Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 3 1 3 3 3 3 4 3 10 2 3 3 4 4 2 7 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Erzeugendensystem des .
  2. Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .
  3. Die Transitivität einer Relation auf einer Menge .
  4. Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
  5. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis .
  6. Die Binomialverteilung zu und .


Lösung

  1. Die Vektoren im heißen ein Erzeugendensystem des , wenn man jeden Vektor als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann.
  2. Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
    1. Vertauschung von zwei Zeilen.
    2. Multiplikation einer Zeile mit .
    3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
  3. Die Relation heißt transitiv, wenn aus und stets folgt.
  4. Der Restklassenring des Ringes der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
  5. Die Funktion

    heißt Exponentialfunktion zur Basis .

  6. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte auf mit

    heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im .
  2. Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper .
  3. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel).


Lösung

  1. Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    1. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des .
    2. Für jeden Standardvektor gibt es eine Darstellung als Linearkombination
    3. Für jedes ist das lineare Gleichungssystem

      lösbar.

  2. Es sei ein angeordneter Körper, und es seien und drei Folgen in . Es gelte

    und und

    konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
  3. Es sei

    eine reelle quadratische Gleichung. Dann gilt folgendes Lösungsverhalten.

    1. Bei

      gibt es keine reelle Lösung.

    2. Bei

      gibt es die eine Lösung

    3. Bei

      gibt es die beiden Lösungen


Aufgabe (3 Punkte)

Gibt es eine Lösung für das lineare Gleichungssystem


Lösung

ist eine Lösung.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Lösung

Die Bedingungen bedeuten

und

die Lösungsmenge ist also das Intervall .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die

  1. reflexiv
  2. symmetrisch
  3. reflexiv und symmetrisch

sind.


Lösung

Sei . Eine Relation ist gegeben durch eine bestimmte Menge von geordneten Paaren , . Daher kann man sich eine Relation auf so vorstellen, dass in einer -Tabelle gewisse Stellen angekreuzt werden und andere nicht.

Bei einer beliebigen Relation gibt es keine weiteren Bedingungen, so dass es Relationen gibt (das war nicht gefragt).

Bei einer reflexiven Relation muss auf der Diagonalen immer ein Kreuz sein, ansonsten hat man keine Bedingung, es gibt also freie Stellen und daher reflexive Relationen.

Bei einer symmetrischen Relation hat man oberhalb der Diagonalen (einschließlich dieser) volle Freiheiten (unterhalb der Diagonalen muss sich der Eintrag wiederholen). Da gibt es Plätze und somit gibt es symmetrische Relationen.

Bei einer symmetrischen und reflexiven Relation hat man echt oberhalb der Diagonalen volle Wahlfreiheiten. Davon gibt es Plätze, so dass es symmetrische und reflexive Relationen gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?


Lösung

Es ist

die Abbildung ist also mit der Addition verträglich.

Es ist

die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist

die Abbildung bildet also nicht die auf die ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Lösung

Jedes muss durch auf das aufgrund der Injektivität eindeutig bestimmte mit abgebildet werden. Für die restlichen Elemente in können die Bilder in frei gewählt werden. Dies ergibt insgesamt

Möglichkeiten.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Lösung

Das Heron-Verfahren ergibt der Reihe nach

und


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 44.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.


Lösung

Wir können davon ausgehen, dass der eine Körper das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist, wobei den Ring aller rationalen Cauchy-Folgen und das Ideal der Nullfolgen bezeichnet. Der andere Körper sei mit bezeichnet. Beide Körper enthalten die rationalen Zahlen und ein Ringhomomorphismus bildet auf und auf ab. Ein Ringhomomorphismus respektiert auch die Quadrate. In einem vollständigen archimedisch angeordneten Körper sind die nichtnegativen Elemente nach Aufgabe ***** genau die Quadrate, deshalb muss ein solcher Ringhomomorphismus auch positive Elemente in positive Elemente überführen. Da man in einem archimedisch angeordneten Körper die Konvergenz mit Stammbrüchen allein überprüfen kann, erhält eine solche Abbildung auch die Konvergenz. Da in nach Konstruktion und Lemma 46.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) jedes Element Limes einer rationalen Cauchy-Folge ist, und diese auch in wegen der Vollständigkeit konvergiert, kann es nur eine solche Abbildung geben. Diese Überlegung zeigt zugleich, wie man die Abbildung ansetzen muss. Ein Element werde repräsentiert durch eine rationale Cauchy-Folge . Diese Folge konvergiert in gegen ein und man setzt . Dies ist wohldefiniert. Wenn man nämlich eine andere repräsentierende rationale Cauchy-Folge nimmt, so ist die Differenz zu eine Nullfolge und dann konvergieren nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (1) die beiden Folgen in gegen das gleiche Element.

Aufgrund der Verträglichkeit mit der Konvergenz haben wir das kommutative Diagramm

wobei eine Cauchy-Folge auf ihren Limes in abbildet. Nach Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ist diese Abbildung ein Ringhomomorphismus. Da die horizontale Abbildung surjektiv ist, ist auch ein Ringhomomorphismus.

Die Injektivität gilt für jeden Ringhomomorphismus zwischen Körpern. Zum Nachweis der Surjektivität von sei . Nach Korollar 28.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) gibt es eine Dezimalbruchfolge, die gegen konvergiert. Da diese Dezimalbruchfolge eine rationale Cauchy-Folge ist, gehört sie zu und definiert ein Element in , das durch auf abgebildet wird. Insgesamt ist also ein bijektiver Ringhomomorphismus.


Aufgabe (2 Punkte)

Inwiefern sind reelle Zahlen unnötig?


Lösung Reelle Zahlen/Nicht nötig/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Anzahl der Tripel mit


Lösung

Wenn fixiert ist, so muss

sein. D.h. läuft zwischen und und legt dabei eindeutig fest. Somit gibt es bei fixiertem genau Möglichkeiten. Da ist, gibt es insgesamt also

erlaubte Tripel.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Lösung

Wegen und muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall eine Nullstelle von liegen.

Die Intervallmitte ist , dort hat den Wert

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert

Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen. Die Länge dieses Intervalls ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Lösung

Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel und der Drehung um den Winkel ist die Drehung um den Winkel . Nach Fakt ***** wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation

Betrachten der Komponenten in der ersten Spalte ergibt die Behauptung.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung

und ist die Lösungsmenge der Gleichung

Wenn man von der zweiten Gleichung die erste abzieht, so erhält man

also

Aus der Einheitskreisgleichung folgt daraus, dass

sein muss. Der einzige Schnittpunkt ist also (der in der Tat ein Schnittpunkt ist).


Aufgabe (7 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt . Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest besitzt?


Lösung

Die möglichen Sprünge sind

Diese werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit durchgeführt. Insgesamt gibt es Sprungmöglichkeiten, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Nach den vier Sprüngen befindet Lucy sich in einem Punkt der Form , wobei

Dabei sind ganzzahlig und ist ein Vielfaches von . Mögliche Ergebnisse mit Betragssumme sind also bis auf Vorzeichen und Permutation

Wegen

und

haben die beiden ersten einen Abstand vom Nullpunkt größer als . Wenn die Betragssumme oder ist, so befindet sie sich innerhalb des Kreises mit Radius . Wir müssen also die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, dass sie sich zum Schluss in einer Position der Form oder der Form befindet. Für den zweiten Fall gibt es nur die vier Möglichkeiten , die nur erreicht werden, wenn genau viermal nur einer der Sprünge gemacht wird. Es gibt also dafür vier Möglichkeiten, und dies tritt mit Wahrscheinlichkeit

ein. Betrachten wir den ersten Fall. Zunächst gibt es acht mögliche Endpositionen, die zu diesem Fall gehören (nämlich und ). Damit Lucy auf kommt, muss sie dreimal den -Sprung und einmal den -Sprung machen. Dafür gibt es vier Möglichkeiten. Somit gibt es insgesamt

Möglichkeiten für den ersten Fall, was die Wahrscheinlichkeit

bedeutet. Die Wahrscheinlichkeit, auf einer Position mit Abstand zu landen, ist somit