Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/5/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	1	2	8	3	3	2	1	2	4	4	3	3	2	6	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Die Abbildung

   $G\colon M\longrightarrow L,$

   die jedes Element ${}y\in M$ auf das eindeutig bestimmte Element ${}x\in L$ mit ${}F(x)=y$ abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu ${}F$.

2. Die Relation ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
   2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
   3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.
3. Die Zahl ${}b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen ${}\neq 0$ der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ das Kleinste ist.
4. Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

   und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.
5. Zwischen den Größen ${}x$ und ${}y$ liegt ein proportionaler Zusammenhang vor, wenn die Beziehung

   ${}y=cx\,$

   mit einer festen Zahl ${}c$ besteht.

6. Zu einer rationalen Zahl ${}x$ ist die Gaußklammer ${}\left\lfloor x\right\rfloor$ durch

   $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$

   definiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Für natürliche Zahlen ${}n,k$ gilt

   ${}n\geq k\,$

   genau dann, wenn es ein ${}m\in \mathbb {N}$ gibt mit

   ${}n=k+m\,.$

2. Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

   ${}n=qd+r\,.$

3. Zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ besitzen die beiden Gleichungen

   $a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

   eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

$(a+b)^{3}$

mit Hilfe der ersten binomischen Formel und des Distributivgesetzes.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}(a+b)^{3}&=(a+b)(a+b)^{2}\\&=(a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})\\&=a(a^{2}+2ab+b^{2})+b(a^{2}+2ab+b^{2})\\&=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}\\&=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?

Lösung

1. Induktionsbeweis.
2. Beweis durch Widerspruch.
3. Beweis durch Fallunterscheidung.

Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w f w f f f w w f f f

Lösung

${}\neg p\wedge q$.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.

1. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
2. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht.

Lösung

1. In dieser Nacht gibt es eine Katze, die nicht grau ist.
2. Es gibt eine Nacht und eine Katze, die in dieser besagten Nacht nicht grau ist.

Aufgabe (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Die Kinder sitzen in einem Stuhlkreis mit Stühlen, die von ${}1$ bis ${}10$ durchnummeriert sind. Sie denken sich die folgende feste Wechselvorschrift aus, die durch die folgende Wertetabelle festgelegt wird.

${}n$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$	${}10$
${}F(n)$	${}2$	${}9$	${}6$	${}5$	${}10$	${}1$	${}8$	${}7$	${}3$	${}4$

Bei einem Wechselvorgang muss also das Kind, das auf dem Stuhl mit der Nummer ${}n$ sitzt, auf den Stuhl mit der Nummer ${}F(n)$ hinüberwechseln. Ein Wechselvorgang wird dadurch eingeleitet, dass Frau Maier-Sengupta in die Hände klatscht.

1. Mustafa Müller sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer ${}8$. Auf welchem Stuhl sitzt er, nachdem Frau Maier-Sengupta dreimal in die Hände geklatscht hat.
2. Lucy Sonnenschein sitzt zu Begin auf dem Stuhl Nummer ${}9$. Auf welchem Stuhl sitzt sie, nachdem Frau Maier-Sengupta achtmal in die Hände geklatscht hat.
3. Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit sowohl Mustafa als auch Lucy wieder auf ihren Ausgangsstühlen sitzen.
4. Wie oft muss Frau Maier-Sengupta klatschen, damit alle Kinder zum ersten Mal wieder auf ihrem Ausgangsstuhl sitzen.
5. Beschreibe durch eine Wertetabelle die Gesamtwechselvorschrift, wenn Frau Maier-Sengupta ${}973$-mal in die Hände klatscht.

Lösung

1. Mustafa Müller bewegt sich ${}8\mapsto 7\mapsto 8\mapsto 7$, nach dreimaligem Klatschen Sitz er auf Stuhl ${}7$.
2. Lucy Sonnenschein bewegt sich ${}9\mapsto 3\mapsto 6\mapsto 1\mapsto 2\mapsto 9$, nach achtmaligem Klatschen sitzt sie also auf Stuhl ${}1$.
3. Mustafa ist nach zweimaligem Klatschen wieder auf seinem Platz, Lucy nach fünfmaligem Klatschen. Daher sind die beiden nach zehnmaligem Klatschen wieder auf ihren Plätzen.
4. Neben den oben angeführten Zyklen gibt es noch ${}4\mapsto 5\mapsto 10\mapsto 4$. Also sind nach dreißigmaligem Klatschen alle Kinder zurück auf ihren Stühlen.
5. Da sich alles nach ${}30$ Durchgängen wiederholt, kann man davon ausgehen, dass ${}13$-mal geklatscht wird. Mit den berechneten Zykeln ist das Ergebnis einfach zu berechnen.

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$	${}10$
   ${}F^{973}(x)$	${}3$	${}6$	${}2$	${}5$	${}10$	${}9$	${}8$	${}7$	${}1$	${}4$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Durchschnitt“ auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$.

Lösung

Die Menge sei ${}M=\{a,b\}$, die Potenzmenge ist dann

${}{\mathfrak {P}}\,(M)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\,.$

Die Verknüpfungstabelle für den Durchschnitt ist

${}\cap$	${}\emptyset$	${}\{a\}$	${}\{b\}$	${}\{a,b\}$
${}\emptyset$	${}\emptyset$	${}\emptyset$	${}\emptyset$	${}\emptyset$
${}\{a\}$	${}\emptyset$	${}\{a\}$	${}\emptyset$	${}\{a\}$
${}\{b\}$	${}\emptyset$	${}\emptyset$	${}\{b\}$	${}\{b\}$
${}\{a,b\}$	${}\emptyset$	${}\{a\}$	${}\{b\}$	${}\{a,b\}$

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Differenz und endliche Mengen.

Lösung

Es ist

${}M=T\uplus (M\setminus T)\,$

eine disjunkte Zerlegung. Daher gilt nach Satz 8.14 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))

${}m={\#\left(M\right)}={\#\left(T\right)}+{\#\left(M\setminus T\right)}=k+{\#\left(M\setminus T\right)}\,.$

Somit erfüllt ${}{\#\left(M\setminus T\right)}$ die charakteristische Eigenschaft der Differenz und ist daher gleich ${}m-k$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis ${}n\geq 2$ nur ein- und zweistellige Zahlen auftreten.

Lösung

Im kleinen Einmaleins zur Basis ${}n$ werden alle Produkte

$i\cdot j{\text{ mit }}i,j<n,$

aufgelistet. Das Maximum davon ist

${}(n-1)(n-1)=n^{2}-2n+1<n^{2}\,.$

Die Zifferndarstellung von dieser Zahl zur Basis ${}n$ benötigt also nicht die zweite Potenz von ${}n$, daher genügen zwei Ziffern.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Lösung

Es ist

${}1728=2^{6}\cdot 3^{3}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es gibt ${}24$ Schokoriegel und ${}16$ Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?

Lösung

Es sei ${}n$ die Anzahl der Kinder. Damit die Schokoriegel gerecht verteilt werden können, muss ${}n$ ein Teiler von ${}24$ sein, und damit die Äpfel gerecht verteilt werden können, muss ${}n$ ein Teiler von ${}16$ sein. Die Zahl ${}n$ muss also ein gemeinsamer Teiler von ${}16$ und ${}24$ sein. Damit ist

${}n=1,2,4,8\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}z$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}z$ ist teilerfremd zu ${}10$.
2. ${}z$ ist teilerfremd zu ${}10^{k}$ für ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$.
3. ${}z$ ist teilerfremd zu ${}10^{k}$ für jedes ${}k\in \mathbb {N}$.
4. Die Endziffer von ${}z$ im Zehnersystem ist ${}1,3,7$ oder ${}9$.

Lösung

Wegen

${}10^{k}=2^{k}\cdot 5^{k}\,$

bedeuten (1), (2) und (3) jeweils, dass in der Primfaktorzerlegung von ${}z$ weder ${}2$ noch ${}5$ vorkommt. Wegen

${}z=10v+r\,$

mit der Endziffer ${}r$ zwischen ${}0$ und ${}9$ ist ${}z$ ein Vielfaches von ${}2$ (bzw. von ${}5$) genau dann, wenn das für die Endziffer ${}r$ gilt. Dies sind aber genau die geraden Ziffern oder die ${}5$. Dass ${}z$ weder ein Vielfaches der ${}2$ noch der ${}5$ ist, ist somit äquivalent dazu, dass die Endziffer gleich ${}1,3,7$ oder ${}9$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Die beiden Flöhe Carlo und Fredo sitzen im Nullpunkt eines beidseitig unendlich langen Zentimeterbandes. Carlo kann Sprünge der Weite ${}255$ und ${}561$ (in Zentimeter) machen, Fredo kann Sprünge der Weite ${}357$ und ${}595$ machen. Auf welchen Zentimeterpositionen können sich die beiden Flöhe begegnen?

Lösung

Wir bestimmen zuerst, auf welchen Positionen sich jeweils die beiden Flöhe befinden können, indem wir den euklidischen Algorithmus anwenden. Für Carlo ergibt sich

${}561=2\cdot 255+51\,,$

${}255=5\cdot 51\,,$

der größte gemeinsame Teiler der beiden Sprungweiten ist also ${}51$ und die möglichen Positionen von Carlo sind ${}51\mathbb {Z}$. Für Fredo ergibt sich

${}595=1\cdot 357+238\,,$

${}357=1\cdot 238+119\,,$

${}238=2\cdot 119\,,$

der größte gemeinsame Teiler der beiden Sprungweiten ist also ${}119$ und die möglichen Positionen von Fredo sind ${}119\mathbb {Z}$. Die gemeinsamen Positionen von Carlo und Fredo werden durch

$51\mathbb {Z} \cap 119\mathbb {Z}$

beschrieben. Dafür müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}51$ und ${}119$ ausrechnen. Wegen

${}51=3\cdot 17\,$

und

${}119=7\cdot 17\,$

ist das kleinste gemeinsame Vielfache gleich

${}{\frac {51\cdot 119}{17}}=3\cdot 119=357\,.$

Die beiden Flöhe können sich also in den Positionen ${}357\mathbb {Z}$ treffen.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach Lemma 19.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (1)

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für ${}x\geq 3$ die Beziehung

${}x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}\,$

gilt.

Lösung

Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann

${}2x^{2}+2x+1\geq x^{2}+4x+4\,.$

In ${}K$ erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, sodass die Abschätzung äquivalent zu

${}x^{2}-2x-3\geq 0\,$

ist. Wir schreiben die linke Seite als

${}x^{2}-2x-3=x^{2}-2x+1-1-3=(x-1)^{2}-4\,.$

Bei ${}x\geq 3$ ist ${}x-1\geq 2$ und daher

${}(x-1)^{2}\geq 2(x-1)\geq 2^{2}=4\,,$

also gilt für ${}x\geq 3$ die Abschätzung

${}(x-1)^{2}-4\geq 0\,$

und damit die ursprüngliche Abschätzung.

Aufgabe (2 Punkte)

Vergleiche im Fünfersystem die beiden Brüche

${\frac {431}{243}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {303}{204}}.$

Lösung

Wir rechnen über Kreuz und erhalten

${}431\cdot 204=200024\,$

bzw.

${}243\cdot 303=140234\,.$

Daher ist

${}{\frac {431}{243}}>{\frac {303}{204}}\,.$

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei

$f\colon K\longrightarrow K$

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}f$ ist genau dann streng wachsend, wenn ${}f^{-1}$ streng wachsend ist.
2. ${}f$ ist genau dann streng fallend, wenn ${}f^{-1}$ streng fallend ist.

Lösung

Wegen der Symmetrie der Situation muss man für beide Aussagen nur die Hinrichtung zeigen.

1. Es sei ${}f$ streng wachsend und ${}u>v$ aus ${}K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}f(x)=u$ und ${}f(y)=v$. Für diese gilt

   ${}x>y\,,$

   da sich andernfalls direkt ein Widerspruch zum strengen Wachstum von ${}f$ ergibt. Somit ist

   ${}f^{-1}(u)=x>y=f^{-1}(v)\,$

   und ${}f^{-1}$ ist ebenfalls streng wachsend.

2. Es sei ${}f$ streng fallend und ${}u>v$ aus ${}K$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}f(x)=u$ und ${}f(y)=v$. Für diese gilt

   ${}x<y\,,$

   da sich andernfalls, aus ${}x\geq y$ wegen der Voraussetzung an ${}f$, streng fallend zu sein, direkt der Widerspruch ${}u=f(x)\leq f(y)=v$ ergibt. Somit ist

   ${}f^{-1}(u)=x<y=f^{-1}(v)\,$

   und ${}f^{-1}$ ist ebenfalls streng fallend.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.

Lösung

Es sei

${}z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$

gegeben und es sei ${}a_{i}=5b_{i}+r_{i}$ mit ${}b_{i}\in \mathbb {N}$ und ${}r_{i}$ zwischen ${}0$ und ${}4$ und

${}c_{i}=b_{i}+2r_{i+1}\,.$

Da ${}a_{i}\leq 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis ${}\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}$ mit ${}5$ multiplizieren und zeigen, dass man so ${}z$ zurückerhält. Es ist

${}{\begin{aligned}5\cdot {\left(\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\right)}&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5\cdot c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5\cdot {\left(b_{i}+2r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(5b_{i}+10r_{i+1}\right)}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }5b_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^{i}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }{\left(a_{i}-r_{i}\right)}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=\sum _{i=k-1}^{\ell }a_{i}10^{i}-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i+1}10^{i+1}\\&=z-\sum _{i=k-1}^{\ell }r_{i}10^{i}+\sum _{j=k}^{\ell +1}r_{j}10^{j}\\&=z,\end{aligned}}$

wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da ${}r_{k-1}$ und ${}r_{\ell +1}$ gleich ${}0$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}a$ und ${}b$ natürliche Zahlen mit ${}b$ positiv. Zeige durch Induktion nach ${}i$, dass man die Restfolgenglieder ${}r_{-i}$ im Divisionsalgorithmus direkt durch die Division mit Rest

${}10^{i}a=xb+r_{-i}\,$

erhalten kann.

Lösung

Bei ${}i=0$ fällt dies mit der Definition im Divisionsalgorithmus zusammen. Es sei also die Aussage für ein ${}r_{-i}$ schon bewiesen. Nach dem Divisionsalgorithmus ergibt sich das nächste ${}r_{-i-1}$ über die Division mit Rest

${}10r_{-i}=z_{-i}b+r_{-i-1}\,.$

Wir lösen nach ${}r_{-i-1}$ auf und erhalten unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung

${}{\begin{aligned}r_{-i-1}&=10r_{-i}-z_{-i}b\\&=10(10^{i}a-xb)-z_{-i}b\\&=10^{i+1}a-10xb-z_{-i}b\\&=10^{i+1}a-b(10x-z_{-i}).\end{aligned}}$

Umstellen ergibt

${}10^{i+1}a=b(10x-z_{-i})+r_{-i-1}\,,$

was bedeutet, dass der Rest bei der Division von ${}10^{i+1}a$ durch ${}b$ gleich ${}r_{-i-1}$ ist, wie behauptet.