Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/22/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 4 | 1 | 4 | 3 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 4 | 2 | 10 | 1 | 4 | 3 | 0 | 60 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein affiner Unterraum .
- Die
beschreibende Matrix
zu einer
linearen Abbildung
(bezüglich der Standardbasen).
- Die Symmetrie einer Relation auf einer Menge .
- Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper .
- Der Sinus zu einem Winkel .
- Paarweise unabhängige Ereignisse in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .
- Die Teilmenge
heißt affiner Unterraum, wenn leer ist oder es einen
Untervektorraum
und einen Punkt mit
gibt.
- Die
-
Matrix
wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, heißt die beschreibende Matrix zu .
- Die Relation heißt symmetrisch, wenn aus stets folgt.
- Eine Folge heißt Nullfolge, wenn sie gegen konvergiert.
- Zu einem Winkel versteht man unter die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes .
- Die Ereignisse
heißen paarweise unabhängig, wenn
für alle ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
- Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
- Der Satz von Vieta.
- Es sei ein
Körper
und sei
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit . Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade
in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor nehmen. - Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper
und
vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
- Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
gegeben und es seien und die Lösungen. Dann gilt
und
Aufgabe (4 Punkte)
Löse das inhomogene Gleichungssystem
Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die erste Gleichung mit der zweiten addieren. Dies führt auf
Nun addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung und es ergibt sich
und
Rückwärts gelesen ergibt sich
und
Aufgabe (1 Punkt)
Erläutere, warum das Achsenkreuz im kein Untervektorraum ist
Offensichtlich gehören die Vektoren zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung
Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
keinen anderen Vektor
mit
geben. Also ist
.
Es sei umgekehrt
und seien
gegeben mit
.
Dann ist wegen der Linearität
Daher ist
und damit
.
Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)
Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.
- Das -Brett.
- Das -Brett.
- Das -Brett.
- Jeder Pferdsprung würde das -Brett verlassen, daher sind die vier einzelnen Felder die Äquivalenzklassen.
-
Vom zentralen Feld aus würde jeder Pferdsprung das -Brett verlassen, dieses bildet somit für sich eine Äquivalenzklasse. Die acht übrigen Felder sind mittels Pferdsprüngen untereinander verbindbar, wie die Skizze zeigt.
- Die in der folgenden Matrix angegebene Zugreihenfolge
zeigt, dass alle Felder bis auf das links unten miteinander durch Pferdsprünge verbunden sind. Letzteres ist mit dem mit markierten Feld durch einen Pferdsprung verbunden. Also sind alle Felder zueinander äquivalent und es gibt nur eine Äquivalenzklasse.
Aufgabe (2 Punkte)
Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung
Ist die Abbildung bijektiv?
Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die Abbildung bijektiv ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Vergleiche
Wir fragen uns, ob
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu
was stimmt wegen der Monotonie der Wurzel. Also ist
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper beschränkt ist.
Es sei die konvergente Folge mit dem Limes und es sei ein gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass
Dann ist insbesondere
Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für .
Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)
Es sei
und das Ideal der Nullfolgen in .
- Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus
gibt.
- Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus
gibt.
- Zeige, dass die Gesamtabbildung
bijektiv ist.
- Wir betrachten die Abbildung , die jeder reellen Cauchyfolge ihren Limes zuordnet. Da in jede Cauchyfolge (und zwar eindeutig) konvergiert, ist dies wohldefiniert. Die konstante Folge konvergiert gegen den Wert der Glieder, daher ist die Abbildung surjektiv. Dass ein Ringhomomorphismus vorliegt beruht auf den Rechenregeln für Grenzwerte (siehe Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) (1,2)).
- Für Folgen
und
ist der Grenzwert der Folge gleich dem Grenzwert von . Das bedeutet, dass die Abbildung aus Teil (1) eine wohldefinierte Abbildung auf der Quotientenmenge nach definiert. Wegen
(und ebenso für die Multiplikation) liegt ein Ringhomomorphismus vor, der wie auch surjektiv ist.
- Die vordere Abbildung bildet eine reelle Zahl auf die entsprechende konstante Folge ab, und diese konvergiert gegen diese Zahl. Von daher ist die Bijektivität klar.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten das Dezimalsystem, das (beispielsweise in der Schule) schrittweise aufgebaut wird. Zuerst sind endliche Ziffernfolgen der Form
erlaubt, die eine natürliche Zahl repräsentieren. Dann erweitert man zu Ziffernfolgen der Form
(die gewisse rationale Zahlen repräsentieren). Warum sind im weiteren Aufbau des Dezimalsystems Ziffernfolgen der Bauart
mit „unendlich vielen“ Ziffern hinter dem Komma erlaubt, aber keine Ziffernfolgen der Bauart
mit „unendlich vielen“ Ziffern vor dem Komma? Kann man die zuletzt genannten Ziffernfolgen sinnvoll interpretieren? Kann man sie sinnvoll als „Zahlen“ interpretieren?
Lösung Dezimalsystem/Unendlich viele Ziffern/Richtung/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
Für jedes und jedes gilt die Beziehung
und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei )
Für und konvergiert dies wegen Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und Aufgabe 28.31 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gegen .
Aufgabe (2 Punkte)
Setze in das Polynom die Zahl ein.
Es ist
Aufgabe weiter
Wir betrachten die Abbildung
die durch
definiert ist.
- Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder sind. Bei
ist
und damit
bei
ist ebenfalls
- Bei lautet die Bedingung für einen Fixpunkt , was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
- Für zwischen
und
ist auch
und damit ist in diesem Bereich
diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei mit
ist
und somit
in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei
ist
und es gibt keinen Fixpunkt.
- Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei haben beide Ausdrücke den Wert .
- Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren
(eventuell gleichlangen)
Seite mit bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis zu vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen
und .
Wenn
ist, was genau bei
der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich .
Aufgabe (1 Punkt)
Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.
Lösung Reelle Sinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Aus der Menge werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt.
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt?
- In gibt es Punkte, damit gibt es
mögliche Auswahlen für ein Punktepaar. Auf der Diagonalen liegen Punkte, daher gibt es auf der Diagonalen
Punktepaare. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch die Auswahl die Diagonale bestimmt wird, gleich
- Auf den Geraden, die parallel zur Diagonalen sind, gibt es, mit zunehmendem Absand von der Diagonalen selbst, der Reihe nach Punkte, und zwar in beide Richtungen. Deshalb führen
Punktepaare zu einer Geraden, die parallel zur Diagonalen ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also
Aufgabe (3 Punkte)
Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiß oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiß spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit , wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit , andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiß gespielt?
Es sei das Ereignis, dass Professor Knopfloch mit weiss spielt, und das Ereignis, dass Professor Zahnrad gewinnt. Da sie abwechselnd mit weiss spielen, ist , und die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind
und
Nach der Bayschen Formel ist
Die Wahrscheinlichkeit, dass Professor Knopfloch heute mit weiss gespielt hat, ist demnach .
Aufgabe (0 Punkte)