Lösung
- Eine Summe
-
mit Skalaren nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.
- Man nennt die Abbildung
-
die kanonische Projektion.
- Ein angeordneter Körper heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge
in konvergiert.
- Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
-
mit ist .
- Die Kosinusreihe ist
-
- Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte auf
mit
-
und
-
heißt
Bernoulli-Verteilung.
Lösung
- Es sei ein Körper und sei
eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix . Dann ist genau dann bijektiv, wenn invertierbar ist.
- Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition
-
der Multiplikation
-
dem Nullelement , dem Einselement und der durch
-
falls
-
definierten Ordnung ein angeordneter Ring.
- Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
-
eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit
-
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable , indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit ergibt sich
-
und
-
Rückwärts gelesen ergibt sich
-
-
und
-
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
-
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
Lösung
Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
Es sei
-
eine
lineare Abbildung.
Es sei . Zeige
.
Lösung
Zeige, dass die auf durch
-
festgelegte
Relation
eine
Äquivalenzrelation
ist.
Lösung
Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien
und
.
Dies bedeutet
bzw.
.
Somit ist
-
Wegen
ergibt die Kürzungsregel in die Gleichheit
-
also
.
Lösung
Lösung
Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper eine Cauchy-Folge ist.
Lösung
Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge
-
ist
-
bzw.
-
Somit gilt für
die Abschätzung
wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.
Es sei
eine
irrationale Zahl
und sei
-
- Zeige, dass eine
Untergruppe
von ist.
- Zeige, dass es kein Element
mit
-
gibt.
- Zeige, dass es in kein positives minimales Element gibt.
Lösung
- Das Nullelement ergibt sich für
,
wegen
-
ist unter der Addition abgeschlossen und wegen
-
gehören auch die Negativen dazu.
- Nehmen wir
-
mit einem an. Dann ist einerseits
-
mit gewissen und andererseits
-
mit einem
, .
Daraus folgt
-
Aus der Irrationalität von ergibt sich
-
also
-
Dann ist
-
also
-
Dann wäre
-
mit einem was wegen der Irrationalität von nicht möglich ist.
- Nehmen wir an, es sei das minimale positive Element aus . Wir behaupten, dass dann
-
wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also
-
positiv
(bei negativ geht man zum Negativen davon über).
Dann ist nach Voraussetzung
-
Wir betrachten bis wir zu einem mit
-
angelangen. Wegen muss
-
sein, also .
Bestimme die
rationale Zahl,
die im Dezimalsystem durch
-
gegeben ist.
Lösung
Es ist
Zeige, dass
-
eine Nullstelle des Polynoms
-
ist.
Lösung
Es ist
Man finde ein
Polynom
-
mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
-
Lösung
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
-
-
-
führt auf
-
und führt auf
-
also
-
und somit
-
Das gesuchte Polynom ist also
-
Beweise den Zwischenwertsatz.
Lösung
Wir beschränken uns auf die Situation
und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
und ,
betrachtet die Intervallmitte
und berechnet
-
Bei
setzt man
-
und bei
setzt man
-
In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
Intervallschachtelung.
Sei die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Fakt *****
definierte
reelle Zahl.
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert , also
.
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
und das überträgt sich ebenfalls auf , also
. Also ist
.
Ordne die Zahlen
-
gemäß ihrer Größe.
Lösung
Es ist einerseits
Andererseits ist
wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist
-
Bestimme den Grenzwert der Folge
-
Lösung
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
-
gegebenen Geraden.
Lösung
Der Einheitskreis ist durch
-
gegeben. Darin setzen wir
-
ein und erhalten
-
Also ist
-
und damit
Somit ist
Die Schnittpunkte sind also
und .
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit ist
-
Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.
Lösung
Es ist