Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 1 7 6 5 8 1 3 2 1 5 2 3 3 2 4 1 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Eine Primzahl.
  3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  4. Der -Exponent von einer ganzen Zahl zu einer Primzahl .
  5. Eine wachsende Abbildung auf einem angeordneten Körper .
  6. Ein Promille.


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.
  3. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  4. Man nennt den Exponenten, mit dem in der Primfaktorzerlegung von vorkommt, den -Exponenten von .
  5. Die Abbildung heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.
  6. Ein Promille ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.
  2. Der binomische Lehrsatz für einen kommutativen Halbring.
  3. Der Satz über den Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen.


Lösung

  1. Es seien und Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung

    die das Zählen (also die und die Nachfolgerabbildung)

    respektiert.
  2. Es sei ein kommutativer Halbring und . Ferner sei eine natürliche Zahl. Dann gilt
  3. Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und es sei . Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?


Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim). Die U-Bahnen nach Konsau fahren also etc. ab.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne mit Hilfe einer binomischen Formel.


Lösung

Es ist

wobei die zweite binomische Formel verwendet wurde.


Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Die Tiere gehören einer eindeutigen Generation an.

  1. Die -te Generation bestehe nur aus einem Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch aus diesem Geschlecht besteht.
  2. Die -te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
  3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
  4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?


Lösung

  1. Wenn die Generation nur aus dem Geschlecht besteht, so sind nur Paarungen innerhalb dieses Geschlechts möglich und das Ergebnis gehört stets diesem Geschlecht an. Mit Induktion folgt, dass dies über alle folgenden Generationen so bleibt.
  2. Die Generation bestehe aus einem Individuum des Geschlechts und aus einem Individuum des Geschlechts . Die Folgegeneration besteht dann ausschließlich aus dem dritten Geschlecht und nach Teil (1) überträgt sich das auf alle folgenden Generationen.
  3. Wenn es nur ein oder kein Individuum gibt, so ist keine Paarung möglich und die nächste Generation ist leer. Wenn es zwei Individuen gibt, so ist nur eine Paarung möglich und es gibt nur einen Nachkommen, der sich allein nicht fortpflanzen kann. Wenn es dagegen mindestens drei Individuen, egal welchen Geschlechts, gibt, so sind auch mindestens drei Paarungen möglich und die nächste Generation besitzt mindestens wieder drei Individuen.
  4. Wenn drei gleichgeschlechtliche Individuen in einer Generation leben, so erzeugen die drei möglichen Paare stets wieder ebendieses Geschlecht. Die Möglichkeiten sind oder oder und die Periodenlänge ist . Wenn drei unterschiedliche Geschlechter vertreten sind, so ist jedes Geschlecht durch genau ein Individuum vertreten, es liegt also . Die drei Paarungen führen dann wieder zu und die Periodenlänge ist ebenfalls . Wenn ein Geschlecht durch zwei Individuen verteten ist und ein zweites Geschlecht durch ein Individuum, sagen wir , so wird daraus und daraus und daraus . Die Periodenlänge ist also . Von diesem Typ gibt es zwei Generationsabfolgen, nämlich die mit (mit und ) und die mit (mit und ).


Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

Zu sei

Zu jedem und jedem seien die Abbildungen

durch

und die Abbildungen

durch

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

b) Erstelle eine Wertetabelle für

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .


Lösung

a)

b)

c) Wir behaupten

Die Komposition hat für die Elemente jeweils den folgenden Effekt:

Das Gesamtergebnis stimmt also mit überein.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige mittels vollständiger Induktion für die Formel


Lösung

Bei besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden , die Summe ist also . Da ungerade ist, steht rechts , der Induktionsanfang ist also gesichert.

Sei die Aussage nun für bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für zu zeigen. Die Summe links ist

Bei gerade (also ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ungerade (also gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Addition und endliche Mengen.


Lösung

Die Voraussetzung besagt, dass es eine bijektive Abbildung

und eine bijektive Abbildung

gibt. Die Abbildung

ist nach Aufgabe ***** bijektiv, sei die Umkehrabbildung. Somit ist nach Fakt *****  (3)

ebenfalls bijektiv. Wir definieren nun eine Abbildung

durch

Diese Abbildung ist surjektiv, da jedes Element aus durch den ersten Fall und jedes Element aus durch den zweiten Fall abgedeckt ist. Die Injektivität sieht man so. Wenn

gegeben sind, und das eine Element zu und das andere zu gehört, so ist und (oder umgekehrt) und sie sind verschieden wegen der Disjunktheit. Wenn sie aus der gleichen Teilmenge des Definitionsbereiches kommen, so ergibt sich die Verschiedenheit von und aus der Injektivität von bzw. . Insgesamt erhalten wir also eine bijektive Abbildung

so dass die Anzahl von gleich ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde die Primfaktorzerlegung von


Lösung

Es ist

wobei Primzahlen sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.


Lösung

Unter mehrfacher Verwendung des Distributivgesetzes und der Kommutativgesetze ist


Aufgabe (2 Punkte)

Gabi Hochster möchte sich die Fingernägel ihrer linken Hand (ohne den Daumennagel) lackieren, wobei die drei Farben zur Verfügung stehen. Sie möchte nicht, dass zwei benachbarte Finger die gleiche Farbe bekommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?


Lösung

Sie beginnt mit dem Zeigefinger, dafür hat sie drei Möglichkeiten. Für den Mittelfinger hat sie zwei Möglichkeiten, da die Farbe des Zeigefingers ausgeschlossen ist. Für den Ringfinger hat sie wieder zwei Möglichkeiten, da die Farbe des Mittelfingers ausgeschlossen ist. Für die Farbe des kleinen Fingers hat sie wieder zwei Möglichkeiten, da die Farbe des Ringfingers ausgeschlossen ist. Insgesamt gibt es also

Möglichkeiten.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, die ein Maximum besitze. Zeige, dass auch ein Minimum besitzt.


Lösung

Weil ein Maximum besitzt, ist nicht die leere Menge. Also besitzt sie auch ein Minimum.


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Sei . Vergleiche die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge mit der Anzahl der surjektiven Abbildungen von einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge in den folgenden Fällen.

a) ,


b) ,


c) .


Lösung


a) Es gibt Abbildungen von einer einelementigen Menge in eine zweielementige Menge, die stets injektiv sind. Dagegen gibt es überhaupt nur eine Abbildung von einer zweielementigen Menge auf eine einelementige Menge, die natürlich surjektiv ist.


b) Wir betrachten injektive Abbildungen

Es gibt Möglichkeiten für und es gibt Möglichkeiten für (da ja schon besetzt ist), also insgesamt Möglichkeiten. Zur Bestimmung der surjektiven Abbildungen

überlegen wir uns, dass dabei Elemente auf ein gleiches Element abgebildet werden müssen. Dafür gibt es Paare. Für das Paar gibt es dann Möglichkeiten, wohin es abgebildet wird, also gibt es surjektive Abbildungen.


c) Wir betrachten injektive Abbildungen

Es gibt Möglichkeiten für , es gibt Möglichkeiten für (da ja schon besetzt ist) und es gibt Möglichkeiten für , also insgesamt Möglichkeiten. Zur Bestimmung der surjektiven Abbildungen

überlegen wir uns, dass dabei Elemente auf ein gleiches Element abgebildet werden müssen. In einer -elementigen Menge gibt es Paare. Wenn das Paar feststeht, so geht es um die Anzahl der bijektiven Abbildungen auf einer -elementigen Menge, das sind . Also gibt es insgesamt surjektive Abbildungen.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für zwei von verschiedene ganze Zahlen auch das Produkt von verschieden ist.


Lösung

Eine von verschiedene ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ. Wenn beide Zahlen positiv sind, so ergibt sich diese Aussage direkt aus Fakt *****. Wenn eine Zahl positiv und die andere negativ ist, so kann man (ohne Einschränkung) mit positiv ansetzen. Es ist dann nach der Definition der Multiplikation

Wenn beide Zahlen negativ sind, so ist und mit positiv. Dann ist wieder


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für je zwei natürliche Zahlen aus

die Gleichheit folgt.


Lösung

Wenn ist, so folgt aus teilt sofort . Wir können also annehmen, dass ist. Aus und folgt . Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt mit der Kürzungsregel und daraus wegen auch . Also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:

Die Zahlen und sind also teilerfremd.


Aufgabe (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Lösung

Wir vergleichen die Strecken, die die beiden Fahrer pro Minute zurücklegen. Für Fahrer ist dies (in Zentimetern)

für Fahrer , der Pedalumdrehungen pro Minute macht, ist dies

Der Quotient ist

Also fährt schneller als .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Addition auf wohldefiniert ist.


Lösung

Es seien

und

die beiden zu addierenden rationalen Zahlen. Die Gleichheit der Brüche bedeutet und . Wir müssen zeigen, dass die Addition das gleiche Ergebnis liefert unabhängig davon, welche Bruchdarstellung man wählt, d.h. dass

und

übereinstimmen. Nach Erweitern mit und Kürzen durch ist

so dass das Ergebnis als rationale Zahl wohldefiniert ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ein Körper und , ein Element. Erläutere, warum es sinnvoll ist, für das inverse Element zu die Bezeichnung zu verwenden.


Lösung

Das inverse Element zu ist durch die Eigenschaft ausgezeichnet. Die Bezeichnung für dieses ermöglicht es, die Potenzschreibweise auszudehnen, da dann

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von , das ein Dezimalbruch ist.


Lösung

Es ist

Das -ste Vielfache davon ist

ein Dezimalbruch. Bei Multiplikation mit einer Zahl kleiner als bleibt zumindest eine der Zahlen

oder im Nenner stehen, und die resultierende Zahl kann dann kein Dezimalbruch sein.