Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 6

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Die Gruppenstruktur

Ein wesentliches Charakteristikum einer elliptischen Kurve ist, dass es auf ihr die Struktur einer kommutativen Gruppe gibt, die wir additiv schreiben. Dabei ist der Nullpunkt frei wählbar, man kann jeden -Punkt als neutrales Element wählen. Meistens wählt man eine Weierstraßgleichung und setzt dann den unendlich fernen Punkt als Nullpunkt an.

Bemerkung  

Addition on cubic (clean version).svg

Die Idee zu dieser Addition ist recht einfach und zeigt, warum hier der Kurvengrad entscheidend ist. Zwei verschiedenen Punkte legen eine Gerade in der projektiven Ebene fest. Der Durchschnitt besteht aus drei Punkten, gezählt mit Multiplizitäten, wobei natürlich und zum Durchschnitt gehören. Wenn die Gerade weder zu noch zu tangential ist, so gibt es noch einen weiteren Schnittpunkt . Dieser Punkt ist nun nicht die Summe von und . Dies kann nicht sein, da ja die drei Punkte des Schnittes gleichberechtigt sind (dann würde beispielsweise , also für alle Punkte gelten). Stattdessen gilt für ein solches kolineares Punktetripel

also . Wo liegt ? Nach dem gleichen Prinzip gilt

d.h. ist der dritte Schnittpunkt der Kurve mit der durch und festgelegten Geraden. Wenn die Gerade tangential zu ist, so ist die obige Gleichung als

zu interpretieren und

Von dieser Idee her kann man sich gut vorstellen, dass es eine wohldefinierte Verknüpfung auf einer elliptischen Kurve gibt. Es ist aber keineswegs klar, dass diese durch polynomiale Ausdrücke gegeben ist, dass sie assoziativ ist und dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt.


Bemerkung  

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

vorliegt. Es sei der unendlich ferne Punkt. Wir möchten die in Bemerkung ***** beschriebene Idee zur Gruppenaddition auf der elliptischen Kurve in Formeln fassen. Zunächst legen wir als neutrales Element fest. Somit ist und

für jeden Punkt der Kurve. Im folgenden können wir uns also auf affin gegebene Punkte beschränken, wobei allerdings in der Summe der Punkt wieder auftauchen wird. Wir definieren zuerst das Negative. Zu einem Punkt

ist

Dies ist natürlich wieder ein Punkt der Kurve, da ja dort allein quadratisch eingeht. Ferner liegen die drei Punkte und auf der durch

gegebenen Geraden. Wenn hierbei ist, so ist

und die eben angeführte Gerade ist tangential an diesen Punkt.

Zur Berechnung der Addition seien die beiden (verschiedenen) Punkte durch

und

gegeben. Die verbindende Gerade ist dann

(einfach die beiden Punkte einsetzen). Da die Punkte verschieden sind, sind sie in mindestens einer Koordinaten verschieden und somit liegt in der Tat eine Gerade vor. Wenn ist, so ist

und die verbindende Gerade wird wie oben zu

mit als drittem Schnittpunkt. In diesem Fall ist

Sei nun . Wir schreiben die Geradengleichung als

mit

und

Ein Punkt auf der Geraden hat die Form . Die Bedingung, dass er auf der Kurve liegt, wird zu

bzw. zu

Von dieser Gleichung in der einen Variablen kennen wir aber schon die Lösungen und . Deshalb gilt

mit einer dritten, noch nicht bekannten Lösung . Der Koeffizient zu führt auf

und damit

Somit ist


Bemerkung  

Bei gegeben ist nicht bestimmt, da es von abhängt. Allerdings gibt es für jeweils nur zwei Möglichkeiten, die jeweils negativ zueinander sind. Aus der Bedingung

ergibt sich

und daraus

d.h. erfüllt eine explizite quadratische Gleichung über einem von rational von abhängigen Ausdruck.



Bemerkung  

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

vorliegt. Die Tangente in einem Punkt ist durch die lineare Gleichung

gegeben. Diese Gerade hat mit der Kurve in einen doppelten Schnittpunkt und es muss noch einen weiteren Schnittpunkt geben. Wenn man die Gleichung nach auflöst, so erhält man (bei )

Die Rechnungen aus Bemerkung ***** führen auf

und damit

und

Bei ist eine Nullstelle von und die Tangente ist durch gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist .


Es ist

Die Steigung der Verbindungsgerade besitzt also eine zweifache Darstellung, aus der rechten Darstellung ist klar, dass sie auch bei

definiert ist und dass der Zähler in die Ableitung übergeht. Mit dieser Steigung ist stets

und

mit .




Satz  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper mit kurzer Weierstraßgleichung .

Dann ist die Addition auf durch die rationalen Ausdrücke

mit

und

gegeben.

Beweis  




Korollar  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper mit kurzer Weierstraßgleichung .

Dann ist die Verdoppelung eines Punktes durch die rationalen Ausdrücke

mit

gegeben.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 6.5, wobei man für wegen den zweiten Ausdruck verwenden muss. Für die letzte Darstellung siehe Aufgabe *****.




Korollar  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper mit kurzer Weierstraßgleichung . Es sei

und wir definieren rekursiv

und

wobei es sich um rationale Funktionen in der einen Variablen handelt.

Dann wird die -te Vervielfachung eines Punktes auf durch die rationalen Ausdrücke

beschrieben.

Beweis  

Für handelt es sich um Korollar 6.6. Wir führen Induktion nach . Nach Satz 6.5 mit , und gilt



Morphismen

Die soeben besprochene Gruppenstruktur ist eine Abbildung

die durch rationale Ausdrücke, also Quotienten aus Polynomen gegeben sind. Dabei haben wir auch gesehen, dass diese Darstellung als Quotient, anders als nach Kürzung bei einem Polynomring, nicht eindeutig ist. Entsprechend sind die Negationsabbildung

und die Vervielfachungen

durch rationale Ausdrücke geben. Eine elliptische Kurve in Weierstraßform kann man auf die projektive Gerade projizieren, indem man nur die -Koordinate betrachtet (bzw. projektiv betrachtet). All diese Abbildungen werden in der Welt der Varitäten durch eine geeignete Klasse von Abbildungen beschrieben, die Morphismen.


Definition  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affine Varietät. Es sei ein Punkt, eine Zariski-offene Menge mit und es sei eine Funktion. Dann heißt algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt , wenn es Elemente gibt mit und mit

Die Funktion heißt algebraisch (oder algebraisch auf ), wenn in jedem Punkt von algebraisch ist.

Sämtliche Polynome aus kann man direkt als reguläre Funktionen auf einer affinen Teilmenge

und ebenso auf einer jeden offenen Teilmenge auffassen. Hier braucht man keine Nenner und auch keine von den Punkten abhängige Darstellung. Man kann sogar zeigen, dass auf einer Varietät die Menge der regulären Funktionen mit dem Restklassenring übereinstimmt, falls ein Radikalideal ist, siehe Satz 14.9 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)).


Definition  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, eine projektive Varietät, eine offene Teilmenge und ein Punkt. Dann heißt eine Funktion

algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt , wenn es eine offene affine Umgebung

derart gibt, dass auf die eingeschränkte Funktion algebraisch im Punkt ist. heißt algebraisch auf , wenn in jedem Punkt aus algebraisch ist.

Zu einer offenen Menge bildet die Menge der auf definierten regulären Funktionen wieder eine kommutative -Algebra, die wieder mit bezeichnet wird. Von nun an verstehen wir unter einer projektiven Varietät ein projektives Nullstellengebilde zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der regulären Funktionen. Diese Konzepte übertragen sich sofort auf offene Teilmengen, was zum Begriff der quasiprojektiven Varietät führt.


Definition  

Eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen nennt man eine quasiprojektive Varietät.

Insbesondere ist eine projektive Varietät aber auch eine affine Varietät quasiprojektiv. Letzteres folgt daraus, dass man eine affine Varietät zu einer projektiven Varietät fortsetzen kann, in der eine offene Teilmenge ist.


Definition  

Es sei eine irreduzible quasiprojektive Varietät. Dann ist der Halm von über alle nichtleeren offenen Mengen von ein Körper, den man den Funktionenkörper von nennt.

Wir bezeichnen den Funktionenkörper zumeist mit . Bei einer irreduziblen Varietät liegen alle auf irgendwelchen offenen Mengen definierten regulären Funktionen in dem einen Funktionenkörper. Wenn eine offene affine Teilmenge mit globalem Schnittring ist, so ist der Funktionenkörper gleich dem Quotientenkörper von . Für eine elliptische Kurve in Weierstraßform ist der Funktionenkörper gleich . Im Fall einer irreduziblen Varietät der Dimension ist der Funktionenkörper zu ein Körper über mit dem Transzendenzgrad , d.h. es gibt eine endliche Körpererweiterung . Speziell haben bei irreduziblen Kurven die Funktionenkörper den Transzendenzgrad . Im Kurvenfall gilt sogar der folgende Satz.


Satz

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper.

Dann gibt es eine Entsprechung zwischen den glatten projektiven Kurven über und den Körpern über vom Transzendenzgrad .

Ohne die beiden Voraussetzungen glatt und projektiv stimmt diese Aussage hochgradig nicht. Man sollte diese Aussage als einen deutlichen Hinweis darauf verstehen, dass die Eigenschaften glatt und projektiv eine optimale Version des Funktionenkörpers liefern. Die Grundidee für den Beweis dieses Satzes ist, in dem Körper mit Transzendenzgrad die Mengen aller diskreten Bewertungsringe oberhalb von zu nehmen und aus diesen die Punkte einer Kurve zu machen.

In höherer Dimension gilt die Aussage nicht, man kann jede Körpererweiterung von mit endlichem Transzendenzgrad als Funktionenkörper einer -dimensionalen (auch projektiven) Varietät realisieren. Man kann auch, zumindest in Charakteristik , Glattheit erreichen, es gibt aber verschiedene konkurrierende Modelle. Die Menge aller diskreten Bewertungsringe ist hier viel zu groß und kann nicht zu einer Varietät gemacht werden.


Definition  

Es seien und quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine stetige Abbildung. Dann nennt man einen Morphismus (von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge und jede algebraische Funktion gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

zu gehört.

Jede reguläre Funktion auf definiert einen Morphismus



Definition  

Es seien und quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

ein Morphismus. Man nennt endlich, wenn es eine offene affine Überdeckung derart gibt, dass auch die Urbilder affin sind und die zugehörigen Ringhomomorphismen

endlich sind.



Satz  

Es seien und irreduzible projektive Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ein Morphismus.

Dann ist entweder konstant oder aber ein endlicher Morphismus.

Beweis  


Ein endlicher Morphismus

zwischen irreduziblen Kurven führt in natürlicher Weise zu einer endlichen Körpererweiterung der Funktionenkörper. Diese Erweiterung kann man durch die Quotientenkörper zu beliebigen offenen affinen Teilmengen erhalten. Über diese Beobachtung kann man viele Begrifflichkeiten aus der Körpertheorie in die Theorie der Kurven überführen, beispielsweise Grad und Separabilität. Es gilt sogar der folgende Zusammenhang.



Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper.

Dann gibt es eine Entsprechung zwischen den glatten projektiven Kurven über und den Körpern über vom Transzendenzgrad , wobei sich endliche Morphismen und endliche Körpererweiterungen entsprechen.

Beweis  




Lemma  

Es sei eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei der Funktionenkörper von .

Dann definiert jede rationale Funktion in natürlicher Weise einen Morphismus

in die projektive Gerade .

Beweis  

Es sei

der Definitionsbereich (als Funktion in die affine Gerade) von und (bei )

der Definitionsbereich von . Es gilt , da die diskrete Bewertungsringe sind und dort mit einer Einheit , einem lokalen Parameter und gilt. Nach Fakt ***** gibt es einen Morphismus

und einen Morphismus

die den Einsetzungshomomorphismen bzw. entsprechen. Auf dem Durchschnitt stimmen beide Morphismen überein, daher definieren sie insgesamt einem Morphismus in die projektive Gerade.



Lemma  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei

eine elliptische Kurve über mit einem fixierten Punkt .

Dann sind die Addition

die Negation

und die Vervielfachung

Morphismen.

Beweis  




Definition  

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper und sei . Man nennt die zusammengesetzte Abbildung

die Translation mit . Sie wird mit bezeichnet.

Aufgrund von Lemma 6.17 handelt es sich bei einer Translation um einen Morphismus. Translationen sind Automorphismen, die Umkehrabbildung zu ist . Da mittels der Translation der Punkt in den Punkt ismorph überführt wird, sieht eine elliptische Kurve in jedem Punkt gleich aus. Man spricht von einem homogenen Objekt. Die affinen Räume und die projektiven Räume sind ebenfalls in diesem Sinne homogen, die meisten Varietäten sind es aber nicht, häufig ist die Automorphismusgruppe endlich.






Definition  

Eine abelsche Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist eine irreduzible projektive Varietät , die zugleich eine Gruppenvarietät ist.

Man kann zeigen, dass auf einer abelschen Varietät die Gruppenstruktur stets kommutativ ist und dass es sich um eine glatte Varietät handelt. Elliptische Kurven sind einfach die eindimensionalen abelschen Varietäten. Statt irreduzibel genügt es, zusammenhängend zu fordern. Nichtprojektive Gruppenvarietäten müssen nicht kommutativ sein, beispielsweise ist die allgemeine lineare Gruppe eine irreduzible nichtkommutative Gruppenvarietät. Ein großer Unterschied zwischen elliptischen Kurven und abelschen Varietäten höherer Dimension ist, dass letztere nicht durch einfache Gleichungen beschrieben werden können. Insbesondere können sie nicht durch eine einzige Gleichung beschrieben werden.


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