Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein
Untervektorraum
.
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen
Gruppen
und
.
- Die Konvergenz einer Folge
in einem angeordneten Körper
gegen
.
- Die
Teilerbeziehung
zwischen den Polynomen
und
aus
.
- Die
Sinusreihe
zu
.
- Die
Unabhängigkeit
von Ereignissen
-

in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
.
Lösung
- Die Teilmenge
heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
und
ist auch
.
- Eine
Abbildung
-
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
-

für alle
gilt.
- Man sagt, dass die Folge gegen
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
-

gilt.
- Man sagt, dass ein Polynom
ein Polynom
teilt,
wenn es ein Polynom
mit
-

gibt.
- Die Sinusreihe ist
-
- Die Ereignisse
und
heißen
unabhängig,
wenn
-

ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe
in einer kommutativen Gruppe
.
- Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
- Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.
Lösung
- Es sei
eine kommutative Gruppe,
eine Untergruppe und
die Quotientenmenge zur durch
definierten
Äquivalenzrelation auf
mit der kanonischen Projektion
-
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf
derart, dass
ein Gruppenhomomorphismus ist.
- Eine
Dezimalbruchfolge
-

in einem
archimedisch angeordneten Körper
ist eine
Cauchy-Folge.
- Die Funktionen
-
und
-
besitzen für
folgende Eigenschaften.
- Es gilt
-

für alle
.
- Es ist
-

- Es ist
und
.
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
-

Welche Folgerung kann man daraus schließen?
Lösung
Daraus kann man nichts schließen.
Bestimme die
inverse Matrix
zu
-
Lösung
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
-

und
-

über
.
Lösung
Es soll einerseits
-

und andererseits
-

sein. Wegen
-

ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.
Lösung
Die Elemente aus
seien mit
bezeichnet. Zu jedem
sei
-

und
-

die Anzahl der Elemente aus
, die auf
abgebildet werden
(was
sein kann).
Da
-

gelten soll, muss
für jedes
gelten. Somit gibt es
-
Möglichkeiten für solche Abbildungen.
Lösung
Nach
Satz 41.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
gibt es nur eine Gruppenstruktur auf
derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.
Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur
als neutrales Element der Multiplikation und
-

als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also
und
.
Dann ist
und
bzw.
und
mit
.
Daraus ergibt sich
-

Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, so dass die Differenz
ist.
Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln
,
, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
Lösung
Lösung
Bestimme die
rationale Zahl,
die im Dezimalsystem durch
-
gegeben ist.
Lösung
Es ist

Lösung
Lösung
Es ist
-

und wegen
ist
-

Bei
ist somit
-

bei
ist ebenfalls
-

Es sei
ein Körper und es seien
verschiedene Elemente
und
Elemente
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
vom Grad
derart gibt, dass
für alle
ist.
Lösung
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo
ist für alle
für ein festes
. Dann ist
-
ein Polynom vom Grad
, das an den Stellen
den Wert
hat. Das Polynom
-
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei
den Wert
. Nennen wir dieses Polynom
. Dann ist
-

das gesuchte Polynom. An der Stelle
gilt ja
-

für
und
.
Die Eindeutigkeit folgt aus
Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)).
Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)
Lösung
-
Es ist
, da
-

ist, man also für
die konstante Funktion mit dem Wert
nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei
-

mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion
. Dann ist auch die Funktion
-
wohldefiniert, nullstellenfrei und nach
Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
auch stetig. Damit gilt
-

Zum Nachweis der Transitivität gelte
-

und
-

mit stetigen nullstellenfreien Funktionen
. Dann ist
-

und
ist ebenfalls nach
Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
eine stetige nullstellenfreie Funktion.
- Es sei
-

mit
stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes
-

Wegen
-

gilt
-

genau dann, wenn
-

ist. Dies bedeutet, dass
und
die gleichen Nullstellen besitzen.
- Nehmen wir an, dass
und
im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion
mit
-

für alle
. Für
bedeutet dies
-

Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von
bedeutet dies nach
Lemma 51.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (2),
dass auch
-

sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von
.
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von
nach
nicht gelten muss.
Lösung
Die Funktion
-
ist stetig und es ist
und
.
Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall
eine Nullstelle geben, also ein
mit
.
Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus
irrational ist.
Vergleiche die beiden Zahlen
-
Lösung
Wegen
-

ist
-

also ist
-

Somit ist
-

und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als
ist daher
-

Lösung
Der Abstand der beiden Punkte ist
-

Die Kreisgleichung ist somit
-
Entscheide, ob die
Folge
-

in
konvergiert
und bestimme gegebenenfalls den
Grenzwert.
Lösung
Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?
Lösung
Lösung
Jedes Paar
besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit
. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare zu einem Quadrat führen. Dies zählen wir entlang der möglichen Quadrate. Bei
-

-

-

-

und
-

gibt es nur die Quadratzerlegung, da bei jeder anderen Faktorzerlegung ein Faktor
ist. Dies ergibt insgesamt
Möglichkeiten. Bei
-

gibt es drei Möglichkeiten
(nämlich
),
bei
-

gibt es drei Möglichkeiten, bei
-

gibt es drei Möglichkeiten, bei
-

gibt es drei Möglichkeiten und bei
-

gibt es eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also
Möglichkeiten und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ein Quadrat ist,
-
