Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/22/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 1 4 3 2 3 4 5 1 4 2 10 0 1 4 3 57




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein affiner Unterraum .
  2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    (bezüglich der Standardbasen).

  3. Die Symmetrie einer Relation auf einer Menge .
  4. Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper .
  5. Der Sinus zu einem Winkel .
  6. Paarweise unabhängige Ereignisse in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Die Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn leer ist oder es einen Untervektorraum und einen Punkt mit

    gibt.

  2. Die -Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, heißt die beschreibende Matrix zu .

  3. Die Relation heißt symmetrisch, wenn aus stets folgt.
  4. Eine Folge heißt Nullfolge, wenn sie gegen konvergiert.
  5. Zu einem Winkel versteht man unter die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes .
  6. Die Ereignisse

    heißen paarweise unabhängig, wenn

    für alle ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
  2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
  3. Der Satz von Vieta.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und sei

    eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit . Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade

    in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor nehmen.
  2. Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper und vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
  3. Es sei eine quadratische Gleichung in der Form

    gegeben und es seien und die Lösungen. Dann gilt

    und


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die erste Gleichung mit der zweiten addieren. Dies führt auf

Nun addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung und es ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere, warum das Achsenkreuz im kein Untervektorraum ist


Lösung

Offensichtlich gehören die Vektoren zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung


Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen anderen Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.

  1. Das -Brett.
  2. Das -Brett.
  3. Das -Brett.


Lösung

  1. Jeder Pferdsprung würde das -Brett verlassen, daher sind die vier einzelnen Felder die Äquivalenzklassen.
  2. Problem skoczka szachowego 3x3.jpg

    Vom zentralen Feld aus würde jeder Pferdsprung das -Brett verlassen, dieses bildet somit für sich eine Äquivalenzklasse. Die acht übrigen Felder sind mittels Pferdsprüngen untereinander verbindbar, wie die Skizze zeigt.

  3. Die in der folgenden Matrix angegebene Zugreihenfolge

    zeigt, dass alle Felder bis auf das links unten miteinander durch Pferdsprünge verbunden sind. Letzteres ist mit dem mit markierten Feld durch einen Pferdsprung verbunden. Also sind alle Felder zueinander äquivalent und es gibt nur eine Äquivalenzklasse.


Aufgabe (2 Punkte)

Erstelle eien Wertetabelle für die Abbildung

Ist die Abbildung bijektiv?


Lösung

Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die Abbildung bijektiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

was stimmt wegen der Monotonie der Wurzel. Also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper beschränkt ist.


Lösung

Es sei die konvergente Folge mit dem Limes und es sei ein gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass

Dann ist insbesondere

Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für .


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Es sei

und das Ideal der Nullfolgen in .

  1. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

    gibt.

  2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

    gibt.

  3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

    bijektiv ist.


Lösung

  1. Wir betrachten die Abbildung , die jeder reellen Cauchyfolge ihren Limes zuordnet. Da in jede Cauchyfolge (und zwar eindeutig) konvergiert, ist dies wohldefiniert. Die konstante Folge konvergiert gegen den Wert der Glieder, daher ist die Abbildung surjektiv. Dass ein Ringhomomorphismus vorliegt beruht auf den Rechenregeln für Grenzwerte (siehe Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (1,2)).
  2. Für Folgen und ist der Grenzwert der Folge gleich dem Grenzwert von . Das bedeutet, dass die Abbildung aus Teil (1) eine wohldefinierte Abbildung auf der Quotientenmenge nach definiert. Wegen

    (und ebenso für die Multiplikation) liegt ein Ringhomomorphismus vor, der wie auch surjektiv ist.

  3. Die vordere Abbildung bildet eine reelle Zahl auf die entsprechende konstante Folge ab, und diese konvergiert gegen diese Zahl. Von daher ist die Bijektivität klar.


Aufgabe (1 Punkt)

Welche Dezimalbruchfolgen der Form mit sind Nullfolgen in ? Welche in ?


Lösung

Es handelt sich (sowohl bei als auch bei ) nur dann um eine Nullfolge, wenn alle Folgenglieder (und damit alle Ziffern) gleich sind, da in jedem anderen Fall alle Folgenglieder ab einem größergleich einer positiven Zahl sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.


Lösung

Für jedes und jedes gilt die Beziehung

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei )

Für und konvergiert dies wegen Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und Aufgabe 28.30 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) gegen .


Aufgabe (2 Punkte)

Setze in das Polynom die Zahl ein.


Lösung

Es ist


Aufgabe weiter

Wir betrachten die Abbildung

die durch

definiert ist.

  1. Skizziere den Graphen der Funktion.
  2. Zeige, dass wohldefiniert ist.
  3. Bestimme die Fixpunkte von .
  4. Bestimme die Fixpunkte von der Hintereinanderschaltung .
  5. Zeige, dass stetig ist.
  6. Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?


Lösung

  1. Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder sind. Bei

    ist

    und damit

    bei

    ist ebenfalls

  2. Bei lautet die Bedingung für einen Fixpunkt , was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
  3. Für zwischen und ist auch

    und damit ist in diesem Bereich

    diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei mit

    ist

    und somit

    in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei

    ist

    und es gibt keinen Fixpunkt.

  4. Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei haben beide Ausdrücke den Wert .
  5. Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren (eventuell gleichlangen) Seite mit bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis zu vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen und . Wenn

    ist, was genau bei

    der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.


Lösung Reelle Sinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Aus der Menge werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt?


Lösung

  1. In gibt es Punkte, damit gibt es mögliche Auswahlen für ein Punktepaar. Auf der Diagonalen liegen Punkte, daher gibt es auf der Diagonalen Punktepaare. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch die Auswahl die Diagonale bestimmt wird, gleich
  2. Auf den Geraden, die parallel zur Diagonalen sind, gibt es, mit zunehmendem Absand von der Diagonalen selbst, der Reihe nach Punkte, und zwar in beide Richtungen. Deshalb führen

    Punktepaare zu einer Geraden, die parallel zur Diagonalen ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiss oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiss spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit , wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit , andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiss gespielt?


Lösung

Es sei das Ereignis, dass Professor Knopfloch mit weiss spielt, und das Ereignis, dass Professor Zahnrad gewinnt. Da sie abwechselnd mit weiss spielen, ist , und die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind

und

Nach der Bayschen Formel ist

Die Wahrscheinlichkeit, dass Professor Knopfloch heute mit weiss gespielt hat, ist demnach .