Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/15/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 3 1 3 5 2 4 3 3 3 6 8 2 3 1 4 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Untervektorraum .
  2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  3. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  4. Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen und aus .
  5. Die Sinusreihe zu .
  6. Die Unabhängigkeit von Ereignissen

    in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit und ist auch .
  2. Eine Abbildung

    heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

    für alle gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass ein Polynom ein Polynom teilt, wenn es ein Polynom mit

    gibt.

  5. Die Sinusreihe ist
  6. Die Ereignisse und heißen unabhängig, wenn

    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
  2. Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
  3. Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.


Lösung

  1. Es sei eine kommutative Gruppe, eine Untergruppe und die Quotientenmenge zur durch definierten Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion
    Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
  2. Eine Dezimalbruchfolge

    in einem [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|archimedisch angeordneten Körper]] ist eine

    Cauchy-Folge.
  3. Die Funktionen

    und

    besitzen für folgende Eigenschaften.

    1. Es gilt

      für alle .

    2. Es ist
    3. Es ist und .


Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

Welche Folgerung kann man daraus schließen?


Lösung

Daraus kann man nichts schließen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Lösung

Es soll einerseits

und andererseits

sein. Wegen

ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Lösung

Die Elemente aus seien mit bezeichnet. Zu jedem sei

und

die Anzahl der Elemente aus , die auf abgebildet werden (was sein kann). Da

gelten soll, muss für jedes gelten. Somit gibt es

Möglichkeiten für solche Abbildungen.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring .


Lösung

Nach Satz 41.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) gibt es nur eine Gruppenstruktur auf derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.

Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur als neutrales Element der Multiplikation und

als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also und . Dann ist und bzw. und mit . Daraus ergibt sich

Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, so dass die Differenz ist.

Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.


Lösung

Spiral of Theodorus.svg

Dies geht mit der Spirale des Theodorus. Wenn man die (bereits konstruierte) Quadratwurzel als eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks nimmt mit einer zweiten Kathete der Länge , so erhält man eine Hypotenuse der Länge .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit . Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit

Dann gilt für alle die Abschätzung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.


Lösung

Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu ein derart, dass insbesondere

für alle ist. Wir setzen

was offenbar eine Schranke liefert.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper und es seien . Zeige


Lösung

Es ist

und wegen ist

Bei ist somit

bei ist ebenfalls


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ist für alle . Dann ist

ein Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert hat. Das Polynom

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei den Wert . Nennen wir dieses Polynom . Dann ist

das gesuchte Polynom. An der Stelle gilt ja

für und .

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)).


Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge aller stetigen Funktionen von nach die folgende Relation: Es ist , falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion mit

gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Zeige, dass aus folgt, dass die Nullstellenmenge von und von übereinstimmen.
  3. Zeige, dass die beiden Funktionen

    und

    nicht zueinander äquivalent sind.


Lösung

  1. Es ist , da

    ist, man also für die konstante Funktion mit dem Wert nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei

    mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion . Dann ist auch die Funktion

    wohldefiniert, nullstellenfrei und nach Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) auch stetig. Damit gilt

    Zum Nachweis der Transitivität gelte

    und

    mit stetigen nullstellenfreien Funktionen . Dann ist

    und ist ebenfalls nach Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) eine stetige nullstellenfreie Funktion.

  2. Es sei

    mit stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes

    Wegen

    gilt

    genau dann, wenn

    ist. Dies bedeutet, dass und die gleichen Nullstellen besitzen.

  3. Nehmen wir an, dass und im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion mit

    für alle . Für bedeutet dies

    Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von bedeutet dies nach [[Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019))  (2)]], dass auch

    sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Lösung

Die Funktion
ist

stetig und es ist und . Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall eine Nullstelle geben, also ein mit . Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus irrational ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche die beiden Zahlen


Lösung

Wegen

ist

also ist

Somit ist

und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als ist daher


Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Lösung

Der Abstand der beiden Punkte ist

Die Kreisgleichung ist somit


Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern den Bruch mit () und schreiben

Dabei konvergieren und gegen und wegen konvergieren auch und gegen . Somit konvergiert die Folge gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?


Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der ersten Ziehung die vorhergesagt Zahl gezogen wird, ist , die Wahrscheinlichkeit, dass bei der zweiten Ziehung die vorhergesagte Zahl gezogen wird, ist, u.s.w. Somit ist insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass die volle Ziehung vorhergesagt wird, gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Quadratzahl ist.


Lösung

Jedes Paar besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit . Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare zu einem Quadrat führen. Dies zählen wir entlang der möglichen Quadrate. Bei

und

gibt es nur die Quadratzerlegung, da bei jeder anderen Faktorzerlegung ein Faktor ist. Dies ergibt insgesamt Möglichkeiten. Bei

gibt es drei Möglichkeiten (nämlich ), bei

gibt es drei Möglichkeiten, bei

gibt es drei Möglichkeiten, bei

gibt es drei Möglichkeiten und bei

gibt es eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also Möglichkeiten und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ein Quadrat ist,