Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/6/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 3 2 2 5 2 7 5 8 2 4 3 6 2 3 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Menge mit Elementen.
  2. Eine Relation auf einer Menge .
  3. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
  4. Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen .
  5. Die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen.
  6. Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.


Lösung

  1. Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

    gibt.

  2. Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
  3. Die ganzen Zahlen haben die Form und mit natürlichen Zahlen . Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
  4. Die natürliche Zahl heißt ein gemeinsames Vielfaches der , wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.
  5. Auf den rationalen Zahlen wird die Größergleichrelation durch (bei positiven Nennern ), falls in gilt, definiert.
  6. Es sei ein Dezimalbruch

    mit , , und gegeben, und es sei

    die Dezimaldarstellung von . Dann nennt man

    die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.
  2. Die Potenzgesetze für natürliche Zahlen.
  3. Der Satz über die algebraische Struktur der ganzen Zahlen.


Lösung

  1. Es seien und disjunkte [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|endliche Mengen]] mit bzw. Elementen. Dann besitzt ihre Vereinigung gerade Elemente.
  2. Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei und seien.
  3. Die ganzen Zahlen bilden einen [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|kommutativen Ring]].


Aufgabe (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).


Lösung

Es gibt ein Schwein, das mich anruft, oder es gibt eine Sau, die sich für mich interessiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.


Lösung Axiomatischer Aufbau/Vor- und Nachteile/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei . Zeige, wie man mit vier Multiplikationen berechnen kann.


Lösung

Sei

und

Dann ist

eine Berechnung mit vier Multiplikationen.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Lösung

Seien gegeben mit . Wir müssen zeigen, dass ist. Es ist

Da nach Voraussetzung injektiv ist, folgt , wie gewünscht.


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

  1. Zeige, dass für die Abschätzung

    gilt und somit stets ist.

  2. Besitzt die Verknüpfung

    ein neutrales Element?

  3. Berechne


Lösung

  1. Da die natürlichen Zahlen total geordnet sind, ist

    oder

    Im ersten Fall ist dann auch

    nach Fakt *****  (3) und somit erst recht

    Diese Abschätzung ergibt sich im anderen Fall genauso.

  2. Wir betrachten die Bedingung

    für alle , die für ein neutrales Element gelten muss. Dies muss insbesondere auch für gelten, was auf

    führt. Der einzige Kandidat ist also . Allerdings ist

    und somit ist nicht das neutrale Element. Es gibt also kein neutrales Element.

  3. Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Führe im Dreiersystem die Addition

schriftlich durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Halbring.


Lösung

Wir machen eine Doppelinduktion nach und nach . D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste durch Induktion nach (innere Induktion) und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang (äußere Induktion). Bei ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich . Sei also , so dass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges zeigen. Bei ist die Aussage klar. Sei die Aussage nun für ein

schon bewiesen. Dann ist

nach dem Distributivgesetz und mit der Induktionsvoraussetzung folgt die Aussage. Sei die Aussage nun für ein festes und jedes bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Wir interessieren uns für Eigenschaften von ganzen Zahlen, die nur davon abhängen, ob eine positive () oder eine negative Zahl () vorliegt.

  1. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation auf , die die Multiplikation auf (hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist) widerspiegelt.
  2. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung auf , die der Verknüpfung „Maximum nehmen“ auf (hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist) entspricht.
  3. Gibt es eine Beziehung zwischen diesen Verknüpfungen und den Verknüpfungen und auf , die das Verhalten von geraden und ungeraden Zahlen bei der Addition und der Multiplikation beschreiben?


Lösung

  1. Die Verknüpfungstabellen für und auf sind

    und

    Man erkennt, dass wenn man mit und mit identifiziert, dass dann die obere Multiplikation der unteren Addition und das Maximumnehmen der unteren Multiplikation entspricht.


Aufgabe (8 (1+1+1+3+2) Punkte)

Zur großen Pause fährt der Eiswagen „Largo Maggiore“ auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden.

  1. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird?
  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird?
  3. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird?
  4. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird?
  5. Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten?


Lösung

  1. Es gibt Möglichkeiten, da es für die erste Kugel , für die nächste , da diese von einer anderen Sorte als die erste sein muss, und für die dritte Möglichkeiten.
  2. Es geht um die Anzahl der dreielementigen Teilmengen aus der zehnelementigen Eissortenmenge, also gibt es

    Möglichkeiten.

  3. Für jede Kugel gibt es zehn Möglichkeiten, die Gesamtzahl ist also
  4. Wenn sie drei verschiedene Kugeln kauft, so sind das, wie unter (2) berechnet, Möglichkeiten. Wenn sie zwei verschiedene Kugeln kauft, so gibt es für die Auswahl der Sorten

    Möglichkeiten. Sodann muss man dabei aber noch festlegen, welche Sorte einmal und welche zweimal genommen wird. Daher gibt es hier Möglichkeiten. Wenn sie von einer Sorte drei Kugeln kauft, so gibt es dafür Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

    Möglichkeiten.

  5. Für die Möglichkeiten aus dem ersten Typ von (4) gibt es jeweils sechs Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sie aufgetürmt werden können, das macht die aus Teil (1). Für die Möglichkeiten aus dem zweiten Typ von (4) gibt es jeweils drei Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sie aufgetürmt werden können (an welcher Stelle kommen die einzelnen Kugeln?), das macht Möglichkeiten. Für den dritten Typ aus (4) ist die Reihenfolge unerheblich, es bleibt also bei den Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich so gerechnet

    was dem Ergebnis aus Teil (3) entspricht.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Lösung

Die Primfaktorzerlegung von ist

Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form mit . Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form

Dies führt auf die und .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im -System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob eine Primzahl ist.


Lösung

Die Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis keine als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung

mit . Die Ziffern kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt hat in dem System die Ziffernentwicklung und somit taucht als Endziffer die auf.

Wenn umgekehrt die im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern derart gibt, dass ein Vielfaches von ist. Es ist also

Wenn prim wäre, so müsste nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren teilen, doch das geht nicht, da diese beiden kleiner als sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine Quadratzahl stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt.


Lösung

Es sei

und

die Primfaktorzerlegung von (mit verschiedenen Primfaktoren). Dann ist

Die Teiler von haben die Form

mit

für alle . Somit gibt es

Teiler von , und dies ist als ein Produkt von ungeraden Zahlen wieder ungerade.


Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

  1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
  2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
  3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?


Lösung

  1. Wenn er den langen Stab -mal hintereinander hinlegt, erreicht er Meter. Wenn er von dort aus den kleinen Stab rückwärts -mal hinlegt, erhält er Meter in die andere Richtung und damit insgesamt einen Meter.
  2. Die beiden Stäbe haben die Länge bzw. . Da er die Stäbe nur hintereinander bzw. nebeneinander hinlegen kann, wobei jeweils zwei Endpunkte übereinstimmen müssen, ist die Gesamtheit der erzielbaren Längen gleich

    Wir arbeiten mit dem Hauptnenner und schreiben dies als

    Von daher ist klar, dass er nur ganzzahlige Vielfache von legen kann. Da und teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen mit

    Er kann also in der Tat die Strecke hinlegen.

  3. Da er den Prozess, mit dem er hinlegt, beliebig oft und in beide Richtungen ausführen kann, kann er jedes ganzzahlige Vielfache von abmessen.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.


Lösung

Multiplikation liefert

Daher ist

und damit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper.

Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass
gilt.


Lösung

Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten

Aufgrund der Körperaxiome ist . Wir müssen also nur noch die Möglichkeit zum Widerspruch führen. Nehmen wir an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig addieren und erhält
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

also ist zugleich , ein Widerspruch.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Basen zu einem Stellenwertsystem (-er System und -er System). Es sei eine rationale Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis ?


Lösung

Nein. Sei

und

(im Zehnersystem). Im Dreiersystem ist und somit ist im Dreiersystem gleich

hat also eine abbrechende Ziffernentwicklung. Dagegen ist kein Dezimalbruch und hat somit im Dezimalsystem keine endliche Entwicklung.