Kurs:Funktionentheorie/9/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 5 | 2 | 5 | 4 | 0 | 3 | 4 | 7 | 3 | 4 | 0 | 3 | 3 | 2 | 0 | 53 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein offener Kreisring in .
- Die
antiholomorphe Ableitung
einer reell differenzierbaren Funktion
offen.
- Eine sternförmige Teilmenge in einem reellen Vektorraum .
- Ein
Pol
einer holomorphen Funktion
- Eine relative Homotopie von stetigen Wegen.
- Die Eisenstein-Reihe vom Gewicht zu einem Gitter .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
- Der Satz von Liouville.
- Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme die Ableitungsfunktion einer gebrochen-linearen Funktion
(mit ) und insbesondere die Ableitung (bei ) im Nullpunkt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring .
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei
Wegen
ist diese Funktion auf dem offen Intervall streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ). Dabei ist . Es sei
die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung
die Koeffizienten .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien endlichdimensionale normierte - Vektorräume, sei eine offene Teilmenge und sei eine -wertige stetige - Differentialform auf . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg und sei eine obere Schranke für auf . Zeige, dass die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den riemannschen Hebbarkeitssatz.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine Überlagerung von topologischen Räumen und mit hausdorffsch. Zeige, dass dann auch hausdorffsch ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges (der Weg verlaufe unten rum nach rechts).
Aufgabe (0 Punkte)