Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven über mit „großem“ Endomorphismenring und imaginär-quadratischen Zahlbereichen.


Beispiel  Referenznummer erstellen

Zum Gitter gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit , die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring der elliptischen Kurve ist .



Beispiel  Referenznummer erstellen

Zum Gitter gibt es neben den Multiplikationen mit einer ganzen Zahl noch die Multiplikation mit , die das Gitter in sich selbst überführt. Der Endomorphismenring des komplexen Torus ist .