Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/15/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 5 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 6 | 8 | 2 | 3 | 1 | 4 | 2 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Untervektorraum .
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
- Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
- Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen und aus .
- Die Sinusreihe zu .
- Die
Unabhängigkeit
von Ereignissen
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .
- Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- .
- Mit ist auch .
- Mit und ist auch .
- Eine
Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
- Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
, ,
gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt.
- Man sagt, dass ein Polynom ein Polynom
teilt,
wenn es ein Polynom mit
gibt.
- Die Sinusreihe ist
- Die Ereignisse
und
heißen
unabhängig,
wenn
ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
- Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
- Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.
- Es sei eine kommutative Gruppe,
eine Untergruppe und die Quotientenmenge zur durch definierten
Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion
- Eine
Dezimalbruchfolge
in einem archimedisch angeordneten Körper ist eine
Cauchy-Folge. - Die Funktionen
und
besitzen für folgende Eigenschaften.
- Es gilt
für alle .
- Es ist
- Es ist und .
Aufgabe (1 Punkt)
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
Daraus kann man nichts schließen.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe (1 Punkt)
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
und
über .
Es soll einerseits
und andererseits
sein. Wegen
ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei
eine Abbildung. Wie viele Abbildungen
mit
gibt es?
Die Elemente aus seien mit bezeichnet. Zu jedem sei
und
die Anzahl der Elemente aus , die auf abgebildet werden (was sein kann). Da
gelten soll, muss für jedes gelten. Somit gibt es
Möglichkeiten für solche Abbildungen.
Aufgabe (5 Punkte)
Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring .
Nach Satz 41.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) gibt es nur eine Gruppenstruktur auf derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.
Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur als neutrales Element der Multiplikation und
als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also und . Dann ist und bzw. und mit . Daraus ergibt sich
Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, so dass die Differenz ist.
Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.
Aufgabe (2 Punkte)
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
Dies geht mit der Spirale des Theodorus. Wenn man die (bereits konstruierte) Quadratwurzel als eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks nimmt mit einer zweiten Kathete der Länge , so erhält man eine Hypotenuse der Länge .
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit für alle und . Zeige, dass ebenfalls konvergent mit
ist.
Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit . Sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit
Dann gilt für alle die Abschätzung
Aufgabe (3 Punkte)
Es ist
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge in beschränkt ist.
Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es zu ein derart, dass insbesondere
für alle ist. Wir setzen
was offenbar eine Schranke liefert.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper und es seien . Zeige
Es ist
und wegen ist
Bei ist somit
bei ist ebenfalls
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ist für alle . Dann ist
ein Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert hat. Das Polynom
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei den Wert . Nennen wir dieses Polynom . Dann ist
das gesuchte Polynom. An der Stelle gilt ja
für und .
Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 50.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)).
Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)
Wir betrachten auf der Menge aller stetigen Funktionen von nach die folgende Relation: Es ist , falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion mit
gibt.
- Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
- Zeige, dass aus folgt, dass die Nullstellenmenge von und von übereinstimmen.
- Zeige, dass die beiden Funktionen
und
nicht zueinander äquivalent sind.
-
Es ist , da
ist, man also für die konstante Funktion mit dem Wert nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei
mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion . Dann ist auch die Funktion
wohldefiniert, nullstellenfrei und nach Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) auch stetig. Damit gilt
Zum Nachweis der Transitivität gelte
und
mit stetigen nullstellenfreien Funktionen . Dann ist
und ist ebenfalls nach Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) eine stetige nullstellenfreie Funktion.
- Es sei
mit stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes
Wegen
gilt
genau dann, wenn
ist. Dies bedeutet, dass und die gleichen Nullstellen besitzen.
- Nehmen wir an, dass und im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion mit
für alle . Für bedeutet dies
Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von bedeutet dies nach [[Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) (2)]], dass auch
sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von .
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.
stetig und es ist und . Wenn der Zwischenwertsatz auch rational gelten würde, müsste es im rationalen Intervall eine Nullstelle geben, also ein mit . Dies kann es aber nicht geben, da die Quadratwurzel aus irrational ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Vergleiche die beiden Zahlen
Wegen
ist
also ist
Somit ist
und wegen des strengen Wachstums der Exponentialfunktion für eine Basis größer als ist daher
Aufgabe (1 Punkt)
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.
Der Abstand der beiden Punkte ist
Die Kreisgleichung ist somit
Aufgabe (4 Punkte)
Wir erweitern den Bruch mit () und schreiben
Dabei konvergieren und gegen und wegen konvergieren auch und gegen . Somit konvergiert die Folge gegen .
Aufgabe (2 Punkte)
Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der ersten Ziehung die vorhergesagt Zahl gezogen wird, ist , die Wahrscheinlichkeit, dass bei der zweiten Ziehung die vorhergesagte Zahl gezogen wird, ist, u.s.w. Somit ist insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass die volle Ziehung vorhergesagt wird, gleich
Aufgabe (4 Punkte)
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Quadratzahl ist.
Jedes Paar besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit . Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare zu einem Quadrat führen. Dies zählen wir entlang der möglichen Quadrate. Bei
und
gibt es nur die Quadratzerlegung, da bei jeder anderen Faktorzerlegung ein Faktor ist. Dies ergibt insgesamt Möglichkeiten. Bei
gibt es drei Möglichkeiten (nämlich ), bei
gibt es drei Möglichkeiten, bei
gibt es drei Möglichkeiten, bei
gibt es drei Möglichkeiten und bei
gibt es eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also Möglichkeiten und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt ein Quadrat ist,